Troisieme — Programme officiel (BO 2020) · Math@mine
On dispose d’une feuille de carton de 30 cm sur 20 cm. On peut fabriquer soit un cylindre (en roulant la feuille dans un sens), soit un pave droit (en decoupant des coins). Quel solide a le plus grand volume ?
Archimede de Syracuse (vers 287–212 av. J.-C.) est l’un des plus grands mathematiciens de l’Antiquite. Il a demontre que le volume d’une sphere est egal aux deux tiers du volume du cylindre qui la contient.
Il etait si fier de cette découverte qu’il a demande que l’on grave une sphere inscrite dans un cylindre sur sa tombe. Ciceron a retrouve cette tombe 150 ans plus tard, envahie par la vegetation.
Avec les notations modernes : \(V_{\text{sphere}} = \frac{4}{3}\pi r^3\) et \(V_{\text{cylindre}} = \pi r^2 \times 2r = 2\pi r^3\), d’ou \(\frac{V_{\text{sphere}}}{V_{\text{cylindre}}} = \frac{2}{3}\). ✓
Un cone et un cylindre ont la meme base (un disque de rayon \(r\)) et la meme hauteur \(h\).
La boule n’a pas de patron : on ne peut pas « deplier » une sphere a plat sans la deformer (c’est pourquoi les cartes du monde sont toujours deformees).
Le prisme droit peut etre vu comme un empilement de couches identiques a la base, chacune d’epaisseur infiniment petite. Le volume total est donc l’aire de la base multipliee par la hauteur : \(V = \mathcal{A}_{\text{base}} \times h\).
Le cylindre est un cas particulier de « prisme a base circulaire ». Sa base est un disque d’aire \(\pi r^2\), donc \(V = \pi r^2 \times h\).
Un cylindre a un rayon de 5 cm et une hauteur de 10 cm.
\(V = \pi \times 5^2 \times 10 = 250\pi \approx 785{,}4\) cm³.
On admet que le volume d’une pyramide est le tiers de celui du prisme de meme base et meme hauteur. On peut le verifier en decoupant un cube en trois pyramides identiques de meme sommet.
Le cone est une « pyramide a base circulaire ». Comme pour toute pyramide, son volume est le tiers du cylindre correspondant : \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\).
Le volume d’une pyramide (ou d’un cone) est exactement le tiers du volume du prisme (ou du cylindre) de meme base et meme hauteur. C’est un résultat fondamental.
Un cone a un rayon de 3 cm et une hauteur de 7 cm.
\(V = \frac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 7 = \frac{63\pi}{3} = 21\pi \approx 66{,}0\) cm³.
La formule \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\) est admise en 3eme. Elle a ete découverte par Archimede (IIIe siecle av. J.-C.) en comparant la sphere a un cylindre. Sa demonstration rigoureuse utilise le calcul integral (programme de Terminale).
La formule \(\mathcal{A} = 4\pi r^2\) est admise. On peut remarquer qu’elle vaut exactement 4 fois l’aire du disque de meme rayon.
Une boule de rayon 6 cm :
\(V = \frac{4}{3}\pi \times 6^3 = \frac{4}{3}\pi \times 216 = 288\pi \approx 904{,}8\) cm³
\(A = 4\pi \times 6^2 = 144\pi \approx 452{,}4\) cm²
L’aire de la sphere est exactement 4 fois l’aire du grand cercle : \(4\pi r^2 = 4 \times (\pi r^2)\).
La section d’un solide par un plan est la figure obtenue en « coupant » le solide. Par exemple, couper une pyramide par un plan parallele a la base donne une figure semblable a la base (par le théorème de Thales en 3D). Couper une sphere par un plan donne toujours un cercle.
On coupe un cone de hauteur 12 cm et de rayon de base 6 cm par un plan parallele a la base, a 8 cm du sommet.
Le rapport de reduction est \(k = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\). Le rayon de la section est \(6 \times \frac{2}{3} = 4\) cm.
Si toutes les longueurs sont multipliees par \(k\), les aires (produit de deux longueurs) sont multipliees par \(k^2\), et les volumes (produit de trois longueurs) par \(k^3\). Par exemple, un cube de cote \(2a\) a un volume de \((2a)^3 = 8a^3 = 2^3 \times a^3\).
On agrandit un solide avec un rapport \(k = 3\).
Une maquette est a l’échelle \(\frac{1}{50}\) (rapport \(k = 0{,}02\)).
Géométrie dans l’espace : teste d’abord ton intuition, puis lis l’explication.
« Le volume d’un cylindre est \(V = \pi \times r \times h\). »
Cette formule est-elle correcte ?
Faux ! \(V = \pi \times r^2 \times h\). Il faut le carré du rayon.
« La section d’un cube par un plan est toujours un carré. »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux ! La section peut etre un triangle, rectangle, pentagone, hexagone…
Un plan diagonal peut donner un hexagone regulier !
« Le volume d’une pyramide est \(V = \text{Aire de la base} \times h\). »
Cette formule est-elle correcte ?
Faux ! \(V = \frac{1}{3} \times \text{Aire de la base} \times h\). Ne pas oublier le facteur \(\frac{1}{3}\) !
« Le volume d’une sphere est \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\). »
Cette formule est-elle correcte ?
Oui ! \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\) est la formule du volume de la boule.
A ne pas confondre avec l’aire de la sphere : \(A = 4\pi r^2\).
« La section d’une sphere par un plan est toujours un grand cercle. »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux ! La section est un cercle, mais pas necessairement un grand cercle.
Grand cercle uniquement si le plan passe par le centre de la sphere.
| Solide | Volume |
|---|---|
| Prisme droit / Cylindre | \(V = \text{Aire base} \times h\) |
| Cylindre | \(V = \pi r^2 h\) |
| Pyramide / Cone | \(V = \frac{1}{3} \times \text{Aire base} \times h\) |
| Cone | \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\) |
| Boule | \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\) |
| Sphere (aire) | \(A = 4\pi r^2\) |
| Grandeur | Coefficient multiplicateur |
|---|---|
| Longueurs | \(k\) |
| Aires | \(k^2\) |
| Volumes | \(k^3\) |
En roulant la feuille par le cote de 30 cm, on obtient un cylindre de circonference 30 cm et de hauteur 20 cm.
Rayon : \(r = \frac{30}{2\pi} = \frac{15}{\pi} \approx 4{,}77\) cm.
Volume : \(V = \pi r^2 h = \pi \times \left(\frac{15}{\pi}\right)^2 \times 20 = \pi \times \frac{225}{\pi^2} \times 20 = \frac{4\,500}{\pi} \approx 1\,432\) cm³.
En roulant par le cote de 20 cm : circonference = 20 cm, hauteur = 30 cm, rayon = \(\frac{10}{\pi}\).
\(V = \pi \times \frac{100}{\pi^2} \times 30 = \frac{3\,000}{\pi} \approx 955\) cm³.
Le cylindre roule par le grand cote contient plus (environ 1 432 cm³ contre 955 cm³). Rouler par le grand cote donne toujours un plus grand volume !
\(V_{\text{cylindre}} = \pi r^2 h\)
\(V_{\text{cone}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h\)
Le rapport est : \(\dfrac{V_{\text{cone}}}{V_{\text{cylindre}}} = \dfrac{\frac{1}{3}\pi r^2 h}{\pi r^2 h} = \dfrac{1}{3}\)
Le cone occupe exactement le tiers du volume du cylindre. On peut le verifier experimentalement en remplissant le cone d’eau : il faut 3 cones pour remplir le cylindre.