Troisieme — Programme officiel (BO 2020) · Math@mine
Trois amis commandent 2 pizzas identiques et veulent se les partager equitablement. Chacun recoit-il plus ou moins que la moitie d’une pizza ?
Les Egyptiens anciens (vers 1650 av. J.-C.) utilisaient déjà les fractions, mais uniquement des fractions unitaires (de numérateur 1) : \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{4}\)… Le papyrus Rhind, copie par le scribe Ahmes, contient des tables de decomposition : par exemple \(\frac{2}{5} = \frac{1}{3} + \frac{1}{15}\).
Les fractions telles qu’on les utilise aujourd’hui (avec un numérateur quelconque) sont apparues bien plus tard, grace aux mathematiciens indiens (Brahmagupta, VIIe siecle) puis arabes (Al-Khwarizmi, IXe siecle) qui ont aussi introduit les nombres negatifs.
Je suis un nombre rationnel. Mon numérateur et mon dénominateur sont des entiers consecutifs. Je suis compris entre 0,8 et 0,9.
Par definition, tout entier naturel \(n \in \mathbb{N}\) est aussi un entier relatif (positif), donc \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\).
Tout entier relatif \(n\) s’ecrit \(\frac{n}{1}\) qui est un nombre décimal (\(n = n{,}0\)), donc \(\mathbb{Z} \subset \mathbb{D}\).
Tout nombre décimal \(d\) s’ecrit sous la forme \(\frac{a}{10^n}\) qui est bien une fraction d’entiers, donc \(\mathbb{D} \subset \mathbb{Q}\).
Ces règles decoulent de la representation sur la droite graduee : ajouter un nombre positif, c’est se déplacer vers la droite ; ajouter un nombre négatif, c’est se déplacer vers la gauche. La distance parcourue et la direction donnent le résultat.
Par definition, l’oppose de \(b\) est le nombre \(-b\) tel que \(b + (-b) = 0\).
Si on ajoute \(-b\) a \(a\), on obtient \(a + (-b)\). Or, soustraire \(b\) a \(a\) revient a chercher le nombre \(c\) tel que \(c + b = a\), et \(c = a + (-b)\) convient car \((a + (-b)) + b = a\).
On peut le comprendre avec un exemple : \((-1) \times (-1)\) doit donner un nombre tel que \((-1) \times (-1) + (-1) \times 1 = (-1) \times ((-1) + 1) = (-1) \times 0 = 0\).
Comme \((-1) \times 1 = -1\), on a \((-1)\times(-1) + (-1) = 0\), donc \((-1)\times(-1) = 1\). Le produit de deux negatifs est bien positif.
| Calcul | Signes | Résultat |
|---|---|---|
| \((-3) \times (-5)\) | \(- \times - = +\) | \(+15\) |
| \((-4) \times 7\) | \(- \times + = -\) | \(-28\) |
| \(6 \times (-2)\) | \(+ \times - = -\) | \(-12\) |
| \(\dfrac{-12}{-4}\) | \(- \div - = +\) | \(+3\) |
Si \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), alors en multipliant les deux cotes par \(b \times d\) (non nul), on obtient \(a \times d = b \times c\).
Reciproquement, si \(a \times d = b \times c\), en divisant par \(b \times d\), on retrouve \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\).
Multiplier le numérateur et le dénominateur par \(k\) revient a multiplier la fraction par \(\frac{k}{k} = 1\), ce qui ne change pas sa valeur.
Exemple : Simplifier \(\frac{36}{48}\).
\(\text{PGCD}(36, 48) = 12\), donc \(\frac{36}{48} = \frac{36 \div 12}{48 \div 12} = \frac{3}{4}\).
Quand deux fractions ont le meme dénominateur \(b\), elles representent des parts de meme taille. Ajouter \(\frac{a}{b}\) et \(\frac{c}{b}\), c’est compter \(a + c\) parts de taille \(\frac{1}{b}\), soit \(\frac{a+c}{b}\).
Exemple : Calculer \(\frac{2}{3} + \frac{5}{4}\).
\(\frac{2}{3} + \frac{5}{4} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} + \frac{5 \times 3}{4 \times 3} = \frac{8}{12} + \frac{15}{12} = \frac{23}{12}\)
Prendre \(\frac{a}{b}\) de \(\frac{c}{d}\), c’est diviser \(\frac{c}{d}\) en \(b\) parts egales (chacune vaut \(\frac{c}{b \times d}\)) puis en prendre \(a\). On obtient \(\frac{a \times c}{b \times d}\).
Diviser par \(\frac{c}{d}\), c’est chercher le nombre \(x\) tel que \(x \times \frac{c}{d} = \frac{a}{b}\).
En multipliant les deux cotes par \(\frac{d}{c}\) (l’inverse de \(\frac{c}{d}\)), on obtient \(x = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}\).
