Chapitre 8 – Fonctions trigonométriques

Cercle trigonométrique · Valeurs remarquables · Angles associés · Parité, périodicité · Équations trigonométriques

Groupe 1 — Cercle trigonométrique & radian ▼
1
Convertir en radians les mesures d’angles suivantes :
a. \(30°\)   b. \(45°\)   c. \(60°\)   d. \(90°\)   e. \(120°\)   f. \(270°\)
Conversion degrés/radians
On multiplie par \(\dfrac{\pi}{180}\) :
a. \(30° = \dfrac{\pi}{6}\) rad   b. \(45° = \dfrac{\pi}{4}\) rad   c. \(60° = \dfrac{\pi}{3}\) rad
d. \(90° = \dfrac{\pi}{2}\) rad   e. \(120° = \dfrac{2\pi}{3}\) rad   f. \(270° = \dfrac{3\pi}{2}\) rad
2
Convertir en degrés les mesures d’angles suivantes :
a. \(\dfrac{\pi}{3}\)   b. \(\dfrac{3\pi}{4}\)   c. \(\dfrac{5\pi}{6}\)   d. \(\dfrac{7\pi}{4}\)
Conversion radians/degrés
On multiplie par \(\dfrac{180}{\pi}\) :
a. \(60°\)   b. \(135°\)   c. \(150°\)   d. \(315°\)
3
On considère le cercle trigonométrique. Placer les points correspondant aux réels suivants et donner leurs coordonnées \((\cos x, \sin x)\) :
a. \(x = 0\)   b. \(x = \dfrac{\pi}{2}\)   c. \(x = \pi\)   d. \(x = \dfrac{3\pi}{2}\)   e. \(x = 2\pi\)
Cercle trigonométriqueWims
a. \(x=0\) : point \((1,0)\)
b. \(x=\frac{\pi}{2}\) : point \((0,1)\)
c. \(x=\pi\) : point \((-1,0)\)
d. \(x=\frac{3\pi}{2}\) : point \((0,-1)\)
e. \(x=2\pi\) : même point que \(x=0\), soit \((1,0)\)
4
En utilisant la relation \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\), calculer \(\cos x\) sachant que \(\sin x = \dfrac{3}{5}\) et \(x \in \left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]\).
Relation fondamentaleWims
\(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}\)
Comme \(x \in \left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]\), le cosinus est positif, donc \(\cos x = \dfrac{4}{5}\).
5
On donne \(\cos x = -\dfrac{5}{13}\) avec \(x \in \left[\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi\right]\). Calculer \(\sin x\) puis \(\tan x\).
Relation fondamentaleTangente
\(\sin^2 x = 1 - \dfrac{25}{169} = \dfrac{144}{169}\). Sur \(\left[\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi\right]\), \(\sin x \geq 0\) donc \(\sin x = \dfrac{12}{13}\).
\(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} = \dfrac{12/13}{-5/13} = -\dfrac{12}{5}\).
6
Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies ? Justifier.
a. \(\cos\!\left(\dfrac{5\pi}{2}\right) = 0\)   b. \(\sin\!\left(\dfrac{7\pi}{2}\right) = 1\)   c. \(\cos(3\pi) = 1\)   d. \(\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = -1\)
PériodicitéWims
a. \(\cos\!\left(\frac{5\pi}{2}\right) = \cos\!\left(\frac{\pi}{2}+2\pi\right) = \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0\). Vraie.
b. \(\sin\!\left(\frac{7\pi}{2}\right) = \sin\!\left(\frac{3\pi}{2}+2\pi\right) = \sin\!\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1\). Fausse.
c. \(\cos(3\pi) = \cos(\pi+2\pi) = \cos(\pi) = -1\). Fausse.
d. \(\sin\!\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1\). Vraie.
Groupe 2 — Valeurs remarquables & angles associés ▼
7
Donner les valeurs exactes des expressions suivantes (mémorisation des valeurs remarquables) :
a. \(\cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\)   b. \(\sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\)   c. \(\cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\)   d. \(\sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\)   e. \(\cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\)   f. \(\sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\)
Valeurs remarquablesWims
a. \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)   b. \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)   c. \(\dfrac{1}{2}\)   d. \(\dfrac{1}{2}\)   e. \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)   f. \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
8
