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Exercices — Primitives et intégration

Terminale Spécialité · Chapitre 7

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Exo 1 Exercice Exercice 1
Exercice — Calcul de primitives

Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué.

  1. \(f(x) = 3x^2 - 4x + 1\) sur \(\mathbb{R}\)
  2. \(g(x) = \mathrm{e}^{2x}\) sur \(\mathbb{R}\)
  3. \(h(x) = \dfrac{1}{2x+1}\) sur \(\left]-\dfrac{1}{2}\,;\,+\infty\right[\)
  4. \(k(x) = (2x+3)\mathrm{e}^{x^2+3x}\) sur \(\mathbb{R}\)
Voir la correction
Correction
  1. \(F(x) = x^3 - 2x^2 + x\)
  2. \(G(x) = \dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{2x}\)
  3. \(H(x) = \dfrac{1}{2}\ln(2x+1)\)
  4. On remarque que \(k(x) = (2x+3)\mathrm{e}^{x^2+3x}\) est de la forme \(u'(x)\mathrm{e}^{u(x)}\) avec \(u(x) = x^2+3x\) et \(u'(x) = 2x+3\).

    Donc \(K(x) = \mathrm{e}^{x^2+3x}\).

Exo 2 Exercice Exercice 2
Exercice — Calcul d'intégrales et aires
  1. Calculer \(\displaystyle\int_0^2 (3x^2 - 2x + 1)\,\mathrm{d}x\).
  2. Calculer \(\displaystyle\int_1^{\mathrm{e}} \dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x\).
  3. Calculer l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe de la fonction \(f(x) = x^2\), l'axe des abscisses et les droites \(x = 0\) et \(x = 3\).
  4. Calculer \(\displaystyle\int_0^1 x\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x\) à l'aide d'une intégration par parties.
Voir la correction
Correction
  1. \(\displaystyle\int_0^2 (3x^2 - 2x + 1)\,\mathrm{d}x = \left[x^3 - x^2 + x\right]_0^2 = (8 - 4 + 2) - 0 = 6\)
  2. \(\displaystyle\int_1^{\mathrm{e}} \dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \left[\ln x\right]_1^{\mathrm{e}} = \ln(\mathrm{e}) - \ln(1) = 1\)
  3. \(\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = \dfrac{27}{3} = 9\) unités d'aire.
  4. On pose \(u(x) = x\) et \(v'(x) = \mathrm{e}^x\), d'où \(u'(x) = 1\) et \(v(x) = \mathrm{e}^x\).

    Par intégration par parties : \[\int_0^1 x\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x = \left[x\mathrm{e}^x\right]_0^1 - \int_0^1 \mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x = \mathrm{e} - \left[\mathrm{e}^x\right]_0^1 = \mathrm{e} - (\mathrm{e} - 1) = 1\]

Exo 3 Exercice Exercice 3
Exercice — Valeur moyenne d'une fonction

Soit \(f\) la fonction définie sur \([0\,;\,+\infty[\) par \(f(x) = 2x\mathrm{e}^{-x^2}\).

  1. Vérifier que \(F(x) = -\mathrm{e}^{-x^2}\) est une primitive de \(f\) sur \([0\,;\,+\infty[\).
  2. Calculer \(\displaystyle\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x\). Donner la valeur exacte puis une valeur approchée à \(10^{-2}\) près.
  3. Calculer la valeur moyenne de \(f\) sur l'intervalle \([0\,;\,2]\).
  4. Déterminer \(\displaystyle\lim_{a\to+\infty}\int_0^a f(x)\,\mathrm{d}x\). Interpréter géométriquement.
Voir la correction
Correction
  1. \(F'(x) = -(-2x)\mathrm{e}^{-x^2} = 2x\mathrm{e}^{-x^2} = f(x)\). Donc \(F\) est bien une primitive de \(f\).
  2. \(\displaystyle\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x = \left[-\mathrm{e}^{-x^2}\right]_0^1 = -\mathrm{e}^{-1} + \mathrm{e}^0 = 1 - \dfrac{1}{\mathrm{e}} \approx 0{,}63\)
  3. La valeur moyenne est \(\mu = \dfrac{1}{2-0}\displaystyle\int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{2}\left[-\mathrm{e}^{-x^2}\right]_0^2 = \dfrac{1}{2}\left(1 - \mathrm{e}^{-4}\right) \approx 0{,}49\)
  4. \(\displaystyle\int_0^a f(x)\,\mathrm{d}x = 1 - \mathrm{e}^{-a^2}\). Quand \(a \to +\infty\), \(\mathrm{e}^{-a^2} \to 0\), donc \(\displaystyle\lim_{a\to+\infty}\int_0^a f(x)\,\mathrm{d}x = 1\).

    L'aire totale sous la courbe de \(f\) sur \([0\,;\,+\infty[\) vaut 1 unité d'aire.

