Ch9 — Géométrie repérée · Exercices WIMS
Équation d’une droite
Forme cartésienne : \(ax + by + c = 0\) avec \((a,b) \neq (0,0)\)
Forme réduite : \(y = mx + p\) (si droite non verticale)
- \(m\) = coefficient directeur (pente)
- \(p\) = ordonnée à l’origine
Droite passant par \(A(x_A, y_A)\) et \(B(x_B, y_B)\) :
\(m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\) puis \(p = y_A - mx_A\)
Forme paramétrique : \(\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases},\ t \in \mathbb{R}\)
où \(\vec{u}(a,b)\) est un vecteur directeur de la droite.
Parallèles, perpendiculaires, distances
Droites parallèles (mêmes coefficients directeurs) :
\((D_1) : y = m_1 x + p_1\) et \((D_2) : y = m_2 x + p_2\)
\((D_1) \parallel (D_2) \iff m_1 = m_2\)
Droites perpendiculaires :
\((D_1) \perp (D_2) \iff m_1 \times m_2 = -1\)
Distance d’un point \(M(x_0, y_0)\) à la droite \(ax+by+c=0\) :
\(d = \dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
Transformations du plan
Translation de vecteur \(\vec{v}(a,b)\) :
\(M(x,y) \mapsto M'(x+a,\ y+b)\)
Symétrie centrale de centre \(\Omega(a,b)\) :
\(M(x,y) \mapsto M'(2a-x,\ 2b-y)\)
Symétrie axiale par rapport à l’axe \(x\) ou \(y\) :
- Axe \(Ox\) : \(M(x,y) \mapsto M'(x,-y)\)
- Axe \(Oy\) : \(M(x,y) \mapsto M'(-x,y)\)
Isométrie : transformation qui conserve les distances.