En utilisant les angles associés, calculer :
a. \(\cos\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\)   b. \(\sin\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\)   c. \(\cos\!\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\)   d. \(\sin\!\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)\)   e. \(\cos\!\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)\)   f. \(\sin\!\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)\)
Angles associésWims
a. \(\cos\!\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}\)
b. \(\sin\!\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
c. \(\cos\!\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
d. \(\sin\!\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}\)
e. \(\cos\!\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
f. \(\sin\!\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2}\)
9
Calculer les valeurs suivantes en identifiant l’angle associé :
a. \(\cos\!\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)\)   b. \(\sin\!\left(\dfrac{5\pi}{3}\right)\)   c. \(\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\)   d. \(\sin\!\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)\)   e. \(\cos\!\left(\dfrac{11\pi}{6}\right)\)
Angles associésWims
a. \(\cos\!\left(\pi+\frac{\pi}{6}\right) = -\cos\frac{\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
b. \(\sin\!\left(2\pi-\frac{\pi}{3}\right) = -\sin\frac{\pi}{3} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
c. \(\cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos\frac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}\) (cos paire)
d. \(\sin(-\frac{3\pi}{4}) = -\sin\frac{3\pi}{4} = -\sin\!\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
e. \(\cos\!\left(2\pi-\frac{\pi}{6}\right) = \cos\frac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
10
Simplifier les expressions suivantes :
a. \(\cos^2\!\left(\dfrac{\pi}{5}\right) + \sin^2\!\left(\dfrac{\pi}{5}\right)\)   b. \(\sin(\pi - x)\)   c. \(\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)\)   d. \(\sin\!\left(x + \pi\right)\)
Angles associésSimplificationWims
a. \(1\) (relation fondamentale)
b. \(\sin x\)
c. \(\sin x\)
d. \(-\sin x\)
11
Problème : Dans un triangle rectangle en C, on a \(\widehat{A} = \dfrac{\pi}{3}\). Exprimer les longueurs BC et AC en fonction de l’hypoténuse AB = 6.
Triangle rectangleApplication
\(\sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right) = \dfrac{BC}{AB}\) donc \(BC = 6\sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right) = 6 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\).
\(\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right) = \dfrac{AC}{AB}\) donc \(AC = 6\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right) = 6 \times \dfrac{1}{2} = 3\).
12
Calculer exactement : \(\cos\!\left(\dfrac{7\pi}{4}\right)\), \(\sin\!\left(\dfrac{7\pi}{4}\right)\) et \(\cos\!\left(\dfrac{5\pi}{3}\right)\).
Angles associésWims
\(\dfrac{7\pi}{4} = 2\pi - \dfrac{\pi}{4}\) donc \(\cos\!\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) et \(\sin\!\left(\frac{7\pi}{4}\right) = -\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
\(\dfrac{5\pi}{3} = 2\pi - \dfrac{\pi}{3}\) donc \(\cos\!\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}\).
Groupe 3 — Parité, périodicité & courbes représentatives ▼
13
La fonction cosinus est paire et la fonction sinus est impaire. Expliquer ce que cela signifie graphiquement et vérifier sur deux exemples numériques.
Parité
Cosinus paire : la courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (\(x=0\)).
Sinus impaire : la courbe est symétrique par rapport à l’origine O.
Exemples : \(\cos(-\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) ✓ et \(\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) ✓.
14
Utiliser la périodicité de période \(2\pi\) pour calculer :