Exo 4 Exercice Exercice 4
Exercice — Intégrales et logarithme

On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0\,;\,+\infty[\) par \(f(x) = x\ln x\).

  1. Étudier les variations de \(f\) sur \(]0\,;\,+\infty[\).
  2. Montrer, par intégration par parties, que \(\displaystyle\int_1^{\mathrm{e}} x\ln x\,\mathrm{d}x = \dfrac{\mathrm{e}^2 + 1}{4}\).
  3. En déduire l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe de \(f\), l'axe des abscisses et les droites \(x = 1\) et \(x = \mathrm{e}\).
Voir la correction
Correction
  1. \(f'(x) = \ln x + 1\). On a \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \ln x = -1 \Leftrightarrow x = \mathrm{e}^{-1}\).

    Pour \(x < \mathrm{e}^{-1}\), \(f'(x) < 0\) : \(f\) est décroissante. Pour \(x > \mathrm{e}^{-1}\), \(f'(x) > 0\) : \(f\) est croissante.

    Le minimum est \(f(\mathrm{e}^{-1}) = \mathrm{e}^{-1} \times (-1) = -\dfrac{1}{\mathrm{e}}\).

  2. On pose \(u(x) = \ln x\) et \(v'(x) = x\), d'où \(u'(x) = \dfrac{1}{x}\) et \(v(x) = \dfrac{x^2}{2}\).

    \begin{align*} \int_1^{\mathrm{e}} x\ln x\,\mathrm{d}x &= \left[\dfrac{x^2}{2}\ln x\right]_1^{\mathrm{e}} - \int_1^{\mathrm{e}} \dfrac{x^2}{2}\cdot\dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x \\ &= \dfrac{\mathrm{e}^2}{2}\cdot 1 - 0 - \int_1^{\mathrm{e}} \dfrac{x}{2}\,\mathrm{d}x \\ &= \dfrac{\mathrm{e}^2}{2} - \left[\dfrac{x^2}{4}\right]_1^{\mathrm{e}} \\ &= \dfrac{\mathrm{e}^2}{2} - \dfrac{\mathrm{e}^2}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{\mathrm{e}^2 + 1}{4} \end{align*}

  3. Sur \([1\,;\,\mathrm{e}]\), on a \(\ln x \geqslant 0\) et \(x > 0\) donc \(f(x) \geqslant 0\).

    L'aire est donc \(\mathcal{A} = \displaystyle\int_1^{\mathrm{e}} x\ln x\,\mathrm{d}x = \dfrac{\mathrm{e}^2 + 1}{4}\) unités d'aire.

Exo 5 \label{TSA6_E_calcul_aire} Sesamath Terminale -- Intégration

Soient \(f\) et \(g\) les deux fonctions définies sur \(\mathbb{R}^{+}\) par \(f(x) = \dfrac{x^2}{2}\) et \(g(x) = \dfrac{8}{x+2}\). On s'intéresse au domaine \(\mathcal{D}\) compris entre les courbes \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\), l'axe des ordonnées et la droite d'équation \(x=a\), \(a \in \mathbb{R}^{+}\).

[figure du manuel — non restituée dans cette version HTML]

    1. Démontrer que 2 est racine du polynôme

      { \(N : x \mapsto x^3+2x^2-16.\)}

    2. En déduire une factorisation de \(N(x)\) sous la forme \(N(x) = (x-2)(ax^2 + bx + c)\), où \(a\), \(b\) et \(c\) sont trois réels à déterminer.
    3. En déduire le signe de \((f-g)(x)\) sur \([0\,;+\infty[\).
    1. Déterminer l'aire du domaine \(\mathcal{D}\) lorsque \(a \leqslant 2\).
    2. Déterminer l'aire du domaine \(\mathcal{D}\) lorsque \(a \geqslant 2\).

Voir la correction
    1. \(N(2) = 2^3 + 2 \times 2^2-16 = 0\). Ainsi \(N(x) = (x-2)(ax^2+bx+c) = ax^3 + (b-2a)x^2 + (c-2b)x - 2c\). Par identification, on trouve \(a = 1\), \(c = 8\) et donc \(b = 4\). On a donc \(N(x)=(x-2)(x^2+4x+8)\).
    2. \(f(x) - g(x) = \dfrac{N(x)}{2(x+2)}\). On en déduit le tableau de signes suivant :

      [figure du manuel — non restituée dans cette version HTML]

      \\ Sur \([0;2]\), \(f(x) \leqslant g(x)\) et sur \([2 ; +\infty[\), \(g(x) \leqslant f(x)\).
    1. \(\mathcal{A}_{\mathcal{D}} = \displaystyle{\int_0^a} \left( \dfrac{8}{x+2} - \dfrac{x^2}{2} \right) \mathrm{d}x = 8\ln \left( \dfrac{a+2}{2} \right) - \dfrac{a^3}{6}\).
    2. \(\mathcal{A}_{\mathcal{D}} = \displaystyle{\int_0^2} \left( \dfrac{8}{x+2} - \dfrac{x^2}{2} \right) \mathrm{d}x + \displaystyle{\int_2^a} \left( \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{8}{x+2} \right) \mathrm{d}x = 8 \ln(2) - \dfrac{4}{3} + \dfrac{a^3-8}{6} - 8\ln \left( \dfrac{a+2}{4} \right)\).
Exo 6 \label{TSA6_E_calcul_primitives_simples} Sesamath Terminale -- Intégration

Déterminer les primitives de chacune des fonctions\linebreak suivantes sur l'intervalle donné.

