Troisieme — Programme officiel (BO 2020) · Math@mine
Un ecran de television a une largeur de 120 cm et une hauteur de 68 cm. On annonce une diagonale de 55 pouces (soit environ 140 cm). Comment verifier cette valeur ?
La tablette d’argile YBC 7289, datant d’environ 1800 av. J.-C., montre un carré avec ses deux diagonales. Les Babyloniens y ont inscrit une approximation remarquable de \(\sqrt{2}\) :
\(1 ; 24, 51, 10\) en base 60, soit \(1 + \dfrac{24}{60} + \dfrac{51}{3600} + \dfrac{10}{216000} \approx 1{,}414\,213\)
Cette valeur est exacte a \(10^{-6}\) pres ! C’est l’une des plus anciennes traces de calcul de racine carree connues.
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’ecrire sous forme de fraction \(\dfrac{p}{q}\) avec \(p\) et \(q\) entiers. Peut-on ecrire \(\sqrt{2}\) sous cette forme ?
Par definition, \(\sqrt{a^2}\) est le nombre positif dont le carré vaut \(a^2\). On distingue deux cas.
Cas 1 : \(a \geq 0\). Alors \(a\) est positif et \(a^2 = a \times a\). Le nombre positif dont le carré vaut \(a^2\) est \(a\) lui-meme. Donc \(\sqrt{a^2} = a\). Or \(|a| = a\) dans ce cas. ✓
Cas 2 : \(a < 0\). Alors \(-a > 0\) et \((-a)^2 = a^2\). Le nombre positif dont le carré vaut \(a^2\) est donc \(-a\). Donc \(\sqrt{a^2} = -a\). Or \(|a| = -a\) dans ce cas. ✓
Dans les deux cas, \(\sqrt{a^2} = |a|\). ∎
Exemple concret : \(\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5\). On retrouve bien \(|-5| = 5\), pas \(-5\).
| \(n\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(n^2\) | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 |
Exemple : Encadrer \(\sqrt{50}\).
On sait que \(49 < 50 < 64\), donc \(\sqrt{49} < \sqrt{50} < \sqrt{64}\), soit \(7 < \sqrt{50} < 8\).
On verifie que \(\sqrt{a} \times \sqrt{b}\) est bien la racine carree de \(ab\) :
C’est un nombre positif (produit de deux positifs), et son carré vaut \((\sqrt{a} \times \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 \times (\sqrt{b})^2 = a \times b\).
Par definition de la racine carree, c’est donc \(\sqrt{ab}\).
On verifie que \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) est bien la racine carree de \(\frac{a}{b}\) :
C’est un nombre positif, et son carré vaut \(\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)^2 = \frac{(\sqrt{a})^2}{(\sqrt{b})^2} = \frac{a}{b}\).
Par definition, c’est donc \(\sqrt{\frac{a}{b}}\).
\(\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}\) en général !
Contre-exemple : \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), mais \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7 \neq 5\).
On factorise par \(\sqrt{n}\) en utilisant la distributivite (chapitre 2) :
\(a\sqrt{n} + b\sqrt{n} = (a + b) \times \sqrt{n} = (a+b)\sqrt{n}\).
Exemple : Développer \((3 + \sqrt{2})(3 - \sqrt{2})\).
C’est de la forme \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\) :
\((3 + \sqrt{2})(3 - \sqrt{2}) = 3^2 - (\sqrt{2})^2 = 9 - 2 = 7\)
Racines carrees : teste d’abord ton intuition, puis lis l’explication.
« \(\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}\) »
Cette formule est-elle correcte ?
Faux ! La racine carree ne se distribue pas sur l’addition.
Contre-exemple : \(\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\), mais \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7 \neq 5\).
« \(\sqrt{a^2} = a\) pour tout réel \(a\). »
Cette affirmation est-elle vraie ?
Faux ! \(\sqrt{a^2} = |a|\), pas \(a\).
Contre-exemple : \(\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 = |-5|\), et non \(-5\).
« \(\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\) pour \(a, b \geq 0\). »
Cette propriété est-elle toujours vraie ?
Oui ! Pour \(a \geq 0\) et \(b \geq 0\), \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\).
Exemple : \(\sqrt{4 \times 9} = \sqrt{36} = 6 = 2 \times 3 = \sqrt{4} \times \sqrt{9}\). ✓
« \(\sqrt{4} = \pm 2\) »
Cette ecriture est-elle correcte ?
Faux ! \(\sqrt{4} = 2\) (et non \(\pm 2\)). La racine carree donne le nombre positif.
Attention : si \(x^2 = 4\), alors \(x = \pm 2\). Mais \(\sqrt{4}\) designe uniquement la valeur positive.
« \((\sqrt{a})^2 = a\) pour tout \(a \geq 0\). »
Cette propriété est-elle vraie ?
C’est en fait vrai ! Pour \(a \geq 0\), on a bien \((\sqrt{a})^2 = a\) par definition.
Il faut que \(a \geq 0\) pour que \(\sqrt{a}\) existe dans \(\mathbb{R}\).
| Nom | Formule |
|---|---|
| Definition | \(\sqrt{a} \geqslant 0\) et \((\sqrt{a})^2 = a\) |
| Produit | \(\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\) |
| Quotient | \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) |
| Racine d’un carré | \(\sqrt{a^2} = |a|\) |
| Addition | \(a\sqrt{n} + b\sqrt{n} = (a+b)\sqrt{n}\) |
L’ecran est un rectangle de largeur \(L = 120\) cm et hauteur \(H = 68\) cm.
D’apres le théorème de Pythagore, la diagonale \(d\) verifie :
\(d^2 = L^2 + H^2 = 120^2 + 68^2 = 14\,400 + 4\,624 = 19\,024\)
\(d = \sqrt{19\,024} = \sqrt{4 \times 4\,756} = 2\sqrt{4\,756} \approx 137{,}9\) cm
Soit environ \(\dfrac{137{,}9}{2{,}54} \approx 54{,}3\) pouces. L’annonce de 55 pouces est donc une valeur arrondie.
Supposons \(\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}\) avec \(p\) et \(q\) entiers, \(q \neq 0\), fraction irreductible.
Alors \(2 = \dfrac{p^2}{q^2}\), donc \(p^2 = 2q^2\). Ainsi \(p^2\) est pair, donc \(p\) est pair : \(p = 2k\).
On obtient \(4k^2 = 2q^2\), soit \(q^2 = 2k^2\). Donc \(q\) est aussi pair.
Contradiction : \(p\) et \(q\) sont tous les deux pairs, donc la fraction n’est pas irreductible !
Conclusion : \(\sqrt{2}\) est irrationnel — il ne peut pas s’ecrire sous forme de fraction. C’est une demonstration par l’absurde, connue depuis les Grecs anciens (ecole pythagoricienne).