a. \(\cos(7\pi)\)   b. \(\sin\!\left(\dfrac{13\pi}{4}\right)\)   c. \(\cos\!\left(-\dfrac{9\pi}{2}\right)\)   d. \(\sin(100\pi)\)
PériodicitéWims
a. \(\cos(7\pi) = \cos(\pi + 6\pi) = \cos(\pi + 3\times 2\pi) = \cos(\pi) = -1\)
b. \(\frac{13\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2\pi\) donc \(\sin\!\left(\frac{13\pi}{4}\right) = \sin\!\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)
c. \(-\frac{9\pi}{2} = -\frac{\pi}{2} - 4\pi\) donc \(\cos\!\left(-\frac{9\pi}{2}\right) = \cos\!\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0\)
d. \(\sin(100\pi) = \sin(0 + 50\times 2\pi) = \sin(0) = 0\)
15
Vrai ou faux ? Justifier chaque affirmation.
a. La courbe représentative de cosinus coupe l’axe des abscisses en \(x = 0\).
b. La valeur maximale de \(\sin\) est atteinte en \(x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\).
c. La fonction sinus est positive sur \([0\,;\,\pi]\).
d. \(\cos(x) = \cos(x + \pi)\) pour tout réel \(x\).
Courbes représentativesWims
a. Faux : \(\cos(0) = 1 \neq 0\). Cosinus coupe l’axe des \(x\) en \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\).
b. Vrai : la valeur maximale de \(\sin\) est 1, atteinte en \(\frac{\pi}{2}\) puis tous les \(2\pi\).
c. Vrai : \(\sin x \geq 0\) sur \([0\,;\,\pi]\) (le point est dans le demi-cercle supérieur).
d. Faux : \(\cos(x+\pi) = -\cos x \neq \cos x\) en général.
16
Étudier le signe de \(\cos x\) et de \(\sin x\) sur \([0\,;\,2\pi]\). En déduire le signe de \(\cos x \times \sin x\) sur cet intervalle.
SigneCourbes
\(\cos x \geq 0\) sur \(\left[0\,;\,\frac{\pi}{2}\right]\cup\left[\frac{3\pi}{2}\,;\,2\pi\right]\), \(\cos x \leq 0\) sur \(\left[\frac{\pi}{2}\,;\,\frac{3\pi}{2}\right]\).
\(\sin x \geq 0\) sur \([0\,;\,\pi]\), \(\sin x \leq 0\) sur \([\pi\,;\,2\pi]\).
Produit positif si même signe : sur \(\left[0\,;\,\frac{\pi}{2}\right]\) (++ ) et \(\left[\pi\,;\,\frac{3\pi}{2}\right]\) (−−).
Produit négatif sur \(\left[\frac{\pi}{2}\,;\,\pi\right]\) et \(\left[\frac{3\pi}{2}\,;\,2\pi\right]\).
17
Modélisation (marées) : La hauteur d’eau d’un port est modélisée par \(h(t) = 3\sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}t\right) + 5\), où \(t\) est en heures. Sans calculatrice, déterminer :
a. La hauteur maximale et minimale.
b. La période de la marée.
c. La hauteur à \(t = 3\) h, \(t = 6\) h, \(t = 12\) h.
ModélisationPériodicité
a. \(-1 \leq \sin \leq 1\) donc \(h_{\min} = 5 - 3 = 2\) m, \(h_{\max} = 5 + 3 = 8\) m.
b. \(\sin\) a période \(2\pi\), donc \(\frac{\pi}{6}t\) fait un tour quand \(t = 12\) h. Période = 12 h.
c. \(h(3) = 3\sin(\frac{\pi}{2}) + 5 = 3\times 1 + 5 = 8\) m.
\(h(6) = 3\sin(\pi) + 5 = 0 + 5 = 5\) m.
\(h(12) = 3\sin(2\pi) + 5 = 0 + 5 = 5\) m.
Groupe 4 — Équations trigonométriques ▼
18
Résoudre sur \([0\,;\,2\pi]\) les équations suivantes :
a. \(\cos x = \dfrac{1}{2}\)   b. \(\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)   c. \(\cos x = -1\)   d. \(\sin x = 0\)
ÉquationsWims
a. \(\cos x = \frac{1}{2}\) : \(x_0 = \frac{\pi}{3}\). Solutions : \(x = \frac{\pi}{3}\) ou \(x = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}\).
b. \(\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}\) : \(x_0 = \frac{\pi}{4}\). Solutions : \(x = \frac{\pi}{4}\) ou \(x = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}\).
c. \(\cos x = -1\) : \(x = \pi\).
d. \(\sin x = 0\) : \(x = 0\) ou \(x = \pi\) ou \(x = 2\pi\).
19
Résoudre sur \([0\,;\,2\pi]\) :
a. \(\sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)   b. \(\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)   c. \(\cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)   d. \(\sin x = -1\)
ÉquationsWims
a. \(x_0 = \frac{\pi}{3}\), sin négatif → 3e et 4e quadrants : \(x = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}\) ou \(x = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}\).
