Troisieme — Programme officiel (BO 2020) · Math@mine
Un operateur propose un forfait a 10 euros par mois (abonnement fixe), plus 0,05 euro par minute d’appel. Le cout mensuel depend donc du nombre de minutes utilisees.
Rene Descartes (1596–1650) a revolutionne les mathematiques en publiant La Géométrie (1637), ou il montre qu’on peut etudier les figures géométriques a l’aide de coordonnées et d’équations.
Grace a son système de coordonnées (le « repere cartesien »), une droite peut etre decrite par une équation \(y = ax + b\). Ce lien entre algebre et géométrie est a la base de toute l’etude des fonctions affines et de leurs representations graphiques.
Une fonction affine \(f\) verifie \(f(2) = 7\) et \(f(5) = 16\). Trouver \(a\) et \(b\) tels que \(f(x) = ax + b\).
Un point \(M(x; y)\) est sur la courbe de \(f\) si \(y = ax\). Cette équation est celle d’une droite passant par l’origine \(O(0;0)\) (car \(f(0) = a \times 0 = 0\)).
Si \(y\) est proportionnel a \(x\) avec le coefficient \(a\), alors \(y = ax\), ce qui definit une fonction lineaire.
Si \(f(x) = ax\), alors \(f(x)\) est proportionnel a \(x\) avec le coefficient de proportionnalite \(a\). Reciproquement, toute situation de proportionnalite (chapitre 7) correspond a une fonction lineaire : les valeurs de la seconde grandeur s’obtiennent en multipliant celles de la premiere par \(a\).
Le prix des photocopies est proportionnel au nombre de copies, a raison de 0,08 euro par copie.
La fonction prix est : \(P(x) = 0{,}08x\). C’est une fonction lineaire de coefficient \(0{,}08\).
Un point \(M(x; y)\) est sur la courbe de \(f\) si \(y = ax + b\). Pour deux points d’abscisses \(x_1\) et \(x_2\), le taux de variation \(\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = \frac{a(x_2 - x_1)}{x_2 - x_1} = a\) est constant. C’est la caractéristique d’une droite. Elle coupe l’axe des ordonnées en \((0; b)\) car \(f(0) = b\).
Pour \(f(x) = 2x - 1\) :
On trace la droite passant par \((0\,;\,-1)\) et \((1\,;\,1)\).
La droite passe par \(A(x_A; y_A)\) et \(B(x_B; y_B)\). Comme \(y_A = ax_A + b\) et \(y_B = ax_B + b\), on a \(y_B - y_A = a(x_B - x_A)\), d’ou \(a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\).
Une droite passe par \(A(1\,;\,3)\) et \(B(4\,;\,9)\).
Coefficient directeur : \(a = \dfrac{9 - 3}{4 - 1} = \dfrac{6}{3} = 2\)
L’équation est \(y = 2x + b\). Avec le point \(A\) : \(3 = 2 \times 1 + b\), donc \(b = 1\).
L’équation de la droite est \(y = 2x + 1\).
On sait que \(f(1) = 5\) et \(f(4) = -1\).
\(a = \dfrac{-1 - 5}{4 - 1} = \dfrac{-6}{3} = -2\)
\(b = 5 - (-2) \times 1 = 5 + 2 = 7\)
Donc \(f(x) = -2x + 7\).
Fonctions affines et lineaires : teste d’abord ton intuition, puis lis l’explication.
« Une fonction lineaire \(f(x) = ax\) passe toujours par l’origine. »
Cette propriété est-elle vraie ?
Oui ! \(f(0) = a \times 0 = 0\), donc le point \((0 ; 0)\) est toujours sur la droite.
« Le coefficient directeur et l’ordonnee a l’origine sont la meme chose. »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux ! Dans \(f(x) = ax + b\) : \(a\) est le coefficient directeur (pente), \(b\) est l’ordonnee a l’origine.
« Si \(a > 0\) dans \(f(x) = ax + b\), alors \(f(x) > 0\) pour tout \(x\). »
Cette affirmation est-elle vraie ?
Faux ! \(a > 0\) signifie que \(f\) est croissante, mais pas toujours positive.
Contre-exemple : \(f(x) = 2x - 10\). \(a = 2 > 0\), mais \(f(0) = -10 < 0\).
« Deux droites paralleles ont la meme ordonnee a l’origine. »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux ! Deux droites paralleles ont le meme coefficient directeur (meme pente), mais des ordonnées a l’origine differentes.
Exemple : \(y = 2x + 1\) et \(y = 2x + 5\) sont paralleles (meme pente 2).
« Si une droite « descend », son coefficient directeur est positif. »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux ! Si la droite descend, elle est décroissante, donc \(a < 0\).
Pour approfondir, d'autres applets s'ouvrent en plein écran dans un nouvel onglet :
Banque complète (1245 applets) — voir le catalogue GeoGebra.
| Notion | Formule / Propriete |
|---|---|
| Fonction lineaire | \(f(x) = ax\) — droite passant par l’origine |
| Fonction affine | \(f(x) = ax + b\) — droite |
| Coefficient directeur | \(a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\) — pente de la droite |
| Ordonnee a l’origine | \(b = f(0)\) — intersection avec l’axe des ordonnées |
| \(a > 0\) | Fonction croissante (droite montante) |
| \(a < 0\) | Fonction décroissante (droite descendante) |
Le forfait telephonique : 10 euros d’abonnement + 0,05 euro par minute.
La fonction cout est : \(C(x) = 0{,}05x + 10\) ou \(x\) est le nombre de minutes.
C’est une fonction affine avec \(a = 0{,}05\) (coefficient directeur) et \(b = 10\) (ordonnee a l’origine).
On a \(f(x) = ax + b\), donc :
\(f(2) = 2a + b = 7\) et \(f(5) = 5a + b = 16\)
Par soustraction : \(5a + b - (2a + b) = 16 - 7\), soit \(3a = 9\), donc \(a = 3\).
En remplacant : \(2 \times 3 + b = 7\), soit \(b = 1\).
La fonction est \(f(x) = 3x + 1\).