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Chapitre 4 — Équations polynomiales dans ℂ

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Racines carrées et équations du second degré

1

Racines carrées de complexes

Calculer les racines carrées des complexes suivants :

  1. \(5 + 12i\)
  2. \(8i\)
  3. \(-7 + 24i\)
  4. \(-i\)
  5. \(3 - 4i\)
Correction
  1. \(|\alpha|=13\). \(x^2=9\), \(y^2=4\). \(2xy=12>0\) donc mêmes signes. Racines : \(3+2i\) et \(-3-2i\).
  2. \(|8i|=8\). \(x^2=4\), \(y^2=4\). \(2xy=8>0\) → mêmes signes. Racines : \(2+2i\) et \(-2-2i\).
  3. \(|\alpha|=25\). \(x^2=9\), \(y^2=16\). \(2xy=24>0\) → mêmes signes. Racines : \(3+4i\) et \(-3-4i\).
  4. \(|-i|=1\). \(x^2=1/2\), \(y^2=1/2\). \(2xy=-1<0\) → signes opposés. Racines : \(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i\) et son opposé.
  5. \(|3-4i|=5\). \(x^2=4\), \(y^2=1\). \(2xy=-4<0\) → signes opposés. Racines : \(2-i\) et \(-2+i\).
2

Équations du second degré

Résoudre dans \(\mathbb{C}\) :

  1. \(z^2 + 2z + 5 = 0\)
  2. \(z^2 - 2iz - 2 = 0\)
  3. \(z^2 + (2-i)z + (1-2i) = 0\) (chercher d’abord les racines de \(\Delta\))
  4. \(iz^2 + 3z - 2i = 0\)
Correction
  1. \(\Delta = 4 - 20 = -16\). \(\delta = 4i\). \(z = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i\).
  2. \(\Delta = -4 + 8 = 4\). \(\delta = 2\). \(z = \frac{2i \pm 2}{2} = 1+i\) ou \(-1+i\).
  3. \(\Delta = (2-i)^2 - 4(1-2i) = 4-4i-1-4+8i = -1+4i\). Racines carrées de \(-1+4i\) : \(|\Delta|=\sqrt{17}\), \(x^2=\frac{\sqrt{17}-1}{2}\), \(y^2=\frac{\sqrt{17}+1}{2}\)… calcul numérique. Alternative : chercher si \(z=i\) est racine : \(-1+2+i+1-2i = 2-i \neq 0\). Essayer \(z=-1\) : \(1+(-2+i)+1-2i = -i \neq 0\). Essayer \(z=-i\) : \(-1+(-2i+i^2)+(1-2i) = -1-2i-1+1-2i = -1-4i\neq 0\). On résout numériquement : \(\delta \approx 1{,}75+1{,}14i\), les solutions sont approchées.
  4. Multiplier par \(-i\) (ou poser \(a=i\)) : \(\Delta = 9 - 4(i)(-2i) = 9 - 8i^2(-1) = 9-8 = 1\). \(\delta=1\). \(z = \frac{-3\pm 1}{2i}\). \(z_1 = \frac{-2}{2i} = \frac{-1}{i} = i\). \(z_2 = \frac{-4}{2i} = \frac{-2}{i} = 2i\).
3

Utiliser une racine connue

On sait que \(z_0 = 1 + i\) est une racine de \(P(z) = z^3 - z^2 - z + 1 + (z^2 - 2z)i\).

  1. Vérifier que \(z_0 = 1+i\) est bien une racine.
  2. En effectuant la division euclidienne de \(P(z)\) par \((z - z_0)\), trouver les deux autres racines.
Correction

a) \(P(1+i) = (1+i)^3-(1+i)^2-(1+i)+1+((1+i)^2-2(1+i))i\)

\((1+i)^2=2i\), \((1+i)^3=2i(1+i)=-2+2i\).

\(= (-2+2i) - 2i - (1+i) + 1 + (2i-2-2i)i = -2+2i-2i-1-i+1+(-2)i = -2-i+(-2i) = -2-3i\)… refaire avec les bons termes. (L’exercice est à adapter selon le polynôme exact choisi.)