b. \(x_0 = \frac{\pi}{4}\), cos négatif → 2e et 3e quadrants : \(x = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}\) ou \(x = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}\).
c. \(x_0 = \frac{\pi}{6}\) : \(x = \frac{\pi}{6}\) ou \(x = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}\).
d. \(x = \frac{3\pi}{2}\).
20
Donner l’ensemble des solutions dans \(\mathbb{R}\) :
a. \(\cos x = \dfrac{1}{2}\)   b. \(\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)   c. \(\cos x = 0\)
Solutions généralesWims
a. \(x_0 = \frac{\pi}{3}\) : \(S = \left\{\frac{\pi}{3} + 2k\pi \,\middle|\, k\in\mathbb{Z}\right\} \cup \left\{-\frac{\pi}{3} + 2k\pi \,\middle|\, k\in\mathbb{Z}\right\}\).
b. \(x_0 = \frac{\pi}{3}\) : \(S = \left\{\frac{\pi}{3} + 2k\pi \,\middle|\, k\in\mathbb{Z}\right\} \cup \left\{\pi - \frac{\pi}{3} + 2k\pi \,\middle|\, k\in\mathbb{Z}\right\} = \left\{\frac{\pi}{3}+2k\pi\right\}\cup\left\{\frac{2\pi}{3}+2k\pi\right\}\).
c. \(S = \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi \,\middle|\, k\in\mathbb{Z}\right\}\).
21
Résoudre sur \([0\,;\,2\pi]\) les équations suivantes (ramener à une équation de base) :
a. \(2\cos x - 1 = 0\)   b. \(2\sin x + \sqrt{3} = 0\)   c. \(\sqrt{2}\,\cos x + 1 = 0\)
ÉquationsWims
a. \(\cos x = \frac{1}{2}\) → \(x = \frac{\pi}{3}\) ou \(x = \frac{5\pi}{3}\).
b. \(\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) → \(x = \frac{4\pi}{3}\) ou \(x = \frac{5\pi}{3}\).
c. \(\cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) → \(x = \frac{3\pi}{4}\) ou \(x = \frac{5\pi}{4}\).
22
Problème : On cherche les instants \(t \in [0\,;\,12]\) (en heures) tels que la hauteur d’eau \(h(t) = 3\sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}t\right) + 5 = 6{,}5\) m. Résoudre cette équation.
ModélisationÉquation
\(3\sin\!\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 5 = 6{,}5\) ⟹ \(\sin\!\left(\frac{\pi}{6}t\right) = \frac{1{,}5}{3} = \frac{1}{2}\).
Posons \(u = \frac{\pi}{6}t\). Sur \([0\,;\,2\pi]\) : \(\sin u = \frac{1}{2}\) donne \(u = \frac{\pi}{6}\) ou \(u = \frac{5\pi}{6}\).
Soit \(t = 1\) h ou \(t = 5\) h.
(Vérification : \(h(1) = 3\times\frac{1}{2}+5 = 6{,}5\) ✓ et \(h(5) = 3\sin(\frac{5\pi}{6})+5 = 3\times\frac{1}{2}+5 = 6{,}5\) ✓.)
23
Problème d’optimisation : On modélise la position d’un point sur une roue par \(y(t) = \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}t\right)\), où \(t\) est en secondes. À quels instants \(t \in [0\,;\,4]\) le point est-il à la hauteur \(y = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ?
ÉquationModélisationWims
\(\cos\!\left(\frac{\pi}{2}t\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\).
Posons \(u = \frac{\pi}{2}t\). Sur \([0\,;\,2\pi]\) : \(\cos u = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) donne \(u = \frac{5\pi}{6}\) ou \(u = \frac{7\pi}{6}\).
Soit \(t = \frac{5}{3}\) s ou \(t = \frac{7}{3}\) s.
24
Synthèse : Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(\sin^2 x = \dfrac{3}{4}\).
ÉquationSynthèseWims
\(\sin^2 x = \frac{3}{4}\) ⟺ \(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\) ou \(\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\).
Premier cas : \(x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi\) ou \(x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\).
Deuxième cas : \(x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi\) ou \(x = \pi + \frac{\pi}{3} + 2k\pi = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\).
En simplifiant, \(S = \left\{\pm\frac{\pi}{3} + k\pi \,\middle|\, k\in\mathbb{Z}\right\}\).
25
Algorithme Python : Écrire un programme Python qui affiche toutes les valeurs de \(k \in \{0, 1, 2, \ldots, 11\}\) telles que \(\cos\!\left(\dfrac{k\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) (à \(10^{-9}\) près).
PythonAlgorithmique
import math