  1. \(f : x \mapsto x^2 + x^3\) sur \(\mathbb{R}\)
  2. \(f : x \mapsto \dfrac{1}{x} + 1\) sur \(]0\,; +\infty[\)
  3. \(f : x \mapsto \dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1}{\sqrt{x}}\) sur \(]0\,; +\infty[\)
  4. \(f : x \mapsto \sin(x) - \cos(x)\) sur \(\mathbb{R}\)

Voir la correction
  1. \(F(x) = \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^4}{4} + k\), \(k \in \mathbb{R}\)
  2. \(F(x) = \ln(x) + x + k\), \(k \in \mathbb{R}\)
  3. \(F(x) = - \dfrac{1}{x} - 2\sqrt{x} + k\), \(k \in \mathbb{R}\)
  4. \(F(x) = -\cos(x) - \sin(x) + k\), \(k \in \mathbb{R}\)
Exo 7 Exercice 87 Sesamath Terminale -- Intégration

Dans chacun des cas suivants :

  1. donner un intervalle \(I\) sur lequel on peut appliquer le théorème p. \pageref{TSA6_theoreme_derivabilite} ;
  2. déterminer \(F'(x)\), pour tout \(x \in I\).
    1. \(F : x \mapsto \displaystyle{\int_{0}^{x}} (1-t)\,\mathrm{d}t\)
    2. \(F : x \mapsto \displaystyle{\int_{2}^{x}} (t^2+t-2)\,\mathrm{d}t\)
    3. \(F : x \mapsto \displaystyle{\int_{-5}^{x}} (t^2+t-2)\,\mathrm{d}t\)
    4. \(F : x \mapsto \displaystyle{\int_{2}^{x}} \left| 1-t \right|\mathrm{d}t\)
    5. \(F : x \mapsto \displaystyle{\int_{-2}^{x}} \ln \left| t \right|\mathrm{d}t\)

Voir la correction
  1. \(t \mapsto 1-t\) est positive sur \(]-\infty ; 1]\) donc \(I = [0\ ;\ 1]\).
    1. \(F'(x) = 1-x\).
    2. \(t \mapsto t^2 + t - 2\) est positive sur \(]-\infty\ ;\ -2] \cup [1\ ;\ +\infty[\) donc \(I = [2\ ;\ +\infty[\). \(F'(x) = x^2 + x - 2\).
    3. \(I = [-5 \ ;\ -2]\). \(F'(x) = x^2 + x - 2\).
    4. \(t \mapsto \left| 1-t \right|\) est positive sur \(\mathbb{R}\) donc \(I = [2\ ;\ +\infty[\). \(F'(x) = \left| 1-x \right|\), c'est-à-dire \(F'(x) = x-1\).
    5. \(t \mapsto \ln \left| t \right| \) est positive sur \(]-\infty \ ;\ -1] \cup [1\ ;\ +\infty[\) donc \(I = [-2\ ;\ -1]\). \(F'(x) = \ln \left| x \right| = \ln(-x)\).
Exo 8 Exercice 92 Sesamath Terminale -- Intégration

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues sur \([-3\,;4]\) telles que : \[ \int_{-3}^{1} f(t) \, \mathrm{d}t = -2 \qquad \int_{1}^{4} f(t) \, \mathrm{d}t = 3 \] et \[ \int_{-3}^{4} g(t) \, \mathrm{d}t = -1 \qquad \int_{1}^{4} g(t) \, \mathrm{d}t = 1 \] Donner la valeur de chacune des intégrales suivantes :

    {2}
  1. \(\displaystyle{\int_{-3}^{4}}f(t) \, \mathrm{d}t\)
  2. \(\displaystyle{\int_{-3}^{1}}g(t) \, \mathrm{d}t\)
  3. \(\displaystyle{\int_{1}^{4}}(f+g)(t) \, \mathrm{d}t\)
  4. \(\displaystyle{\int_{1}^{4}}(f-g)(t) \, \mathrm{d}t\)
  5. \(\displaystyle{\int_{1}^{4}}(4f-3g)(t) \, \mathrm{d}t\)
  6. \(\displaystyle{\int_{-3}^{4}}(f+g)(t) \, \mathrm{d}t\)

Voir la correction
    {2}
  1. 1
  2. \(-2\)
  3. 4
  4. 2
  5. 9
  6. 0