Naissance du calcul des probabilités · Simulation et résolution mathématique
Antoine Gombaud, dit le chevalier de Méré, est un joueur professionnel et philosophe amateur. Il soumet deux questions à Blaise Pascal (1623–1662), alors âgé de 31 ans.
La correspondance qui s'ensuit entre Pascal et Pierre de Fermat (1607–1665) fonde la théorie des probabilités. Méré ne comprend pas pourquoi sa stratégie « habituelle » du jeu 1 est gagnante, mais que sa tentative d'adaptation au jeu 2 ne l'est pas.
« Je ne suis pas assez habile, mais vous êtes trop. » — Méré à Pascal, 1654
Méré pariait sur ce jeu et gagnait sur la durée. Il misait que cela arriverait plus souvent qu'une fois sur deux.
Méré pensait ce jeu équivalent au premier, mais il perdait. Il ne comprenait pas pourquoi.
Méré raisonnait ainsi : « il faut 6 lancers pour avoir 1 chance sur 6 d'obtenir un 6 ; il faut donc 6 × 6 = 36 lancers pour avoir 1 chance sur 36 d'obtenir un double-6 ». Il prenait les 2/3 de 6 et 36, soit 4 et 24. Ce raisonnement est faux : les probabilités ne se combinent pas par simple proportionnalité.
On calcule la probabilité de l'événement complémentaire : n'obtenir aucun 6 en 4 lancers.
À chaque lancer, la probabilité de ne pas obtenir 6 est $\dfrac{5}{6}$. Les lancers étant indépendants :
$$P(\text{aucun 6 en 4 lancers}) = \left(\frac{5}{6}\right)^4 = \frac{625}{1296} \approx 0{,}4823$$Donc :
$$\boxed{P(\text{au moins un 6 en 4 lancers}) = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^4 \approx 0{,}5177}$$Cette probabilité est supérieure à $\frac{1}{2}$ : Méré gagnait bien sur la durée ✓
La probabilité d'obtenir un double-6 à un lancer de deux dés est $\dfrac{1}{36}$. La probabilité de ne pas obtenir de double-6 à un lancer est $\dfrac{35}{36}$.
$$P(\text{aucun double-6 en 24 lancers}) = \left(\frac{35}{36}\right)^{24} \approx 0{,}5086$$Donc :
$$\boxed{P(\text{au moins un double-6 en 24 lancers}) = 1 - \left(\frac{35}{36}\right)^{24} \approx 0{,}4914}$$Cette probabilité est inférieure à $\frac{1}{2}$ : Méré perdait sur la durée ✗
Pour obtenir au moins un succès de probabilité $p$ en $n$ essais indépendants :
$$P(\text{au moins un succès}) = 1 - (1-p)^n$$Jeu 1 : $p = \tfrac{1}{6}$, $n = 4$ · · · Jeu 2 : $p = \tfrac{1}{36}$, $n = 24$
La simulation répète les deux jeux un grand nombre de fois et observe la convergence des fréquences vers les probabilités théoriques.
Le même algorithme en Python, utilisable sur Jupyter ou Capytale :
import random import matplotlib.pyplot as plt def simuler_mere(N): wins1, wins2 = 0, 0 freq1, freq2 = [], [] for i in range(1, N + 1): # Jeu 1 : au moins un 6 en 4 lancers lancers = [random.randint(1, 6) for _ in range(4)] if 6 in lancers: wins1 += 1 # Jeu 2 : au moins un double-6 en 24 lancers double6 = False for _ in range(24): if random.randint(1, 6) == 6 and random.randint(1, 6) == 6: double6 = True break if double6: wins2 += 1 freq1.append(wins1 / i) freq2.append(wins2 / i) return freq1, freq2 N = 10_000 f1, f2 = simuler_mere(N) plt.figure(figsize=(10, 5)) plt.plot(range(1, N+1), f1, color='#1a5fa0', lw=0.8, label='Jeu 1 — fréquence') plt.plot(range(1, N+1), f2, color='#c0392b', lw=0.8, label='Jeu 2 — fréquence') plt.axhline(1 - (5/6)**4, color='#1a5fa0', ls='--', lw=1, label=f'Théorique jeu 1 ≈ {1-(5/6)**4:.4f}') plt.axhline(1 - (35/36)**24, color='#c0392b', ls='--', lw=1, label=f'Théorique jeu 2 ≈ {1-(35/36)**24:.4f}') plt.axhline(0.5, color='black', ls=':', lw=1, alpha=0.4, label='Seuil 0,5') plt.xlabel('Nombre de parties'); plt.ylabel('Fréquence') plt.title('Chevalier de Méré — convergence des fréquences') plt.legend(); plt.tight_layout(); plt.show() print(f"Jeu 1 : {f1[-1]:.4f} (théorique : {1-(5/6)**4:.4f})") print(f"Jeu 2 : {f2[-1]:.4f} (théorique : {1-(35/36)**24:.4f})")
Exécution pas à pas (5 parties illustratives, résultats fixés pour la pédagogie) :