Troisieme — Programme officiel (BO 2020) · Math@mine
Un macon veut verifier qu’un angle de mur est bien droit. Il mesure 3 metres le long d’un mur, 4 metres le long de l’autre mur, puis la diagonale entre les deux extrémités.
Pythagore de Samos (vers 580–495 av. J.-C.) a fonde une ecole philosophique et mathematique en Grande-Grece (sud de l’Italie). Les Pythagoriciens etudiaient les nombres, la géométrie et la musique.
Le théorème qui porte son nom etait déjà connu des Babyloniens plus de 1000 ans avant lui (tablette Plimpton 322, vers 1800 av. J.-C.). Mais c’est l’ecole pythagoricienne qui en a donne la premiere demonstration.
Les Pythagoriciens ont aussi découvert que \(\sqrt{2}\) n’est pas une fraction — une découverte qui les a profondement troubles, car elle remettait en cause leur croyance que « tout est nombre ».
Un triplet pythagoricien est un ensemble de trois entiers positifs \((a, b, c)\) tels que \(a^2 + b^2 = c^2\). Le plus celebre est \((3, 4, 5)\).
Si \(ABC\) est rectangle en \(A\), alors : \(\boxed{BC^2 = AB^2 + AC^2}\)
On peut illustrer ce résultat geometriquement : le carré construit sur l’hypotenuse a la meme aire que la somme des carrés construits sur les deux autres cotes. Il existe de nombreuses demonstrations (plus de 300 connues !), mais elles depassent le niveau de la 3eme.
Verification sur un exemple : un triangle rectangle de cotes 3, 4 et 5 verifie \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\). \(\checkmark\)
Le théorème ne s’applique que dans un triangle rectangle. L’egalite concerne toujours l'hypotenuse (le plus grand cote, oppose a l’angle droit) au carré d’un cote, et les deux autres cotes de l’autre.
On connait les deux cotes de l’angle droit et on cherche l’hypotenuse.
Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\) avec \(AB = 6\) cm et \(AC = 8\) cm. Calculer \(BC\).
D’apres le théorème de Pythagore : \(BC^2 = AB^2 + AC^2\)
\(BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\)
Donc \(BC = \sqrt{100} = 10\) cm.
On connait l’hypotenuse et un cote, on cherche l’autre cote.
Le triangle \(EFG\) est rectangle en \(E\) avec \(FG = 13\) cm et \(EF = 5\) cm. Calculer \(EG\).
D’apres le théorème de Pythagore : \(FG^2 = EF^2 + EG^2\)
\(13^2 = 5^2 + EG^2\)
\(169 = 25 + EG^2\)
\(EG^2 = 169 - 25 = 144\)
Donc \(EG = \sqrt{144} = 12\) cm.
Le résultat n’est pas toujours un entier. Par exemple, si \(AB = 3\) et \(AC = 5\), alors \(BC = \sqrt{34} \approx 5{,}83\) cm. On donne alors la valeur exacte (\(\sqrt{34}\)) et une valeur approchee.
Si \(BC^2 = AB^2 + AC^2\), on construit un triangle rectangle de cotes \(AB\) et \(AC\) ; par le théorème de Pythagore, son hypotenuse mesure \(\sqrt{AB^2 + AC^2} = BC\). Les deux triangles ont les memes longueurs de cotes, donc sont egaux : le triangle initial est bien rectangle.
Le triangle \(RST\) a pour dimensions : \(RS = 5\), \(ST = 13\), \(RT = 12\).
Le plus grand cote est \(ST = 13\). Calculons \(ST^2\) : \(ST^2 = 13^2 = 169\).
Calculons \(RS^2 + RT^2\) : \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\).
On a \(ST^2 = RS^2 + RT^2\). D’apres la reciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(RST\) est rectangle en \(R\).
Le triangle \(KLM\) a pour dimensions : \(KL = 4\), \(LM = 7\), \(KM = 6\).
Le plus grand cote est \(LM = 7\). Calculons \(LM^2\) : \(LM^2 = 49\).