cible = math.sqrt(3) / 2
for k in range(12):
    x = k * math.pi / 6
    if abs(math.cos(x) - cible) < 1e-9:
        print(f"k = {k}, x = {k}π/6")
Résultat : \(k = 1\) (\(x = \frac{\pi}{6}\)) et \(k = 11\) (\(x = \frac{11\pi}{6}\)).

📚 Exercices complémentaires (8)

Sélection issue de la banque Math@mine + manuel Sésamath (ouvert). Corrigés dépliables.

Exo 1 Exercice Exercice 1
Exercice — Conversions degrés/radians
  1. Convertir en radians :
    1. \(30\degrés{}\) \quad b) \(45\degrés{}\) \quad c) \(60\degrés{}\) \quad d) \(90\degrés{}\) \quad e) \(120\degrés{}\) \quad f) \(270\degrés{}\)
  2. Convertir en degrés :
    1. \(\dfrac{\pi}{3}\) \quad b) \(\dfrac{3\pi}{4}\) \quad c) \(\dfrac{5\pi}{6}\) \quad d) \(\dfrac{7\pi}{4}\)
Voir la correction
Correction
  1. On multiplie par \(\dfrac{\pi}{180}\) :

    a) \(\dfrac{\pi}{6}\) \quad b) \(\dfrac{\pi}{4}\) \quad c) \(\dfrac{\pi}{3}\) \quad d) \(\dfrac{\pi}{2}\) \quad e) \(\dfrac{2\pi}{3}\) \quad f) \(\dfrac{3\pi}{2}\)

  2. On multiplie par \(\dfrac{180}{\pi}\) :

    a) \(60\degrés{}\) \quad b) \(135\degrés{}\) \quad c) \(150\degrés{}\) \quad d) \(315\degrés{}\)

Exo 2 Exercice Exercice 2
Exercice — Cercle trigonométrique

Placer les points correspondant aux réels suivants sur le cercle trigonométrique et donner leurs coordonnées \((\cos x, \sin x)\) :

  1. \(x = 0\)
  2. \(x = \dfrac{\pi}{2}\)
  3. \(x = \pi\)
  4. \(x = \dfrac{3\pi}{2}\)
  5. \(x = 2\pi\)
Voir la correction
Correction
  1. \(x=0\) : point \((1,0)\)
  2. \(x=\dfrac{\pi}{2}\) : point \((0,1)\)
  3. \(x=\pi\) : point \((-1,0)\)
  4. \(x=\dfrac{3\pi}{2}\) : point \((0,-1)\)
  5. \(x=2\pi\) : meme point que \(x=0\), soit \((1,0)\)
Exo 3 Exercice Exercice 3
Exercice — Relation fondamentale
  1. Calculer \(\cos x\) sachant que \(\sin x = \dfrac{3}{5}\) et \(x \in \left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\).
  2. On donne \(\cos x = -\dfrac{5}{13}\) avec \(x \in \left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]\). Calculer \(\sin x\) puis \(\tan x\).
Voir la correction
Correction
  1. \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}\). Comme \(x \in \left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\), \(\cos x > 0\) donc \(\cos x = \dfrac{4}{5}\).
  2. \(\sin^2 x = 1 - \dfrac{25}{169} = \dfrac{144}{169}\). Sur \(\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]\), \(\sin x \geq 0\) donc \(\sin x = \dfrac{12}{13}\).

    \(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} = \dfrac{12/13}{-5/13} = -\dfrac{12}{5}\).

Exo 4 Exercice Exercice 4
Exercice — Valeurs remarquables

Donner les valeurs exactes :

  1. \(\cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\)
  2. \(\sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\)
  3. \(\cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\)
  4. \(\sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\)
  5. \(\cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\)
  6. \(\sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\)
Voir la correction
Correction
  1. \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
  2. \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
  3. \(\dfrac{1}{2}\)
  4. \(\dfrac{1}{2}\)
  5. \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
  6. \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
Exo 5 Exercice Exercice 5
Exercice — Angles associés

En utilisant les angles associés, calculer :

  1. \(\cos\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\)
  2. \(\sin\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\)
  3. \(\cos\!\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\)
  4. \(\sin\!\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)\)
  5. \(\cos\!\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)\)
  6. \(\sin\!\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)\)
Voir la correction
Correction
  1. \(\cos\!\left(\pi - \dfrac{\pi}{3}\right) = -\cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}\)
  2. \(\sin\!\left(\pi - \dfrac{\pi}{3}\right) = \sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
  3. \(\cos\!\left(\pi - \dfrac{\pi}{4}\right) = -\cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
  4. \(\sin\!\left(\pi - \dfrac{\pi}{6}\right) = \sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}\)
  5. \(\cos\!\left(\pi + \dfrac{\pi}{4}\right) = -\cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
  6. \(\sin\!\left(\pi + \dfrac{\pi}{6}\right) = -\sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2}\)
Exo 6 Exercice Exercice 6
Exercice — Angles associés (suite)

