Terminale — Programme officiel (BO 2019) · Math@mine
La position d’un vehicule sur une route rectiligne est donnée par \(x(t) = e^{-t}\sin(2t)\). La vitesse est \(x'(t)\), l’acceleration est \(x''(t)\). La dérivation de fonctions composées est indispensable pour calculer ces quantites.
Gottfried Wilhelm Leibniz a introduit la notation \(\dfrac{dy}{dx}\) au XVIIe siecle. Sa notation rend la règle de dérivation des composées particulierement intuitive : \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx}\), comme si les \(du\) se « simplifiaient ». Bien que cette interprétation soit formellement incorrecte, elle reste un guide precieux.
Soit \(f(x) = x^3 - 3x\). Pour quelles valeurs de \(x\) la courbe est-elle convexe ? Concave ? Ou se situe le point d’inflexion ?
On part de la définition du taux d’accroissement de \(g \circ u\) en \(x\) :
\(\dfrac{g(u(x+h)) - g(u(x))}{h} = \dfrac{g(u(x+h)) - g(u(x))}{u(x+h) - u(x)} \times \dfrac{u(x+h) - u(x)}{h}\)
(valable quand \(u(x+h) \neq u(x)\), ce qui est le cas pour \(h\) assez petit si \(u'(x) \neq 0\)).
Quand \(h \to 0\) : \(u(x+h) \to u(x)\) (car \(u\) est continue), donc le premier facteur tend vers \(g'(u(x))\), et le second tend vers \(u'(x)\).
Par produit des limites : \((g \circ u)'(x) = g'(u(x)) \times u'(x)\). ∎
Note : le calcul ci-dessus suppose \(u(x+h) \neq u(x)\) pour multiplier et diviser. Cette hypothèse est automatiquement vérifiée pour \(h\) assez petit dès que \(u'(x) \neq 0\). Le cas \(u'(x) = 0\) se traite par un argument de continuité : on montre directement que \((g \circ u)'(x) = 0\) en majorant \(\left|\dfrac{g(u(x+h)) - g(u(x))}{h}\right| \leq M \cdot \left|\dfrac{u(x+h) - u(x)}{h}\right|\) où \(M\) est un majorant local de \(|g'|\) (admis au lycée).
| Fonction | Dérivée | Condition |
|---|---|---|
| \([u(x)]^n\) | \(n \cdot u'(x) \cdot [u(x)]^{n-1}\) | \(n \in \mathbb{Z}\), \(u \neq 0\) si \(n < 0\) |
| \(\sqrt{u(x)}\) | \(\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}\) | \(u(x) > 0\) |
| \(\dfrac{1}{u(x)}\) | \(-\dfrac{u'(x)}{[u(x)]^2}\) | \(u(x) \neq 0\) |
\([u]^n\) : On pose \(g(t) = t^n\), donc \(g'(t) = nt^{n-1}\). Par la règle de la chaine : \(([u]^n)' = u' \cdot nu^{n-1} = nu'u^{n-1}\). ✓
\(\sqrt{u}\) : On pose \(g(t) = \sqrt{t}\), donc \(g'(t) = \frac{1}{2\sqrt{t}}\). Par la règle : \((\sqrt{u})' = u' \cdot \frac{1}{2\sqrt{u}} = \frac{u'}{2\sqrt{u}}\). ✓
\(1/u\) : C’est le cas \([u]^{-1}\) : \((u^{-1})' = u' \cdot (-1) \cdot u^{-2} = -\frac{u'}{u^2}\). ✓
Dériver \(f(x) = (3x^2 + 1)^4\).
On pose \(u(x) = 3x^2 + 1\), donc \(u'(x) = 6x\).
\(f'(x) = 4 \cdot 6x \cdot (3x^2 + 1)^3 = 24x(3x^2 + 1)^3\).
La fonction logarithme népérien, notée \(\ln\), est la fonction réciproque de l’exponentielle. Pour tout \(x > 0\) :
\(\ln(x) = y \iff e^y = x\) soit \(e^{\ln x} = x\) et \(\ln(e^x) = x\).
Elle est définie sur \(]0;+\infty[\), strictement croissante, \(\ln(1) = 0\) et sa dérivée est \((\ln x)' = \dfrac{1}{x}\). Son étude complète (limites, propriétés algébriques \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\), résolution d’équations) fait l’objet du chapitre 6. On se contente ici de la dériver.
C’est la règle de la chaine avec \(g(t) = e^t\). On sait que \(g'(t) = e^t\) (propriété fondamentale de l’exponentielle, ch. Première).
Donc \((e^u)' = u' \cdot g'(u) = u' \cdot e^u\). ∎
C’est la règle de la chaine avec \(g(t) = \ln(t)\). On sait que \(g'(t) = \frac{1}{t}\) (ch. 6 Logarithme — ou bien : \(e^{\ln t} = t\), en derivant des deux cotes \((\ln t)' \cdot e^{\ln t} = 1\), donc \((\ln t)' = \frac{1}{t}\)).
