Troisieme — Programme officiel (BO 2020) · Math@mine
Un jardin carré a pour cote \(x\) metres. On l’agrandit de 3 metres dans chaque direction. Quelle est l’aire du nouveau jardin ?
Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (vers 780–850), mathematicien perse, a ecrit le premier traite d’algebre : Al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wal-muqabala (« Le livre abrege sur le calcul par la restauration et la comparaison »).
Le mot algebre vient de al-jabr (restauration : déplacer un terme négatif de l’autre cote). Le mot algorithme vient de la latinisation de son nom : Algoritmi. Ses méthodes de resolution d’équations du second degre utilisaient des raisonnements géométriques — exactement comme nos identités remarquables !
Calculer \(101^2\) de tete, sans poser l’operation.
\(3x^2 + 5x - 2 + x^2 - 3x + 7 = (3+1)x^2 + (5-3)x + (-2+7) = 4x^2 + 2x + 5\)
Geometriquement : un rectangle de largeur \(k\) et de longueur \(a + b\) a pour aire \(k(a+b)\). On peut le decouper en deux rectangles d’aires \(ka\) et \(kb\), donc \(k(a+b) = ka + kb\).
Exemple : Factoriser \(6x + 15\).
\(6x + 15 = 3 \times 2x + 3 \times 5 = 3(2x + 5)\)
On applique deux fois la distributivite simple (chapitre 2, section 2) :
\((a+b)(c+d) = a \times (c+d) + b \times (c+d)\) (distributivite avec facteur \((c+d)\))
\(= ac + ad + bc + bd\) (distributivite sur chaque terme).
\(\underbrace{(a + b)}_{\text{chaque terme}} \times \underbrace{(c + d)}_{\text{chaque terme}} = ac + ad + bc + bd\)
On développé chaque expression avec la double distributivite (section 3) :
\((a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
\((a-b)^2 = (a-b)(a-b) = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
\((a+b)(a-b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2\)
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(a + b)(a − b) = a² − b²
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2\) ✓
\((a - b)^2 = (a - b)(a - b) = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2\) ✓
\((a + b)(a - b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2\) ✓
\((a + b)^2 \neq a^2 + b^2\) ! Il ne faut pas oublier le double produit \(2ab\).
Contre-exemple : \((3 + 4)^2 = 49\), mais \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \neq 49\).
Exemple : \(12x^2 - 8x = 4x(3x - 2)\)
Le facteur commun est \(4x\) car \(12x^2 = 4x \times 3x\) et \(8x = 4x \times 2\).
Ce sont les memes identités remarquables (section 4) lues dans l’autre sens : au lieu de développer, on factorise. L’egalite reste vraie car on peut la verifier en developpant le membre de droite.
Soit \(n\) un entier. Les trois entiers consecutifs sont \(n\), \(n+1\) et \(n+2\).
Leur somme : \(n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 = 3(n+1)\)
C’est un multiple de 3. ✓
Conjecture : Le produit de deux nombres impairs consecutifs est toujours impair.
Test : \(3 \times 5 = 15\) (impair) ✓ ; \(7 \times 9 = 63\) (impair) ✓
Preuve : Deux impairs consecutifs s’ecrivent \(2n+1\) et \(2n+3\).
\((2n+1)(2n+3) = 4n^2 + 6n + 2n + 3 = 4n^2 + 8n + 3 = 2(2n^2 + 4n + 1) + 1\)
C’est de la forme \(2k + 1\), donc c’est impair. ✓
Calcul litteral : teste d’abord ton intuition, puis lis l’explication.
« \((a+b)^2 = a^2 + b^2\) »
Cette formule est-elle correcte ?
Faux ! \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Il manque le double produit \(2ab\).
Contre-exemple : \((3+2)^2 = 25\), mais \(3^2 + 2^2 = 13 \neq 25\).
« \(-(a - b) = -a - b\) »
Cette simplification est-elle correcte ?
Faux ! \(-(a-b) = -a + b\). Le signe moins change le signe de chaque terme.
Contre-exemple : \(-(5-3) = -2\), mais \(-5-3 = -8 \neq -2\).
« \(k(a+b) = ka + kb\) »
Cette propriété est-elle toujours vraie ?
Oui ! C’est la propriété de distributivite. Elle est toujours vraie.
Exemple : \(3(x+2) = 3x + 6\). Outil fondamental pour développer et factoriser.
« \(3x^2 = (3x)^2\) »
Ces deux expressions sont-elles egales ?
Faux ! \(3x^2 = 3 \times x^2\), tandis que \((3x)^2 = 9x^2\).
Contre-exemple : Pour \(x = 2\) : \(3x^2 = 12\), mais \((3x)^2 = 36\).
« \((a-b)^2 = (b-a)^2\) »
Cette egalite est-elle toujours vraie ?
C’est en fait vrai ! \((a-b)^2 = (-(b-a))^2 = (b-a)^2\) car \((-1)^2 = 1\).
Le carré « absorbe » le signe moins.
| Nom | Formule |
|---|---|
| Distributivite simple | \(k(a + b) = ka + kb\) |
| Double distributivite | \((a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd\) |
| Carré d’une somme | \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) |
| Carré d’une difference | \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) |
| Difference de deux carrés | \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\) |
Le jardin carré de cote \(x\) est agrandi de 3 metres dans chaque direction. Le nouveau cote mesure \(x + 3\) metres.
L’aire du nouveau jardin : \((x + 3)^2 = x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9\)
Verification pour \(x = 10\) :
\(101^2 = (100 + 1)^2 = 100^2 + 2 \times 100 \times 1 + 1^2 = 10\,000 + 200 + 1 = 10\,201\)
De meme : \(99^2 = (100 - 1)^2 = 10\,000 - 200 + 1 = 9\,801\)
Et : \(101 \times 99 = (100 + 1)(100 - 1) = 100^2 - 1^2 = 9\,999\)