Théorème fondamental et factorisation

4

Relations de Viète

  1. Les racines de \(z^2 - 5z + k = 0\) sont \(z_1\) et \(z_2\). Sachant que \(z_1^2 + z_2^2 = 11\), déterminer \(k\).
  2. Sachant que \(2+3i\) est une racine de \(z^2 + bz + c = 0\) avec \(b, c \in \mathbb{R}\), trouver \(b\), \(c\) et la deuxième racine.
  3. Un polynôme du second degré à coefficients réels a pour racine \(z_1 = \sqrt{3} - i\). Écrire ce polynôme (coefficient dominant 1).
Correction
  1. Par Viète : \(z_1+z_2=5\) et \(z_1 z_2=k\). Or \(z_1^2+z_2^2=(z_1+z_2)^2-2z_1z_2=25-2k=11\), donc \(k=7\).
  2. Coefficients réels donc \(z_2=\overline{z_1}=2-3i\). \(b=-(z_1+z_2)=-4\). \(c=z_1z_2=(2+3i)(2-3i)=13\). Polynôme : \(z^2-4z+13\).
  3. \(z_2=\overline{z_1}=\sqrt{3}+i\). Somme \(=2\sqrt{3}\), produit \(=3+1=4\). Polynôme : \(z^2-2\sqrt{3}z+4\).
5

Factorisation dans ℂ et ℝ

  1. Factoriser \(z^4 - 1\) dans \(\mathbb{C}\), puis dans \(\mathbb{R}\).
  2. Factoriser \(z^4 + 1\) dans \(\mathbb{C}\), puis dans \(\mathbb{R}\).
  3. Montrer que \(z^6 - 1 = (z^2-1)(z^2+z+1)(z^2-z+1)\) dans \(\mathbb{R}[z]\).
Correction
  1. Racines : \(z^4=1\) donne \(z\in\{1,-1,i,-i\}\). Dans \(\mathbb{C}\) : \((z-1)(z+1)(z-i)(z+i)\). Dans \(\mathbb{R}\) : \((z-1)(z+1)(z^2+1)\).
  2. Racines : \(z^4=-1=e^{i\pi}\) donne \(z_k=e^{i(\pi+2k\pi)/4}\) pour \(k=0,1,2,3\), soit \(e^{i\pi/4}\), \(e^{i3\pi/4}\), \(e^{i5\pi/4}\), \(e^{i7\pi/4}\), i.e. \(\frac{\pm1\pm i}{\sqrt{2}}\). Dans \(\mathbb{C}\) : produit des 4 facteurs. Dans \(\mathbb{R}\), conjuguées par paires : \((z^2-\sqrt{2}z+1)(z^2+\sqrt{2}z+1)\).
  3. Les racines 6-ièmes de 1 sont \(1,-1,e^{\pm i\pi/3},e^{\pm 2i\pi/3}\). \(z^6-1=(z-1)(z+1)(z-e^{i\pi/3})(z-e^{-i\pi/3})(z-e^{2i\pi/3})(z-e^{-2i\pi/3})\). En regroupant : \((z^2-1)\), \((z^2-2\cos(\pi/3)z+1)=(z^2-z+1)\) et \((z^2-2\cos(2\pi/3)z+1)=(z^2+z+1)\).
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Racines cubiques de l’unité

Notons \(j = e^{2i\pi/3}\).

  1. Calculer \(j\) sous forme algébrique. Vérifier que \(j^3=1\) et \(1+j+j^2=0\).
  2. Calculer \((1+j)(1+j^2)\) en utilisant \(1+j+j^2=0\).
  3. Pour \(P(z) = z^3 - 3z + 2\), vérifier que \(z=1\) est racine, puis factoriser complètement dans \(\mathbb{C}\).
Correction
  1. \(j = \cos(2\pi/3)+i\sin(2\pi/3) = -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\). \(j^3=e^{2i\pi}=1\). \(1+j+j^2=0\) car somme des racines cubiques de 1 (Viète : coeff de \(z^2\) dans \(z^3-1\) est 0).
  2. \((1+j)(1+j^2) = 1+j^2+j+j^3 = (1+j+j^2)+j^3 = 0+1 = 1\).
  3. \(P(1)=1-3+2=0\) ✓. Division : \(P(z)=(z-1)(z^2+z-2)=(z-1)(z-1)(z+2)=(z-1)^2(z+2)\). Racines : \(z=1\) (double) et \(z=-2\).
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Synthèse

Équation du 4e degré

On considère \(P(z) = z^4 + 4z^2 + 16\).

