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Exercices — Fonction logarithme népérien

Terminale Spécialité · Chapitre 6

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Exo 1 Exercice Exercice 1
Exercice — Propriétés du logarithme népérien

Simplifier les expressions suivantes.

  1. \(A = \ln(3) + \ln(5)\)
  2. \(B = \ln(48) - \ln(6)\)
  3. \(C = 2\ln(3) + \ln(4) - \ln(36)\)
  4. \(D = \ln(\mathrm{e}^3) + \ln\!\left(\dfrac{1}{\mathrm{e}}\right)\)
  5. \(E = \ln\!\left(\sqrt{\mathrm{e}}\right) + \ln(\mathrm{e}^5)\)
  6. \(F = \mathrm{e}^{2\ln 3 - \ln 9}\)
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Correction
  1. \(A = \ln(3 \times 5) = \ln(15)\).
  2. \(B = \ln\!\left(\dfrac{48}{6}\right) = \ln(8) = \ln(2^3) = 3\ln 2\).
  3. \(C = \ln(3^2) + \ln(4) - \ln(36) = \ln(9) + \ln(4) - \ln(36) = \ln\!\left(\dfrac{9 \times 4}{36}\right) = \ln(1) = 0\).
  4. \(D = 3 + \ln(\mathrm{e}^{-1}) = 3 - 1 = 2\).
  5. \(E = \ln(\mathrm{e}^{1/2}) + 5 = \dfrac{1}{2} + 5 = \dfrac{11}{2}\).
  6. \(F = \mathrm{e}^{\ln(3^2) - \ln 9} = \mathrm{e}^{\ln 9 - \ln 9} = \mathrm{e}^0 = 1\).
Exo 2 Exercice Exercice 2
Exercice — Équations et inéquations avec \(\ln\)

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations et inéquations suivantes.

  1. \(\ln(x-1) = 3\)
  2. \(\ln(2x+1) + \ln(x-1) = \ln(7)\)
  3. \(\ln(x^2) = 4\)
  4. \(\ln(x) \geqslant 2\)
  5. \(\ln(x+3) < \ln(2x-1)\)
  6. \((\ln x)^2 - 5\ln x + 6 = 0\)
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Correction
  1. Condition : \(x > 1\). \(\ln(x-1) = 3 \iff x-1 = \mathrm{e}^3 \iff x = \mathrm{e}^3 + 1\).
  2. Conditions : \(x > 1\) (pour que \(2x+1>0\) et \(x-1>0\)).

    \(\ln\big[(2x+1)(x-1)\big] = \ln 7 \iff (2x+1)(x-1) = 7 \iff 2x^2-x-1 = 7\)

    \(\iff 2x^2 - x - 8 = 0\). \(\Delta = 65\), \(x = \dfrac{1+\sqrt{65}}{4}\) ou \(x = \dfrac{1-\sqrt{65}}{4} < 0\).

    Solution : \(x = \dfrac{1+\sqrt{65}}{4}\).

  3. \(\ln(x^2) = 4 \iff 2\ln|x| = 4 \iff \ln|x| = 2 \iff |x| = \mathrm{e}^2\).

    Solutions : \(x = \mathrm{e}^2\) ou \(x = -\mathrm{e}^2\).

  4. Condition : \(x > 0\). \(\ln x \geqslant 2 \iff x \geqslant \mathrm{e}^2\).

    Solution : \(x \in [\mathrm{e}^2\,;+\infty[\).

  5. Conditions : \(x+3 > 0\) et \(2x-1 > 0\), soit \(x > \dfrac{1}{2}\).

    \(\ln(x+3) < \ln(2x-1) \iff x+3 < 2x-1 \iff x > 4\).

    Solution : \(x \in \,]4\,;+\infty[\).

  6. On pose \(X = \ln x\) : \(X^2 - 5X + 6 = 0 \iff (X-2)(X-3) = 0\).

    \(X = 2\) donne \(x = \mathrm{e}^2\) ; \(X = 3\) donne \(x = \mathrm{e}^3\).

    Solutions : \(x = \mathrm{e}^2\) ou \(x = \mathrm{e}^3\).

Exo 3 Exercice Exercice 3
Exercice — Étude de fonction avec \(\ln\)

Soit \(f\) définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(f(x) = x - \ln x\).

