🔧 Problème concret
📜 Histoire des maths
🧩 Enigme
Le tarif d’un taxi
Un taxi facture une prise en charge de 3 euros , puis 1,20 euro par kilometre parcouru. Le prix de la course depend donc de la distance.
Quel est le prix pour 10 km ? Pour 25 km ? Peut-on exprimer le prix en fonction de la distance ?
Leibniz et la notion de fonction
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) est le premier mathematicien a utiliser le mot functio (en 1673) pour designer une quantite qui depend d’une variable. Avant lui, on parlait de « courbes » sans formalisme.
C’est ensuite Euler (1707–1783) qui a popularise la notation \(f(x)\) que nous utilisons encore aujourd’hui. La notion de fonction est devenue l’un des concepts les plus fondamentaux de toutes les mathematiques.
1. Qu’est-ce qu’une fonction ?
Definition — Fonction
Une
fonction est un procede qui, a chaque nombre d’un ensemble de depart, associe
un unique nombre.
Exemples de fonctions
La fonction qui a un nombre associe son double : \(f(x) = 2x\)
La fonction qui a un nombre associe son carré : \(g(x) = x^2\)
La fonction « tarif du taxi » : \(T(d) = 3 + 1{,}2d\)
Notations
On ecrit :
\(f : x \mapsto 2x\) (se lit « \(f\) est la fonction qui a \(x\) associe \(2x\) »)
\(f(x) = 2x\) (formule explicite)
La lettre \(x\) est la variable . On peut utiliser n’importe quelle lettre.
Les differentes representations d’une fonction
Une fonction peut etre définie par :
Une formule : \(f(x) = 3x - 1\)
Un tableau de valeurs
Une courbe (representation graphique)
Une phrase ou un programme de calcul
2. Image et antecedent
Definition — Image
Soit \(f\) une fonction. L'
image de \(x\) par \(f\) est le nombre \(f(x)\).
On dit aussi : « \(f(x)\) est l’image de \(x\) par \(f\) ».
Definition — Antecedent
Un nombre \(a\) est un
antecedent de \(b\) par \(f\) si \(f(a) = b\).
Exemple
Soit \(f(x) = 2x + 3\).
L’image de 4 par \(f\) est : \(f(4) = 2 \times 4 + 3 = 11\)
Cherchons l’antecedent de 9 : \(2x + 3 = 9 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3\). L’antecedent de 9 est 3.
Attention
Un nombre a toujours une seule image par une fonction.
Un nombre peut avoir plusieurs antecedents , un seul, ou aucun.
Exemple : pour \(g(x) = x^2\), le nombre 4 a deux antecedents : 2 et \(-2\) (car \(2^2 = 4\) et \((-2)^2 = 4\)).
✅ Verifie que tu as compris — Image et antecedent
Image par lecture de tableau
Lire l’image d’un nombre dans un tableau de valeurs
🔄 Nouvel enonce
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Antecedent par lecture de tableau
Lire un antecedent dans un tableau de valeurs
🔄 Nouvel enonce
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3. Representation graphique
Definition — Courbe representative
La
representation graphique (ou
courbe representative ) d’une fonction \(f\) est l’ensemble des points de coordonnées \((x\,;\,f(x))\) dans un repere.
Méthode — Tracer la courbe d’une fonction
Construire un tableau de valeurs en calculant \(f(x)\) pour plusieurs valeurs de \(x\).
Placer les points \((x\,;\,f(x))\) dans un repere.
Relier les points a main levee (courbe lisse).
Exemple
Pour \(f(x) = x^2 - 2\) :
\(x\) \(-3\) \(-2\) \(-1\) 0 1 2 3 \(f(x)\) 7 2 \(-1\) \(-2\) \(-1\) 2 7
On obtient une parabole dont le sommet est le point \((0\,;\,-2)\).
Remarque
Un point \(M(a\,;\,b)\) appartient a la courbe de \(f\) si et seulement si \(b = f(a)\).
4. Lecture graphique
Méthode — Lire une image graphiquement
Pour lire \(f(a)\) :
Reperer \(a\) sur l’axe des abscisses.
Tracer la verticale \(x = a\) jusqu’a la courbe.
Depuis le point d’intersection, tracer l’horizontale jusqu’a l’axe des ordonnées.
Lire la valeur : c’est \(f(a)\).
Méthode — Lire un antecedent graphiquement
Pour trouver les antecedents de \(b\) :
Reperer \(b\) sur l’axe des ordonnées.
Tracer l’horizontale \(y = b\).
Reperer les points d’intersection avec la courbe.