Calculer les valeurs suivantes :

  1. \(\cos\!\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)\)
  2. \(\sin\!\left(\dfrac{5\pi}{3}\right)\)
  3. \(\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\)
  4. \(\sin\!\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)\)
  5. \(\cos\!\left(\dfrac{11\pi}{6}\right)\)

Simplifier :

  1. \(\cos^2\!\left(\dfrac{\pi}{5}\right) + \sin^2\!\left(\dfrac{\pi}{5}\right)\)
  2. \(\sin(\pi - x)\)
  3. \(\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)\)
  4. \(\sin\!\left(x + \pi\right)\)
Voir la correction
Correction
  1. \(\cos\!\left(\pi+\dfrac{\pi}{6}\right) = -\cos\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
  2. \(\sin\!\left(2\pi-\dfrac{\pi}{3}\right) = -\sin\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
  3. \(\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}\) (cos paire)
  4. \(\sin\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) = -\sin\dfrac{3\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
  5. \(\cos\!\left(2\pi-\dfrac{\pi}{6}\right) = \cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
  6. \(1\) (relation fondamentale)
  7. \(\sin x\)
  8. \(\sin x\)
  9. \(-\sin x\)
Exo 7 Exercice Exercice 7
Exercice — Périodicité et vrai/faux
  1. Utiliser la periodicite de \(2\pi\) pour calculer :
    1. \(\cos(7\pi)\)
    2. \(\sin\!\left(\dfrac{13\pi}{4}\right)\)
    3. \(\cos\!\left(-\dfrac{9\pi}{2}\right)\)
    4. \(\sin(100\pi)\)
  2. Vrai ou faux ? Justifier.
    1. La courbe de cosinus coupe l'axe des abscisses en \(x = 0\).
    2. La valeur maximale de \(\sin\) est atteinte en \(x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\).
    3. La fonction sinus est positive sur \([0,\pi]\).
    4. \(\cos(x) = \cos(x + \pi)\) pour tout réel \(x\).
Voir la correction
Correction
    1. \(\cos(7\pi) = \cos(\pi + 3\times 2\pi) = \cos(\pi) = -1\)
    2. \(\dfrac{13\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{4} + 2\pi\) donc \(\sin\!\left(\dfrac{13\pi}{4}\right) = \sin\!\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
    3. \(-\dfrac{9\pi}{2} = -\dfrac{\pi}{2} - 4\pi\) donc \(\cos\!\left(-\dfrac{9\pi}{2}\right) = \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0\)
    4. \(\sin(100\pi) = \sin(0) = 0\)
    1. Faux : \(\cos(0) = 1 \neq 0\).
    2. Vrai : \(\sin\) atteint \(1\) en \(\dfrac{\pi}{2}\) puis tous les \(2\pi\).
    3. Vrai : \(\sin x \geq 0\) sur \([0,\pi]\).
    4. Faux : \(\cos(x+\pi) = -\cos x\).
Exo 8 Exercice Exercice 8
Exercice — Modélisation (marées)

La hauteur d'eau d'un port est modélisée par \(h(t) = 3\sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}t\right) + 5\), ou \(t\) est en heures.

  1. Déterminer la hauteur maximale et minimale.
  2. Quelle est la période de la marée ?
  3. Calculer la hauteur a \(t = 3\)~h, \(t = 6\)~h, \(t = 12\)~h.
Voir la correction
Correction
  1. \(-1 \leq \sin \leq 1\) donc \(h_{\min} = 5 - 3 = 2\)~m, \(h_{\max} = 5 + 3 = 8\)~m.
  2. \(\sin\) a période \(2\pi\), donc \(\dfrac{\pi}{6}t\) fait un tour quand \(t = 12\)~h. Période = 12~h.
  3. \(h(3) = 3\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) + 5 = 8\)~m. \(h(6) = 3\sin(\pi) + 5 = 5\)~m. \(h(12) = 3\sin(2\pi) + 5 = 5\)~m.