Troisieme — Programme officiel (BO 2020) · Math@mine
Un graphiste dessine un logo pour une entreprise. Le logo est base sur un motif triangulaire qu’il veut reproduire par symétrie, rotation de 120° et de 240° autour du centre. Il obtient un motif a trois branches.
L'art islamique utilise abondamment les motifs géométriques depuis le VIIIe siecle. Les artisans de l’Alhambra de Grenade (XIVe siecle) ont realise des pavages d’une complexite remarquable.
Les mathematiciens ont montre qu’il n’existe que 17 types de pavages périodiques du plan — et les artisans de l’Alhambra les avaient tous decouverts empiriquement, des siecles avant la demonstration mathematique (Fedorov, 1891).
Ces pavages combinent translations, rotations, symétries axiales et centrales.
Un hexagone regulier possede des axes de symétrie et des rotations qui le laissent invariant.
Les symétries « retournent » ou « renversent » la figure sans la deformer. Chaque point de l’image est a la meme distance du point original que du centre (ou de l’axe). La figure image est donc une copie conforme : les longueurs, angles, aires et parallelismes sont conserves.
Autrement dit, on « glisse » chaque point dans la meme direction, le meme sens et de la meme distance.
La translation qui transforme \(A(1; 2)\) en \(B(4; 5)\) associe a tout point son translate obtenu en « glissant » de 3 unites vers la droite et 3 unites vers le haut. Le translate du point \(C(0; 1)\) est \(C'(3; 4)\), car \(ABC'C\) est un parallelogramme.
Ces propriétés decoulent du fait que chaque point se déplace de la meme facon (meme direction et distance pour la translation, meme angle pour la rotation). La figure n’est pas deformee, donc les longueurs, angles et aires sont conserves.
Par convention, un angle positif correspond au sens anti-horaire (sens inverse des aiguilles d’une montre) et un angle négatif au sens horaire.
Ces propriétés decoulent du fait que chaque point se déplace de la meme facon (meme direction et distance pour la translation, meme angle pour la rotation). La figure n’est pas deformee, donc les longueurs, angles et aires sont conserves.
Dans une homothetie de rapport \(k\), chaque point est \(|k|\) fois plus loin (ou plus pres) du centre. Les longueurs sont donc multipliees par \(|k|\). Les angles sont conserves car la figure est agrandie (ou reduite) uniformement. Les aires sont multipliees par \(k^2\) car l’agrandissement se fait dans les deux dimensions.
L’homothetie n’est pas une isometrie (sauf si \(|k| = 1\)). Elle ne conserve pas les longueurs en général.
| Transformation | Longueurs | Angles | Aires |
|---|---|---|---|
| Symétrie axiale | Conservees | Conserves | Conservees |
| Symétrie centrale | Conservees | Conserves | Conservees |
| Translation | Conservees | Conserves | Conservees |
| Rotation | Conservees | Conserves | Conservees |
| Homothetie de rapport \(k\) | \(\times |k|\) | Conserves | \(\times k^2\) |
Les quatre premieres transformations sont des isometries (elles conservent les distances). L’homothetie est une similitude (elle conserve les angles mais pas les distances).
Il n’existe que 3 pavages reguliers du plan (avec un seul type de polygone regulier) :
Un motif repete par une translation (meme glissement) forme une frise. En ajoutant des symétries, on obtient les 7 types de frises possibles.
Transformations géométriques : teste d’abord ton intuition, puis lis l’explication.
« Une translation conserve les distances et les angles. »
Cette propriété est-elle vraie ?
Oui ! La translation est une isometrie : elle conserve distances, angles, alignements et aires.
« Une rotation change la taille des figures. »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux ! La rotation est une isometrie : elle conserve les distances et la taille.
« La symétrie centrale de centre \(O\) est une rotation de 180°. »
Cette affirmation est-elle correcte ?
C’est vrai ! La symétrie centrale est exactement la rotation de 180° (demi-tour).
« L’image d’un segment par une translation est un segment parallele de meme longueur. »
Cette propriété est-elle vraie ?
C’est vrai ! Par translation, un segment donne un segment parallele, de meme longueur et direction.
« La symétrie axiale conserve l’orientation des figures. »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux ! La symétrie axiale inverse l’orientation. Comme un miroir.
Pour approfondir, d'autres applets s'ouvrent en plein écran dans un nouvel onglet :
Banque complète (1245 applets) — voir le catalogue GeoGebra.
| Transformation | Définie par | Type |
|---|---|---|
| Symétrie axiale | Une droite (axe) | Isometrie |
| Symétrie centrale | Un point (centre) | Isometrie |
| Translation | Une direction, un sens et une distance | Isometrie |
| Rotation | Un centre et un angle | Isometrie |
| Homothetie | Un centre et un rapport \(k\) | Similitude |
Le logo a trois branches est obtenu par rotation de 120° et rotation de 240° autour du centre. Le motif initial est reproduit 3 fois pour couvrir les 360° du tour complet (\(3 \times 120° = 360°\)).
Chaque rotation est une isometrie : les trois branches sont identiques (memes longueurs, memes angles, memes aires). Le logo presente une symétrie de rotation d’ordre 3.
Un hexagone regulier possede 6 axes de symétrie :
Il admet 5 rotations (autres que l’identité) qui le laissent invariant : les rotations de centre le centre de l’hexagone et d’angles 60°, 120°, 180°, 240° et 300°.
Au total, son groupe de symétries compte 12 éléments (6 symétries + 6 rotations, en comptant l’identité).