Depuis chaque point, lire l’abscisse : ce sont les antecedents de \(b\).
Remarque
L’horizontale \(y = b\) peut couper la courbe en
0, 1, 2 ou plusieurs points . Il y a donc 0, 1, 2 ou plusieurs antecedents.
✅ Verifie que tu as compris — Lecture graphique
Lecture graphique — Image
Lire l’image d’un nombre sur un graphique
🔄 Nouvel enonce
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Lecture graphique — Antecedent
Lire un antecedent sur un graphique
🔄 Nouvel enonce
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5. Resolution graphique d’équations et inéquations
Méthode — Resoudre \(f(x) = k\) graphiquement
Tracer la droite horizontale \(y = k\).
Reperer les points d’intersection avec la courbe de \(f\).
Les abscisses de ces points sont les solutions de \(f(x) = k\).
Exemple
Pour \(f(x) = x^2\), resoudre \(f(x) = 4\) :
La droite \(y = 4\) coupe la parabole en deux points d’abscisses \(-2\) et \(2\).
Les solutions sont \(x = -2\) et \(x = 2\).
Méthode — Resoudre \(f(x) > k\) graphiquement
Les solutions de \(f(x) > k\) correspondent aux valeurs de \(x\) pour lesquelles la courbe est
au-dessus de la droite \(y = k\).
Méthode — Resoudre \(f(x) = g(x)\) graphiquement
Tracer les courbes de \(f\) et de \(g\).
Reperer les points d’intersection.
Les abscisses de ces points sont les solutions.
✅ Verifie que tu as compris — Resolution graphique
Resoudre f(x) = k graphiquement
Trouver les solutions d’une équation par lecture graphique
🔄 Nouvel enonce
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⚠️ Pieges et contre-exemples
Fonctions : teste d’abord ton intuition, puis lis l’explication.
Score : 0 / 5 evaluations correctes
1 Fonction et addition
« \(f(a+b) = f(a) + f(b)\) pour toute fonction \(f\). »
Cette propriété est-elle vraie pour toute fonction ?
✅ Vrai
❌ Faux
📖 Explication
Faux ! Seules les fonctions lineaires verifient cela.
Contre-exemple : \(f(x) = x^2\). \(f(1+2) = 9\), mais \(f(1) + f(2) = 5 \neq 9\).
💡 Astuce : Seules les fonctions \(f(x) = ax\) verifient \(f(a+b) = f(a) + f(b)\).
2 Fonction et coefficient
« \(f(2x) = 2f(x)\) pour toute fonction \(f\). »
Cette propriété est-elle vraie en général ?
✅ Vrai
❌ Faux
📖 Explication
Faux ! Cela ne marche que pour les fonctions lineaires.
Contre-exemple : \(f(x) = x^2\). \(f(6) = 36\), mais \(2f(3) = 18 \neq 36\).
💡 Astuce : Pour \(f(x) = x^2\), on a \(f(2x) = 4x^2 = 4f(x)\), pas \(2f(x)\).
3 Comparaison d’images
« Si \(f(a) > f(b)\), alors \(a > b\). »
Cette implication est-elle vraie pour toute fonction ?
✅ Vrai
❌ Faux
📖 Explication
Faux ! Cela n’est vrai que si \(f\) est strictement croissante.
Contre-exemple : \(f(x) = x^2\). \(f(-3) = 9 > f(2) = 4\), mais \(-3 < 2\).
💡 Astuce : Il faut connaitre le sens de variation pour comparer les antecedents.
4 Image nulle
« \(f(x) = 0\) signifie que la fonction \(f\) n’existe pas en \(x\). »
Cette interprétation est-elle correcte ?
✅ Vrai
❌ Faux
📖 Explication
Faux ! \(f(x) = 0\) signifie que l’image de \(x\) est 0. La fonction existe parfaitement.
Graphiquement, c’est ou la courbe coupe l’axe des abscisses.
💡 Astuce : \(f(x) = 0\) → la courbe coupe l’axe \(Ox\). « \(f\) n’existe pas en \(x\) » → \(x\) hors du domaine de definition.
5 Image et antecedent
« L’image de 3 par \(f\) est \(f(3)\), et un antecedent de 5 est un \(x\) tel que \(f(x) = 5\). »
Ces definitions sont-elles correctes ?
✅ Vrai
❌ Faux
📖 Explication
Oui ! L’image est unique, mais un antecedent peut ne pas etre unique.
💡 Astuce : Image = « j’entre \(x\), je sors \(f(x)\) ». Antecedent de \(y\) = « quel \(x\) donne \(f(x) = y\) ? »