Troisieme — Programme officiel (BO 2020) · Math@mine
On lance un de 60 fois et on obtient les résultats suivants :
| Face | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Nombre d’apparitions | 8 | 10 | 11 | 9 | 12 | 10 |
En 1654, le chevalier de Mere pose un problème a Blaise Pascal : deux joueurs interrompent une partie de des avant la fin. Comment repartir equitablement la mise ?
Pascal echange des lettres avec Pierre de Fermat pour resoudre ce problème. Leur correspondance pose les bases du calcul des probabilites, l’une des branches les plus importantes des mathematiques modernes, utilisee aujourd’hui en medecine, finance, intelligence artificielle…
Dans une classe de 30 élèves, quelle est la probabilite que deux élèves (au moins) aient le meme jour d’anniversaire ?
Notes obtenues a un contrôle :
| Note | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 3 | 7 | 8 | 5 | 2 |
| Frequence | 0,12 | 0,28 | 0,32 | 0,20 | 0,08 |
Effectif total : \(3 + 7 + 8 + 5 + 2 = 25\). Frequence de 12 : \(\dfrac{8}{25} = 0{,}32 = 32\,\%\).
Avec les notes precedentes :
\(\bar{x} = \dfrac{3 \times 8 + 7 \times 10 + 8 \times 12 + 5 \times 14 + 2 \times 16}{25} = \dfrac{24 + 70 + 96 + 70 + 32}{25} = \dfrac{292}{25} = 11{,}68\)
Serie : 3, 5, 7, 8, 9, 10, 12 (\(n = 7\), impair)
Médiane = valeur de rang \(\dfrac{7+1}{2} = 4\), soit 8.
Serie : 3, 5, 7, 8, 9, 10 (\(n = 6\), pair)
Médiane = \(\dfrac{7 + 8}{2} = 7{,}5\)
Si toutes les issues sont equiprobables et qu’il y en a \(N\), la somme des probabilites vaut 1 (propriété fondamentale). Comme elles sont toutes egales, chacune vaut \(\frac{1}{N}\). La probabilite d’un evenement \(A\) contenant \(n\) issues est alors \(n \times \frac{1}{N} = \frac{n}{N}\).
On lance un de equilibre. La probabilite d’obtenir un nombre pair :
\(P(\text{pair}) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5\)
L’evenement \(A\) et son contraire \(\bar{A}\) sont incompatibles (ils n’ont aucune issue en commun) et leur reunion donne l’univers entier. Donc \(P(A) + P(\bar{A}) = 1\), d’ou \(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\).
La probabilite de ne pas obtenir 6 avec un de equilibre :
\(P(\text{pas 6}) = 1 - P(6) = 1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}\)
On lance une piece (P = pile, F = face), puis un de.
Le nombre total d’issues est \(2 \times 6 = 12\).
La probabilite d’obtenir « pile et 6 » :
\(P(\text{pile et 6}) = P(\text{pile}) \times P(6) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{12}\)
Si les deux epreuves sont independantes (le résultat de l’une n’influence pas l’autre), la probabilite de l’issue « résultat 1 puis résultat 2 » est le produit des probabilites. Sur l’arbre, on multiplie les probabilites le long de chaque branche.
On tire une carte dans un jeu de 32, on la remet, puis on tire a nouveau.
Probabilite d’obtenir deux coeurs :
\(P(\text{deux coeurs}) = \dfrac{8}{32} \times \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{16}\)
Statistiques : teste d’abord ton intuition, puis lis l’explication.
« La moyenne est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur. »
Cette propriété est-elle toujours vraie ?
Oui ! La moyenne est une « valeur centrale ». Si votre résultat est hors de l’intervalle, il y a une erreur !
« La médiane et la moyenne sont toujours egales. »
Cette affirmation est-elle vraie ?
Faux ! Elles coincident pour des series symétriques, mais pas en général.
Contre-exemple : Serie 1, 2, 3, 4, 100. Médiane = 3. Moyenne = 22.
« L’etendue suffit a mesurer la dispersion d’une serie. »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Insuffisant ! L’etendue ne tient compte que du max et du min.
Contre-exemple : Series 1, 5, 5, 5, 9 et 1, 1, 1, 1, 9 ont la meme etendue (8) mais des dispersions differentes.
« La moyenne change si on reordonne les donnees. »
Cette affirmation est-elle vraie ?
Faux ! L’addition est commutative, donc l’ordre n’a aucune importance pour la moyenne.
« La moyenne de deux moyennes est la moyenne globale. »
Cette affirmation est-elle toujours vraie ?
Faux en général ! Vrai uniquement si les deux groupes ont le meme effectif.
Contre-exemple : Groupe A (2 élèves) : moyenne 10. Groupe B (8 élèves) : moyenne 15. Moyenne globale = 14, pas 12,5.
| Notion | Formule / Description |
|---|---|
| Frequence | \(\dfrac{\text{effectif de la valeur}}{\text{effectif total}}\) |
| Moyenne ponderee | \(\bar{x} = \dfrac{\sum n_i x_i}{\sum n_i}\) |
| Médiane | Valeur qui partage la serie ordonnee en deux moities egales |
| Etendue | \(x_{\max} - x_{\min}\) |
| Probabilite (equiprobabilite) | \(P(A) = \dfrac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}\) |
| Evenement contraire | \(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\) |
| Deux epreuves independantes | \(P(A \text{ et } B) = P(A) \times P(B)\) |
On calcule les frequences pour chaque face :
| Face | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 8 | 10 | 11 | 9 | 12 | 10 |
| Frequence | 0,133 | 0,167 | 0,183 | 0,150 | 0,200 | 0,167 |
Pour un de equilibre, la frequence theorique de chaque face est \(\dfrac{1}{6} \approx 0{,}167\).
Les frequences observees sont assez proches de \(\dfrac{1}{6}\). Les ecarts sont faibles et peuvent s’expliquer par le hasard (avec seulement 60 lancers). Le de semble equilibre.
Pour en etre plus certain, il faudrait augmenter le nombre de lancers (loi des grands nombres).
On calcule la probabilite que les 30 élèves aient tous des anniversaires differents (on suppose 365 jours possibles) :
\(P(\text{tous differents}) = \dfrac{365}{365} \times \dfrac{364}{365} \times \dfrac{363}{365} \times \cdots \times \dfrac{336}{365}\)
\(P(\text{tous differents}) \approx 0{,}294\)
Donc \(P(\text{au moins 2 identiques}) = 1 - 0{,}294 \approx 0{,}706\), soit environ 70,6 %.
C’est surprenant : avec seulement 30 personnes, il y a plus de 70 % de chances qu’au moins deux partagent le meme anniversaire !