Calculons \(KL^2 + KM^2\) : \(16 + 36 = 52\).
On a \(49 \neq 52\), donc \(LM^2 \neq KL^2 + KM^2\). D’apres la contraposee du théorème de Pythagore, le triangle \(KLM\) n’est pas rectangle.
Les points \(A(x_A; y_A)\) et \(B(x_B; y_B)\) forment un triangle rectangle avec le point \(C(x_B; y_A)\), rectangle en \(C\). Les cotes de l’angle droit mesurent \(|x_B - x_A|\) et \(|y_B - y_A|\). Par le théorème de Pythagore : \(AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2\), d’ou \(AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\).
Calculer la distance \(AB\) avec \(A(1 ; 3)\) et \(B(4 ; 7)\).
\(AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
Un rectangle \(ABCD\) a pour dimensions \(AB = 8\) cm et \(BC = 6\) cm. Calculer la diagonale \(AC\).
Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\) (car \(ABCD\) est un rectangle).
\(AC^2 = AB^2 + BC^2 = 64 + 36 = 100\), donc \(AC = 10\) cm.
Une échelle de 5 m est posee contre un mur. Son pied est a 3 m du mur. A quelle hauteur atteint-elle le mur ?
Le triangle forme est rectangle. L’échelle est l’hypotenuse (\(5\) m), la distance au mur est un cote (\(3\) m).
\(h^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16\), donc \(h = 4\) m.
Théorème de Pythagore : teste d’abord ton intuition, puis lis l’explication.
« Le théorème de Pythagore s’applique a tout triangle. »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux ! Le théorème ne s’applique qu’aux triangles rectangles.
« L’hypotenuse est le plus petit cote du triangle rectangle. »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux ! L’hypotenuse est le plus grand cote, oppose a l’angle droit.
« \(a^2 + b^2 = c^2\) implique que l’angle droit est en \(C\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux ! L’angle droit est en face de \(c\) (l’hypotenuse), pas « en \(C\) ».
Si \(BC^2 = AB^2 + AC^2\), l’angle droit est en \(A\) (en face de \(BC\)).
« Dans \(ABC\) rectangle en \(A\), on a \(BC^2 = AB^2 + AC^2\). »
Cette formule est-elle correcte ?
Oui ! \(BC\) est l’hypotenuse (oppose a l’angle droit en \(A\)).
« Si \(AB^2 + AC^2 \neq BC^2\), alors \(ABC\) n’est pas rectangle. »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Attention ! C’est vrai seulement si \(BC\) est le plus grand cote. Sinon, il faut tester avec le bon cote.
Exemple : triangle 3, 5, 4. \(3^2 + 5^2 \neq 4^2\). Mais \(3^2 + 4^2 = 25 = 5^2\). Il est rectangle !
Pour approfondir, d'autres applets s'ouvrent en plein écran dans un nouvel onglet :
Banque complète (1245 applets) — voir le catalogue GeoGebra.
| Situation | Formule / Résultat |
|---|---|
| Théorème de Pythagore | Si \(ABC\) rectangle en \(A\), alors \(BC^2 = AB^2 + AC^2\) |
| Calculer l’hypotenuse | \(BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}\) |
| Calculer un cote | \(AC = \sqrt{BC^2 - AB^2}\) |
| Reciproque | Si \(BC^2 = AB^2 + AC^2\), alors rectangle en \(A\) |
| Contraposee | Si \(BC^2 \neq AB^2 + AC^2\), alors pas rectangle |
Le macon mesure 3 m et 4 m le long des deux murs. Si l’angle est droit, le triangle forme est rectangle.
D’apres le théorème de Pythagore : \(d^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\), donc \(d = 5\) m.
La diagonale doit mesurer exactement 5 metres. C’est la celebre règle « 3-4-5 » utilisee depuis l’Antiquite par les batisseurs egyptiens (les « harpedonaptes », tendeurs de cordes).
Si la diagonale ne fait pas 5 m, l’angle n’est pas droit (contraposee de Pythagore).
Les triplets pythagoriciens avec \(c \leq 20\) sont :