\(\frac{2}{3} = \frac{2 \times 5}{3 \times 5} = \frac{10}{15}\) et \(\frac{3}{5} = \frac{3 \times 3}{5 \times 3} = \frac{9}{15}\)
Comme \(10 > 9\), on a \(\frac{10}{15} > \frac{9}{15}\), donc \(\frac{2}{3} > \frac{3}{5}\).
Par definition, \(\frac{a}{b}\) represente \(a\) parts de taille \(\frac{1}{b}\). Diviser l’unite en \(b\) parts egales cree des graduations de taille \(\frac{1}{b}\), et compter \(a\) graduations donne bien le point d’abscisse \(\frac{a}{b}\).
On divise chaque unite en 4 parts egales. On compte 7 graduations : \(\frac{7}{4} = 1 + \frac{3}{4}\), donc le point est situe entre 1 et 2, aux trois quarts du chemin.
Nombres et ensembles : teste d’abord ton intuition, puis lis l’explication.
« \(\sqrt{a^2} = a\) pour tout nombre réel \(a\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
\(\sqrt{a^2} = |a|\), pas \(a\). Par exemple, \(\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 \neq -3\).
Contre-exemple : Pour \(a = -5\), \(\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 = |-5|\), et non \(-5\).
« Le nombre 0 est a la fois positif et négatif. »
Cette affirmation est-elle vraie ?
Par convention en France, 0 est le seul nombre qui est a la fois positif et négatif. On dit que 0 est positif (mais pas strictement positif).
Attention : dans la convention anglo-saxonne, « positive » signifie strictement positif, ce qui peut preter a confusion.
« Le nombre \(\frac{1}{3}\) est un nombre décimal. »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Un nombre décimal est un nombre qui peut s’ecrire sous la forme \(\frac{a}{10^n}\). Or \(\frac{1}{3} = 0{,}333...\) avec une infinite de 3 : ce n’est pas une ecriture décimale finie.
Critere : \(\frac{1}{3}\) est rationnel, mais pas décimal car 3 ne divise aucune puissance de 10.
« Tout nombre rationnel est un nombre décimal. »
Cette affirmation est-elle vraie ?
Faux ! Les nombres décimaux forment un sous-ensemble des rationnels : \(\mathbb{D} \subset \mathbb{Q}\).
Contre-exemple : \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{7}\), \(\frac{2}{9}\) sont rationnels mais pas décimaux.
« On a \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}\), donc tout entier est rationnel. »
Cette inclusion est-elle correcte ?
L’inclusion est vraie mais incomplete. Il manque l’ensemble \(\mathbb{D}\) des nombres décimaux.
L’inclusion complete est : \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q}\).
| Operation | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Addition (meme denom.) | \(\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b}\) | \(\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{5}{7}\) |
| Soustraction | \(\frac{a}{b} - \frac{c}{b} = \frac{a-c}{b}\) | \(\frac{5}{9} - \frac{2}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\) |
| Multiplication | \(\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}\) | \(\frac{3}{5} \times \frac{2}{7} = \frac{6}{35}\) |
| Division | \(\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}\) | \(\frac{3}{4} \div \frac{2}{5} = \frac{15}{8}\) |
| Simplification | \(\frac{a \times k}{b \times k} = \frac{a}{b}\) | \(\frac{12}{18} = \frac{2}{3}\) |
| Produits en croix | \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff ad = bc\) | \(\frac{3}{4} = \frac{15}{20}\) car \(3 \times 20 = 4 \times 15\) |
| Règle des signes | \((-) \times (-) = (+)\), \((-) \times (+) = (-)\) | \((-3) \times (-5) = 15\) |
Chaque personne recoit \(\frac{2}{3}\) de pizza.
Comparons a \(\frac{1}{2}\) : \(\frac{2}{3} = \frac{4}{6}\) et \(\frac{1}{2} = \frac{3}{6}\). Comme \(4 > 3\), on a \(\frac{2}{3} > \frac{1}{2}\).
Chacun recoit plus que la moitie d’une pizza.
On cherche \(\frac{n}{n+1}\) tel que \(0{,}8 < \frac{n}{n+1} < 0{,}9\).
Pour \(n = 4\) : \(\frac{4}{5} = 0{,}8\). Trop petit (egalite).
Pour \(n = 5\) : \(\frac{5}{6} \approx 0{,}833\). C’est entre 0,8 et 0,9. ✓
Pour \(n = 6\) : \(\frac{6}{7} \approx 0{,}857\). Ca marche aussi. ✓
Pour \(n = 7\) : \(\frac{7}{8} = 0{,}875\). Ca marche. ✓
Pour \(n = 8\) : \(\frac{8}{9} \approx 0{,}889\). Ca marche. ✓
Pour \(n = 9\) : \(\frac{9}{10} = 0{,}9\). Trop grand (egalite).
Il y a donc 4 solutions : \(\frac{5}{6}\), \(\frac{6}{7}\), \(\frac{7}{8}\), \(\frac{8}{9}\).