Troisieme — Programme officiel (BO 2020) · Math@mine
Une bibliothecaire dispose de 84 romans et 60 bandes dessinees. Elle veut les ranger en piles identiques (meme composition) en utilisant tous les livres, avec le plus grand nombre possible de piles.
Eratosthene de Cyrene (vers 276–194 av. J.-C.) etait un mathematicien, geographe et astronome grec. Il est celebre pour avoir mesure la circonference de la Terre avec une precision remarquable.
En mathematiques, il a invente une méthode simple et efficace pour trouver tous les nombres premiers jusqu’a un entier donne : le crible d’Eratosthene. On ecrit tous les entiers a partir de 2, puis on raye les multiples de 2 (sauf 2), les multiples de 3 (sauf 3), les multiples de 5 (sauf 5), etc. Les nombres non rayes sont les nombres premiers.
Sans les lister, pouvez-vous estimer combien il y a de nombres premiers entre 1 et 100 ? Essayez d’abord de deviner, puis appliquez le crible d’Eratosthene pour verifier.
Tout nombre s’ecrit comme la somme de ses chiffres plus un multiple de 9 (car \(10 = 9+1\), \(100 = 99+1\), etc.). Par exemple \(253 = 2 \times 99 + 5 \times 9 + (2+5+3)\). Comme 9 et 99 sont divisibles par 3, le nombre est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres l’est.
Les autres criteres se justifient de maniere similaire. Par exemple, la divisibilite par 2 ne depend que du chiffre des unites car \(10, 100, 1000, \ldots\) sont tous pairs.
On appelle \(a\) le dividende, \(b\) le diviseur, \(q\) le quotient et \(r\) le reste.
On peut comprendre l’existence de \(q\) et \(r\) en raisonnant : on cherche combien de fois \(b\) « rentre » dans \(a\). Le quotient \(q\) est le plus grand entier tel que \(b \times q \leqslant a\), et le reste \(r = a - bq\) est ce qui reste, forcement compris entre 0 et \(b-1\).
Division euclidienne de 157 par 12 :
\(157 = 12 \times 13 + 1\)
Le quotient est 13, le reste est 1. Comme le reste n’est pas nul, 157 n’est pas divisible par 12.
Exemple : 97 est-il premier ?
\(\sqrt{97} \approx 9{,}8\). On teste 2, 3, 5, 7.
Donc 97 est premier.
Supposons qu’il n’y ait qu’un nombre fini de premiers : \(p_1, p_2, \ldots, p_n\). Considerons \(N = p_1 \times p_2 \times \cdots \times p_n + 1\). Ce nombre \(N\) n’est divisible par aucun des \(p_i\) (car la division donne toujours un reste de 1). Donc \(N\) est soit premier, soit divisible par un premier non dans la liste. Contradiction : la liste n’etait pas complete.
L’existence se comprend facilement : si \(n\) n’est pas premier, il admet un diviseur premier \(p\), et on recommence avec \(n/p\) jusqu’a obtenir 1. L’unicite (a l’ordre pres) est un résultat plus profond, admis en 3eme.
Exemple : Decomposer 360.
\(360 = 2 \times 180 = 2 \times 2 \times 90 = 2 \times 2 \times 2 \times 45 = 2^3 \times 45\)
\(45 = 3 \times 15 = 3 \times 3 \times 5 = 3^2 \times 5\)
Donc \(360 = 2^3 \times 3^2 \times 5\).
Calculer \(\text{PGCD}(84, 60)\).
Facteurs communs : \(2^2\) et \(3\). Donc \(\text{PGCD}(84, 60) = 2^2 \times 3 = 12\).
Calculer \(\text{PGCD}(84, 60)\) par l’algorithme d’Euclide.
Le dernier reste non nul est 12, donc \(\text{PGCD}(84, 60) = 12\).
Exemple : Simplifier \(\dfrac{84}{60}\).
\(\text{PGCD}(84, 60) = 12\), donc \(\dfrac{84}{60} = \dfrac{84 \div 12}{60 \div 12} = \dfrac{7}{5}\).
Divisibilite et arithmétique : teste d’abord ton intuition, puis lis l’explication.
« Si \(a\) divise \(b\) et \(a\) divise \(c\), alors \(a\) divise \(b + c\). »
Cette propriété est-elle toujours vraie ?
Oui ! Si \(b = ka\) et \(c = la\), alors \(b + c = (k+l)a\), donc \(a\) divise \(b+c\).
Exemple : 3 divise 12 et 3 divise 9, donc 3 divise 21. ✓
« Si un nombre est divisible par 2 et par 3, alors il est divisible par 5. »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux ! Divisible par 2 et par 3 implique divisible par 6, pas par 5.
Contre-exemple : 12 est divisible par 2 et par 3, mais pas par 5.
« Tous les nombres premiers sont impairs. »
Cette affirmation est-elle vraie ?
Faux ! 2 est premier et pair. C’est le seul nombre premier pair.
« 1 est un nombre premier. »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux ! 1 n’est pas premier. Un nombre premier a exactement deux diviseurs distincts. Or 1 n’a qu’un seul diviseur.
« Si \(n^2\) est pair, alors \(n\) est pair. »
Cette implication est-elle vraie ?
C’est en fait vrai ! Par contraposee : si \(n\) est impair, \(n^2\) est impair. Donc si \(n^2\) est pair, \(n\) est pair.
Preuve : si \(n = 2k+1\), alors \(n^2 = 4k^2 + 4k + 1\), qui est impair.
| Notion | A retenir |
|---|---|
| Divisibilite | \(a = k \times b\) signifie « \(b\) divise \(a\) » |
| Division euclidienne | \(a = b \times q + r\) avec \(0 \leqslant r < b\) |
| Nombre premier | Exactement 2 diviseurs : 1 et lui-meme |
| Decomposition | Tout entier \(\geqslant 2\) est produit de premiers (unique) |
| PGCD | Plus grand diviseur commun a deux entiers |
| Fraction irreductible | \(\text{PGCD}(a,b) = 1\) ; simplifier par le PGCD |
La bibliothecaire a 84 romans et 60 BD. Le nombre de piles doit diviser a la fois 84 et 60 : c’est un diviseur commun.
Le plus grand nombre de piles possible est \(\text{PGCD}(84, 60)\).
Par l’algorithme d’Euclide :
\(\text{PGCD}(84, 60) = 12\).
Conclusion : elle peut faire 12 piles, chacune contenant \(\dfrac{84}{12} = 7\) romans et \(\dfrac{60}{12} = 5\) BD.
On n’a besoin de cribler que les multiples des nombres premiers jusqu’a \(\sqrt{100} = 10\), soit 2, 3, 5 et 7.
Les 25 nombres premiers inferieurs ou egaux a 100 sont :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Environ 1 nombre sur 4 est premier entre 1 et 100. Ce ratio diminue pour les grands nombres (théorème des nombres premiers : la proportion de premiers parmi les entiers jusqu’a \(N\) est environ \(\dfrac{1}{\ln N}\)).