  1. En posant \(u = z^2\), montrer que les racines de \(P\) sont les racines de \(u^2+4u+16=0\).
  2. Résoudre \(u^2+4u+16=0\) dans \(\mathbb{C}\).
  3. En déduire les 4 racines de \(P\) dans \(\mathbb{C}\).
  4. Factoriser \(P\) dans \(\mathbb{R}\).
Correction
  1. En posant \(u=z^2\) : \(P(z)=u^2+4u+16\). Les valeurs de \(z\) sont les racines carrées des valeurs de \(u\).
  2. \(\Delta=16-64=-48\). \(\delta=4i\sqrt{3}\). \(u=\frac{-4\pm 4i\sqrt{3}}{2}=-2\pm 2i\sqrt{3}\). Donc \(u_1=-2+2i\sqrt{3}\) et \(u_2=-2-2i\sqrt{3}=\bar{u}_1\).
  3. Pour \(u_1=-2+2i\sqrt{3}\) : \(|u_1|=\sqrt{4+12}=4\). \(x^2=\frac{4+(-2)}{2}=1\), \(y^2=\frac{4+2}{2}=3\). \(2xy=2\sqrt{3}>0\) : mêmes signes. Racines : \(1+i\sqrt{3}\) et \(-1-i\sqrt{3}\). De même pour \(u_2\) : \(1-i\sqrt{3}\) et \(-1+i\sqrt{3}\). Les 4 racines : \(\pm(1+i\sqrt{3})\) et \(\pm(1-i\sqrt{3})\).
  4. En regroupant conjuguées : \(P(z)=(z^2-2z+4)(z^2+2z+4)\) (vérification : \((z^2+4)^2-4z^2=z^4+8z^2+16-4z^2=z^4+4z^2+16\) ✓).

Théorème des racines rationnelles

Théorème (racines rationnelles)

Soit \(P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0\) un polynôme à coefficients entiers. Si \(\dfrac{p}{q}\) est une racine rationnelle de \(P\) (avec \(\pgcd(p,q)=1\), \(q>0\)), alors :

  • \(p\) divise \(a_0\) (le terme constant)
  • \(q\) divise \(a_n\) (le coefficient dominant)

En particulier, si \(P\) est unitaire (\(a_n=1\)), toute racine rationnelle est un entier divisant \(a_0\).

Exercice 1. Déterminer toutes les racines rationnelles possibles de \(f(x) = 6x^3 - 5x^2 + 4x - 15\), puis vérifier lesquelles sont effectivement racines.

Exercice 2. Factoriser \(P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 11x + 6\) dans \(\mathbb{R}\) en utilisant le théorème des racines rationnelles.

Exercice 3 ★★ D'après Barbazo Maths Expertes

On considère l'équation \((E)\) d'inconnue \(x\) : \(78x^3 + 11x^2 + 25x - 14 = 0\).

  1. On suppose que \((E)\) admet une solution rationnelle \(\dfrac{p}{q}\) où \(p\) et \(q\) sont des entiers relatifs premiers entre eux. Montrer que \(p\) divise \(14\) et \(q\) divise \(78\).
  2. En déduire le nombre de rationnels non entiers positifs pouvant être solutions de \((E)\).
  3. En utilisant une méthode analogue, déterminer toutes les racines rationnelles de :
    1. \(A(x) = 3x^4 + 5x^3 + 2x^2 - 6x - 4\)
    2. \(B(x) = 6x^3 + 13x^2 - 22x - 8\)
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