Troisieme — Programme officiel (BO 2020) · Math@mine
Un toit a une pente de 35° par rapport a l’horizontale. La base du toit (distance horizontale) mesure 6 metres. Quelle est la hauteur du pignon ?
Hipparque de Nicee (vers 190–120 av. J.-C.) est considere comme le pere de la trigonométrie. Astronome grec, il a construit les premieres tables de cordes — l’ancetre de nos tables de sinus — pour calculer les positions des etoiles.
Le mot trigonométrie vient du grec : trigonon (triangle) et metron (mesure). Les mathematiciens indiens (Aryabhata, Ve siecle) ont ensuite introduit le sinus tel qu’on le connait, et les mathematiciens arabes ont développé la tangente.
Du haut d’un phare de 50 m, on regarde l’horizon. La Terre est une sphere de rayon \(R = 6\,371\) km. A quelle distance peut-on voir ?
L’hypotenuse ne change pas, mais le cote adjacent et le cote oppose dependent de l’angle considere. Si on se place par rapport a l’angle \(\widehat{C}\), le cote adjacent est \([AC]\) et le cote oppose est \([AB]\).
Dans le triangle \(ABC\) rectangle en \(A\), \(AB = 4\) et \(BC = 5\).
\(\cos(\widehat{B}) = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{4}{5} = 0{,}8\)
Le cosinus d’un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1 : \(0 < \cos(\alpha) < 1\) pour \(0° < \alpha < 90°\).
Dans le triangle \(ABC\) rectangle en \(A\), \(AC = 3\) et \(BC = 5\).
\(\sin(\widehat{B}) = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\)
Dans le triangle \(ABC\) rectangle en \(A\), \(AC = 3\) et \(AB = 4\).
\(\tan(\widehat{B}) = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75\)
Contrairement au cosinus et au sinus, la tangente peut prendre des valeurs superieures a 1. Par exemple, \(\tan(60°) = \sqrt{3} \approx 1{,}73\).
Par definition : \(\sin(\alpha) = \frac{\text{oppose}}{\text{hypotenuse}}\) et \(\cos(\alpha) = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}\).
Donc \(\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{\text{oppose}/\text{hyp.}}{\text{adjacent}/\text{hyp.}} = \frac{\text{oppose}}{\text{adjacent}} = \tan(\alpha)\).
Triangle \(ABC\) rectangle en \(A\), \(\widehat{B} = 35°\), \(BC = 10\). Calculer \(AC\).
On connait l’hypotenuse et on cherche le cote oppose a \(\widehat{B}\) → on utilise le sinus.
\(\sin(35°) = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{AC}{10}\)
\(AC = 10 \times \sin(35°) \approx 10 \times 0{,}574 \approx 5{,}74\) cm.
Triangle \(DEF\) rectangle en \(D\), \(\widehat{E} = 42°\), \(DE = 7\). Calculer \(EF\).
On connait le cote adjacent a \(\widehat{E}\) et on cherche l’hypotenuse → on utilise le cosinus.
\(\cos(42°) = \dfrac{DE}{EF} = \dfrac{7}{EF}\)
\(EF = \dfrac{7}{\cos(42°)} \approx \dfrac{7}{0{,}743} \approx 9{,}42\) cm.
Triangle \(ABC\) rectangle en \(A\), \(AB = 4\), \(AC = 3\). Calculer \(\widehat{B}\).
Par rapport a \(\widehat{B}\) : cote adjacent \(= AB = 4\), cote oppose \(= AC = 3\). On utilise la tangente.
\(\tan(\widehat{B}) = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75\)
\(\widehat{B} = \tan^{-1}(0{,}75) \approx 36{,}9°\)
| Cotes connus/cherches | Rapport a utiliser |
|---|---|
| Adjacent et hypotenuse | Cosinus |
| Oppose et hypotenuse | Sinus |
| Oppose et adjacent | Tangente |
Trigonométrie : teste d’abord ton intuition, puis lis l’explication.
« Le sinus d’un angle est toujours positif. »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux en général ! En 3eme (0° a 90°), sinus est positif. Au lycee, \(\sin(210°) = -0{,}5\).
« \(\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\) »
Cette formule est-elle correcte ?
Oui ! C’est la definition de la tangente (quand \(\cos(\alpha) \neq 0\)).
« \(\cos(a + b) = \cos(a) + \cos(b)\) »
Cette formule est-elle correcte ?
Faux ! Le cosinus ne se distribue pas sur l’addition.
Contre-exemple : \(\cos(60°) = 0{,}5\), mais \(\cos(30°) + \cos(30°) \approx 1{,}73 \neq 0{,}5\).
« \(\sin(\alpha) = \frac{\text{cote adjacent}}{\text{hypotenuse}}\) »
Cette formule est-elle correcte ?
Faux ! \(\sin(\alpha) = \frac{\text{cote oppose}}{\text{hypotenuse}}\). C’est le cosinus qui utilise le cote adjacent.
« \(\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1\) »
Cette relation est-elle toujours vraie ?
C’est vrai ! Consequence directe du théorème de Pythagore.
\(\left(\frac{\text{adj}}{\text{hyp}}\right)^2 + \left(\frac{\text{opp}}{\text{hyp}}\right)^2 = \frac{\text{adj}^2 + \text{opp}^2}{\text{hyp}^2} = 1\)
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| Rapport | Formule | Moyen mnemotechnique |
|---|---|---|
| Cosinus | \(\cos(\alpha) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}\) | CAH |
| Sinus | \(\sin(\alpha) = \dfrac{\text{oppose}}{\text{hypotenuse}}\) | SOH |
| Tangente | \(\tan(\alpha) = \dfrac{\text{oppose}}{\text{adjacent}}\) | TOA |
| Angle | \(\cos\) | \(\sin\) | \(\tan\) |
|---|---|---|---|
| 30° | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}87\) | \(\dfrac{1}{2} = 0{,}5\) | \(\dfrac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}58\) |
| 45° | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}71\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}71\) | \(1\) |
| 60° | \(\dfrac{1}{2} = 0{,}5\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}87\) | \(\sqrt{3} \approx 1{,}73\) |
Le toit forme un triangle rectangle. L’angle a la base est de 35°, le cote adjacent (base) mesure 6 m, et on cherche le cote oppose (hauteur du pignon).
On utilise la tangente : \(\tan(35°) = \dfrac{h}{6}\)
\(h = 6 \times \tan(35°) \approx 6 \times 0{,}700 \approx 4{,}20\) m.
La hauteur du pignon est d’environ 4,20 metres.
Le triangle forme par le centre de la Terre \(O\), le sommet du phare \(P\) et le point de tangence \(T\) est rectangle en \(T\).
\(OP = R + h = 6\,371{,}050\) km et \(OT = R = 6\,371\) km.
Par Pythagore : \(PT^2 = OP^2 - OT^2 = (R+h)^2 - R^2 = 2Rh + h^2\)
\(PT = \sqrt{2 \times 6\,371 \times 0{,}050 + 0{,}050^2} \approx \sqrt{637{,}1} \approx 25{,}2\) km.
On voit a environ 25 km depuis un phare de 50 m !