Donc \((\ln u)' = u' \cdot \frac{1}{u} = \frac{u'}{u}\). ∎
Soit \(f(x) = x^4 - 2x^3 + x\). Alors \(f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 1\) et \(f''(x) = 12x^2 - 12x = 12x(x - 1)\).
Si \(f'' \geq 0\) sur \(I\), alors \(f'\) est croissante sur \(I\) (car la dérivée de \(f'\) est \(f'' \geq 0\)).
Soit \(a, b \in I\) avec \(a < b\) et \(t \in [0;1]\). Posons \(c = ta + (1-t)b \in [a;b]\).
Par le théorème des accroissements finis (admis) applique a \(f\) sur \([a;c]\) et \([c;b]\) : il existe \(\alpha \in ]a;c[\) et \(\beta \in ]c;b[\) tels que :
\(\dfrac{f(c)-f(a)}{c-a} = f'(\alpha) \leq f'(\beta) = \dfrac{f(b)-f(c)}{b-c}\)
(car \(\alpha < \beta\) et \(f'\) croissante). En reorganisant avec \(c - a = (1-t)(b-a)\) et \(b - c = t(b-a)\), on obtient apres calcul : \(f(c) \leq tf(a) + (1-t)f(b)\). C’est la définition de la convexite. ∎
Soit \(a \in I\). La tangente en \(a\) est \(T(x) = f(a) + f'(a)(x - a)\). On veut montrer \(f(x) \geq T(x)\) pour tout \(x \in I\).
Posons \(g(x) = f(x) - T(x) = f(x) - f(a) - f'(a)(x-a)\). On a \(g(a) = 0\) et \(g'(x) = f'(x) - f'(a)\).
Comme \(f'' \geq 0\), la fonction \(f'\) est croissante. Donc :
Dans les deux cas, \(f(x) \geq T(x)\). ∎
Par le théorème convexite ↔ \(f''\) (section 4) :
Au point d’inflexion, \(f''\) change de signe. Par le TVI (ch. 4), si \(f''\) est continue, elle s’annule en \(a\). Mais \(f''(a) = 0\) sans changement de signe ne donne pas d’inflexion (contre-exemple : \(f(x) = x^4\), \(f''(0) = 0\) mais \(f'' \geq 0\) partout). ∎
Soit \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\).
\(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9\) et \(f''(x) = 6x - 12 = 6(x - 2)\).
\(f''(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2\). Pour \(x < 2\), \(f''(x) < 0\) (concave). Pour \(x > 2\), \(f''(x) > 0\) (convexe).
\(f''\) change de signe en \(x = 2\), donc \((2, f(2)) = (2, 3)\) est un point d’inflexion.
Etudier \(f(x) = xe^{-x}\) sur \(\mathbb{R}\).
Dérivée : \(f'(x) = e^{-x} + x(-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x)\). Comme \(e^{-x} > 0\), le signe de \(f'\) est celui de \(1 - x\).
\(f'(x) > 0\) si \(x < 1\) et \(f'(x) < 0\) si \(x > 1\). Maximum en \(x = 1\) : \(f(1) = e^{-1}\).
Dérivée seconde : \(f''(x) = -e^{-x}(1 - x) + e^{-x}(-1) = e^{-x}(x - 2)\).
\(f''(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2\). Changement de signe : point d’inflexion en \((2, 2e^{-2})\).
Convexe pour \(x > 2\), concave pour \(x < 2\).
Posons \(\bar{x} = \dfrac{x_1 + \cdots + x_n}{n}\). Comme \(f\) est convexe, sa courbe est au-dessus de la tangente en \(\bar{x}\) (propriété demontree ci-dessus) :
\(f(x_i) \geq f(\bar{x}) + f'(\bar{x})(x_i - \bar{x}) \quad \text{pour tout } i\)
En sommant pour \(i = 1, \ldots, n\) :
\(\sum_{i=1}^n f(x_i) \geq n\,f(\bar{x}) + f'(\bar{x})\underbrace{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})}_{= n\bar{x} - n\bar{x} = 0}\)
Donc \(\sum f(x_i) \geq n\,f(\bar{x})\), soit \(\dfrac{f(x_1) + \cdots + f(x_n)}{n} \geq f\!\left(\dfrac{x_1 + \cdots + x_n}{n}\right)\). ∎
Comme \(x \mapsto x^2\) est convexe, pour tous réels \(a, b\) :
\(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2 \leq \dfrac{a^2 + b^2}{2}\), soit \((a+b)^2 \leq 2(a^2 + b^2)\).
On a \(x(t) = e^{-t}\sin(2t)\). C’est un produit de deux fonctions composées.
