Troisieme — Programme officiel (BO 2020) · Math@mine
Lors des soldes, un article affiche -30 %. Quelques jours plus tard, une remise supplementaire de -20 % est appliquee sur le prix déjà solde.
La règle de trois est l’un des plus anciens algorithmes de calcul. Elle apparait dans les textes mathematiques indiens des le Ve siecle, notamment chez Aryabhata (476–550). L’idee est simple : si deux grandeurs sont proportionnelles, connaitre trois valeurs suffit a calculer la quatrieme.
Cette méthode a ensuite ete transmise aux mathematiciens arabes, puis aux Europeens via les traites de commerce italiens. Fibonacci la presente dans son Liber Abaci (1202) pour resoudre des problèmes de marchands.
Un prix augmente de 25 %, puis baisse de 25 %. Retrouve-t-on le prix initial ?
Le prix des pommes est proportionnel a la masse achetee :
| Masse (kg) | 1 | 2 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|---|
| Prix (euros) | 2,50 | 5,00 | 7,50 | 12,50 |
On multiplie toujours par 2,50 : c’est bien proportionnel.
L’age et la taille d’un enfant ne sont pas proportionnels : un enfant de 10 ans ne mesure pas le double d’un enfant de 5 ans.
Un robinet debite 12 litres en 4 minutes. Le coefficient de proportionnalite est :
\(k = \dfrac{12}{4} = 3\) litres par minute.
En 7 minutes, il coule \(3 \times 7 = 21\) litres.
Dans le tableau :
| \(a\) | \(c\) | |
| \(b\) | \(?\) |
La valeur cherchee est : \(? = \dfrac{b \times c}{a}\)
3 kg de cerises coutent 12 euros. Combien coutent 5 kg ?
| Masse (kg) | 3 | 5 |
|---|---|---|
| Prix (euros) | 12 | ? |
\(? = \dfrac{12 \times 5}{3} = \dfrac{60}{3} = 20\) euros.
Dans une classe de 30 élèves, 12 sont des filles. Quel pourcentage ?
\(\dfrac{12}{30} \times 100 = 40\,\%\)
\(\text{CM global} = \text{CM}_1 \times \text{CM}_2\)
Apres la premiere evolution, la grandeur vaut \(G \times \text{CM}_1\). Apres la deuxieme evolution, elle vaut \((G \times \text{CM}_1) \times \text{CM}_2 = G \times (\text{CM}_1 \times \text{CM}_2)\). Le coefficient multiplicateur global est donc le produit des deux.
Augmenter de 30 % puis diminuer de 20 % :
\(\text{CM} = 1{,}30 \times 0{,}80 = 1{,}04\)
C’est une augmentation globale de 4 % (et non de 10 %).
Sur une carte a l’échelle \(\dfrac{1}{25\,000}\), 1 cm represente 25 000 cm = 250 m.
Une distance de 4 cm sur la carte represente \(4 \times 250 = 1\,000\) m = 1 km.
La vitesse moyenne est définie comme le rapport de la distance parcourue sur le temps mis : \(v = \frac{d}{t}\). Les deux autres formules s’obtiennent en isolant \(d\) ou \(t\) dans cette egalite.
Un cycliste parcourt 45 km en 1 h 30 min = 1,5 h.
Sa vitesse moyenne : \(v = \dfrac{45}{1{,}5} = 30\) km/h.
Proportionnalite et pourcentages : teste d’abord ton intuition, puis lis l’explication.
« Augmenter un prix de 50 % puis le diminuer de 50 % redonne le prix initial. »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux ! Prix initial 100 € → +50 % → 150 € → -50 % → 75 €. On n’est pas revenu a 100 €.
Coefficients : \(1{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}75 \neq 1\).
« Doubler un prix, c’est l’augmenter de 100 %. »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Oui ! +100 % = multiplier par \(1 + 1 = 2\), donc doubler.
« 10 % de 10 %, c’est 20 %. »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux ! 10 % de 10 % = \(0{,}1 \times 0{,}1 = 0{,}01 = 1\) %. Les pourcentages se multiplient.
« Augmenter de 20 % puis de 30 %, c’est augmenter de 50 %. »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux ! \(1{,}2 \times 1{,}3 = 1{,}56\), soit +56 %, pas +50 %.
« Si 3 kg coutent 6 euros, alors 6 kg coutent 12 euros. »
Ce raisonnement est-il correct ?
C’est vrai ! Prix unitaire = 2 €/kg. Donc 6 kg = 12 €. C’est la proportionnalite.
| Notion | Formule |
|---|---|
| Coefficient de proportionnalite | \(k = \dfrac{\text{grandeur 2}}{\text{grandeur 1}}\) |
| Produit en croix | \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Rightarrow a \times d = b \times c\) |
| Pourcentage d’une quantite | \(\dfrac{p}{100} \times Q\) |
| Augmenter de \(t\,\%\) | Multiplier par \(1 + \dfrac{t}{100}\) |
| Diminuer de \(t\,\%\) | Multiplier par \(1 - \dfrac{t}{100}\) |
| Vitesse moyenne | \(v = \dfrac{d}{t}\) |
| Échelle | \(\text{échelle} = \dfrac{\text{distance plan}}{\text{distance réelle}}\) |
Article a 100 euros.
Apres une remise de 30 % : \(100 \times 0{,}70 = 70\) euros.
Apres une remise supplementaire de 20 % sur 70 euros : \(70 \times 0{,}80 = 56\) euros.
Reduction totale : \(100 - 56 = 44\) euros, soit 44 % de reduction (et non 50 %).
En effet : \(0{,}70 \times 0{,}80 = 0{,}56\), ce qui correspond a une baisse de 44 %.
Prix initial : 100 euros.
Apres +25 % : \(100 \times 1{,}25 = 125\) euros.
Apres -25 % : \(125 \times 0{,}75 = 93{,}75\) euros.
On ne retrouve pas le prix initial ! On a perdu 6,25 euros, soit une baisse globale de 6,25 %.
En général : \(1{,}25 \times 0{,}75 = 0{,}9375 \neq 1\).