Troisieme — Programme officiel (BO 2020) · Math@mine
Un arbre projette une ombre de 12 metres sur le sol. Au meme moment, un piquet de 1,5 m projette une ombre de 2 m. Comment calculer la hauteur de l’arbre sans y grimper ?
Thales de Milet (vers 625–545 av. J.-C.) est considere comme le premier mathematicien grec. La legende raconte qu’il a mesure la hauteur de la grande pyramide de Kheops en Egypte grace aux ombres.
Il a attendu le moment de la journee ou sa propre ombre avait la meme longueur que sa taille. A cet instant precis, l’ombre de la pyramide etait egale a sa hauteur ! Plus tard, il a generalise la méthode en utilisant les proportions entre ombres et hauteurs — c’est le principe du théorème de Thales.
Tu te trouves au bord d’une riviere et tu veux mesurer sa largeur sans la traverser. Tu plantes un piquet \(A\) au bord, tu reperes un arbre \(B\) sur l’autre rive. Puis tu marches le long de la rive : tu places un piquet \(C\) a 10 m de \(A\), un piquet \(D\) a 2 m de \(C\) (dans le prolongement de \(AC\)). Depuis \(D\), tu vises \(B\) et tu places un piquet \(E\) sur la rive tel que \((DE) \parallel (AB)\), avec \(DE = 3\) m.
On parle de triangles emboites quand \(M\) et \(N\) sont entre \(A\) et \(B\), \(C\) respectivement (les points sont du meme cote de \(A\)).
Le théorème de Thales est admis en 3eme. L’idee est que des droites paralleles « decoupent » les secantes proportionnellement. On peut le voir avec un agrandissement/reduction : la figure decoupee par les paralleles est une version agrandie (ou reduite) de l’autre, donc les longueurs sont proportionnelles.
Dans le triangle \(ABC\), \(M \in [AB]\) et \(N \in [AC]\) avec \((MN) \parallel (BC)\). On sait que \(AM = 3\), \(AB = 5\), \(AN = 4{,}2\) et \(BC = 8\). Calculer \(AC\) et \(MN\).
D’apres le théorème de Thales (car \((MN) \parallel (BC)\)) :
\(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}\)
\(\dfrac{3}{5} = \dfrac{4{,}2}{AC} = \dfrac{MN}{8}\)
\(AC = \dfrac{4{,}2 \times 5}{3} = 7\) et \(MN = \dfrac{3 \times 8}{5} = 4{,}8\)
C’est une application directe du théorème de Thales dans la configuration consideree. Les rapports de longueurs sont egaux car les droites sont paralleles, donc les triangles sont semblables et l’un est un agrandissement ou une reduction de l’autre.
Les droites \((BN)\) et \((CM)\) se coupent en \(A\). On sait que \((BC) \parallel (MN)\), \(AB = 4\), \(AM = 6\), \(BC = 5\). Calculer \(MN\).
C’est une configuration papillon. D’apres Thales :
\(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}\), soit \(\dfrac{6}{4} = \dfrac{MN}{5}\), donc \(MN = \dfrac{6 \times 5}{4} = 7{,}5\).
La reciproque est egalement admise en 3eme. Si les rapports sont egaux et que les points sont dans le bon ordre, les droites sont necessairement paralleles.
Dans le triangle \(ABC\), \(M \in [AB]\) et \(N \in [AC]\) avec \(AM = 2\), \(AB = 5\), \(AN = 3\), \(AC = 7{,}5\).
\(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\) et \(\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{3}{7{,}5} = 0{,}4\)
Les rapports sont egaux et les points sont dans le meme ordre. D’apres la reciproque du théorème de Thales, \((MN) \parallel (BC)\).
Il faut aussi verifier que les points sont dans le meme ordre (tous du meme cote du sommet). Sinon, on ne peut pas conclure.
Un batiment projette une ombre de 15 m au sol. Au meme instant, un poteau de 2 m projette une ombre de 3 m. Quelle est la hauteur du batiment ?
Les rayons du soleil etant paralleles, on est dans une configuration de Thales :
\(\dfrac{h}{2} = \dfrac{15}{3}\), donc \(h = \dfrac{2 \times 15}{3} = 10\) m.
Pour diviser un segment \([AB]\) en 5 parts egales avec une règle et un compas, on trace une demi-droite issue de \(A\), on y reporte 5 fois la meme longueur pour obtenir des points equidistants, puis on trace les paralleles a la droite joignant le dernier point a \(B\). D’apres le théorème de Thales, ces paralleles decoupent \([AB]\) en 5 parts egales.
C’est une application directe du théorème de Thales dans la configuration consideree. Les rapports de longueurs sont egaux car les droites sont paralleles, donc les triangles sont semblables et l’un est un agrandissement ou une reduction de l’autre.
Théorème de Thales : teste d’abord ton intuition, puis lis l’explication.
« Le théorème de Thales fonctionne meme sans droites paralleles. »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux ! L’hypothese de parallelisme est essentielle.
« Dans une configuration de Thales avec \((BC) \parallel (B'C')\), les rapports \(\frac{AB'}{AB} = \frac{AC'}{AC} = \frac{B'C'}{BC}\) sont egaux. »
Cette propriété est-elle correcte ?
Oui ! C’est exactement l’enonce du théorème de Thales.
« Le théorème de Thales permet de calculer des angles. »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux ! Thales permet de calculer des longueurs, pas des angles.
« L’ordre des points n’a pas d’importance dans le théorème de Thales. »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux ! L’ordre des points est crucial (configuration « papillon » vs « triangle emboite »).
« Si les rapports sont egaux, alors les droites sont paralleles. »
Cette reciproque est-elle correcte ?
Attention ! La reciproque necessite aussi que les points soient alignes dans le bon ordre.
Pour approfondir, d'autres applets s'ouvrent en plein écran dans un nouvel onglet :
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| Situation | Formule / Résultat |
|---|---|
| Théorème de Thales | Si \((MN) \parallel (BC)\), alors \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}\) |
| Configuration papillon | Meme formule, point d’intersection entre les paralleles |
| Reciproque | Si \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}\) (meme ordre), alors \((MN) \parallel (BC)\) |
Les rayons du soleil sont paralleles. L’arbre et le piquet forment deux configurations de Thales semblables.
Soit \(h\) la hauteur de l’arbre. On a les proportions :
\(\dfrac{h}{1{,}5} = \dfrac{12}{2}\)
\(h = \dfrac{1{,}5 \times 12}{2} = 9\) m.
L’arbre mesure 9 metres de haut.
On a une configuration de Thales avec les droites \((BE)\) et \((AD)\) secantes en \(C\), et \((AB) \parallel (DE)\).
D’apres le théorème de Thales : \(\dfrac{CA}{CD} = \dfrac{AB}{DE}\)
\(\dfrac{10}{2} = \dfrac{AB}{3}\), donc \(AB = \dfrac{10 \times 3}{2} = 15\) m.
La riviere fait 15 metres de large.