Vitesse : \(x'(t) = -e^{-t}\sin(2t) + e^{-t} \cdot 2\cos(2t) = e^{-t}(2\cos(2t) - \sin(2t))\).
Acceleration : on dérive \(x'(t)\) en utilisant à nouveau la règle du produit et la dérivation des composées :
\(x''(t) = -e^{-t}(2\cos(2t) - \sin(2t)) + e^{-t}(-4\sin(2t) - 2\cos(2t))\)
\(x''(t) = e^{-t}(-4\sin(2t) - 2\cos(2t) - 2\cos(2t) + \sin(2t)) = e^{-t}(-3\sin(2t) - 4\cos(2t))\).
La règle de la chaine \((g \circ u)' = u' \cdot g'(u)\) est indispensable pour dériver ces fonctions composées.
\(f'(x) = 3x^2 - 3\) et \(f''(x) = 6x\).
\(f''(x) > 0\) pour \(x > 0\) (convexe) et \(f''(x) < 0\) pour \(x < 0\) (concave).
Le point d’inflexion est en \(x = 0\), ou \(f''(0) = 0\) et \(f''\) change de signe. Le point d’inflexion est \((0; 0)\).
Pour approfondir, d'autres applets s'ouvrent en plein écran dans un nouvel onglet :
Banque complète (1245 applets) — voir le catalogue GeoGebra.
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| \(u^n\) | \(n \cdot u' \cdot u^{n-1}\) |
| \(\sqrt{u}\) | \(\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\) |
| \(e^u\) | \(u' \cdot e^u\) |
| \(\ln(u)\) | \(\dfrac{u'}{u}\) |
| Convexe | \(f'' \geq 0\) |
| Concave | \(f'' \leq 0\) |
| Point d’inflexion | \(f''\) change de signe |
Dérivation et convexite : teste d’abord ton intuition.
« \((f \circ g)' = f' \circ g'\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux. La formule correcte est \((f \circ g)' = (f' \circ g) \times g'\), c’est-à-dire \((f(g(x)))' = f'(g(x)) \times g'(x)\). On evalue la dérivée de \(f\) en \(g(x)\), puis on multiplie par \(g'(x)\). Exemple : \((\sin(x^2))' = \cos(x^2) \times 2x\), pas \(\cos(2x)\).
Mini-test : \((e^{3x})' = ?\)
« \(f\) est convexe sur un intervalle si et seulement si \(f''(x) > 0\) sur cet intervalle. »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux. La bonne equivalence est \(f'' \geq 0\) (inégalité large), pas stricte. Par exemple, \(f(x) = x^4\) est convexe sur \(\mathbb{R}\), et \(f''(x) = 12x^2 \geq 0\), mais \(f''(0) = 0\). La convexite n’exige pas \(f'' > 0\) partout.
Mini-test : \(f(x) = x^4\). Est-elle convexe sur \(\mathbb{R}\) ?
« \(a\) est un point d’inflexion de \(f\) si et seulement si \(f''(a) = 0\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux. \(f''(a) = 0\) est une condition nécessaire, mais pas suffisante. Il faut en plus que \(f''\) change de signe en \(a\). Contre-exemple : \(f(x) = x^4\), \(f''(0) = 0\) mais \(f''(x) = 12x^2 \geq 0\) ne change pas de signe : 0 n’est pas un point d’inflexion.
Mini-test : \(f(x) = x^3\). Y a-t-il un point d’inflexion en 0 ?
« \(\left(\dfrac{1}{f}\right)' = \dfrac{1}{f'}\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux. La formule correcte est \(\left(\frac{1}{f}\right)' = -\frac{f'}{f^2}\). Verifiez avec \(f(x) = x\) : \((1/x)' = -1/x^2\), pas \(1/1 = 1\). L’inverse de la dérivée n’a rien a voir avec la dérivée de l’inverse !
Mini-test : \(\left(\frac{1}{x^2}\right)' = ?\)
« Si \(f\) est convexe, alors sa courbe est toujours au-dessous de ses tangentes. »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux. C’est l’inverse ! Si \(f\) est convexe, sa courbe est au-dessus de ses tangentes. Si \(f\) est concave, sa courbe est au-dessous de ses tangentes. Moyens mnemotechniques : convexe = « retient l’eau », concave = « renverse l’eau ».
Mini-test : \(e^x\) est convexe. Sa tangente en 0 est \(y = x + 1\). Donc :
« Si \(f > 0\), alors \((\ln \circ f)' = \dfrac{f'}{f}\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
C’est vrai ! Par la règle de la chaine : \((\ln(f(x)))' = \frac{1}{f(x)} \times f'(x) = \frac{f'(x)}{f(x)}\). C’est la formule de la dérivée logarithmique, tres utilisee en Terminale.
Mini-test : \((\ln(x^2+1))' = ?\)