  1. Déterminer les limites de \(f\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).
  2. Calculer \(f'(x)\) et étudier le signe de \(f'\).
  3. Dresser le tableau de variations de \(f\).
  4. En déduire que pour tout \(x > 0\) : \(\ln x \leqslant x - 1\).
  5. Étudier la convexité de \(f\).
  6. Déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse \(1\).
Voir la correction
Correction
  1. \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 - (-\infty) = +\infty\).

    \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\) car \(\dfrac{\ln x}{x} \to 0\) donc \(f(x) = x(1-\frac{\ln x}{x}) \to +\infty\).

  2. \(f'(x) = 1 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x-1}{x}\).

    \(f'(x) < 0\) si \(0 < x < 1\) et \(f'(x) > 0\) si \(x > 1\).

  3. \(f\) est décroissante sur \(]0\,;1]\) et croissante sur \([1\,;+\infty[\). Minimum en \(x=1\) : \(f(1) = 1\).
  4. Le minimum de \(f\) est \(f(1)=1\), donc pour tout \(x > 0\) : \(f(x) \geqslant 1\), soit \(x - \ln x \geqslant 1\), d'où \(\ln x \leqslant x - 1\).
  5. \(f''(x) = \dfrac{1}{x^2} > 0\) pour tout \(x > 0\). La fonction \(f\) est convexe sur \(]0\,;+\infty[\).
  6. \(f(1) = 1\) et \(f'(1) = 0\). La tangente est \(y = 1\) (droite horizontale).
Exo 4 Exercice Exercice 4
Exercice — Étude complète avec \(\ln\)

Soit \(f\) définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(f(x) = \dfrac{\ln x}{x}\).

  1. Déterminer les limites de \(f\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).
  2. Calculer \(f'(x)\).
  3. Étudier les variations de \(f\) et dresser le tableau de variations.
  4. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse \(\mathrm{e}\).
  5. Montrer que la courbe admet un unique point d'inflexion dont on déterminera les coordonnées.
  6. En déduire que pour tout \(x > 0\) : \(\ln x \leqslant \dfrac{x}{\mathrm{e}}\).
Voir la correction
Correction
  1. \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\ln x}{x}\). Comme \(\ln x \to -\infty\) et \(x \to 0^+\), on a \(f(x) \to -\infty\).

    \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0\) par croissance comparée.

  2. \(f'(x) = \dfrac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \dfrac{1-\ln x}{x^2}\).
  3. \(f'(x) = 0 \iff \ln x = 1 \iff x = \mathrm{e}\).

    \(f'(x) > 0\) si \(x < \mathrm{e}\) et \(f'(x) < 0\) si \(x > \mathrm{e}\).

    Maximum en \(x = \mathrm{e}\) : \(f(\mathrm{e}) = \dfrac{1}{\mathrm{e}}\).

  4. \(f(\mathrm{e}) = \dfrac{1}{\mathrm{e}}\) et \(f'(\mathrm{e}) = 0\).

    Tangente : \(y = \dfrac{1}{\mathrm{e}}\) (droite horizontale).

  5. \(f'(x) = \dfrac{1-\ln x}{x^2}\). Par dérivation du quotient :

    \(f''(x) = \dfrac{-\frac{1}{x}\cdot x^2 - (1-\ln x)\cdot 2x}{x^4} = \dfrac{-x - 2x(1-\ln x)}{x^4} = \dfrac{-1-2+2\ln x}{x^3} = \dfrac{2\ln x - 3}{x^3}\).

    \(f''(x) = 0 \iff \ln x = \dfrac{3}{2} \iff x = \mathrm{e}^{3/2}\).

    Le signe de \(f''\) change en \(x=\mathrm{e}^{3/2}\), c'est un point d'inflexion.

    Coordonnées : \(\left(\mathrm{e}^{3/2}\,;\,\dfrac{3}{2\,\mathrm{e}^{3/2}}\right)\).

  6. Le maximum de \(f\) est \(f(\mathrm{e}) = \dfrac{1}{\mathrm{e}}\), donc pour tout \(x > 0\) : \(\dfrac{\ln x}{x} \leqslant \dfrac{1}{\mathrm{e}}\), soit \(\ln x \leqslant \dfrac{x}{\mathrm{e}}\).
Exo 5 Exercice 17 Sesamath Terminale -- Fonctions sinus et cosinus

Dans chacun des cas, pour quelles valeurs de \(x\), l'expression donnée a-t-elle un sens?

    {2}
  1. \(\ln x\)
  2. \(\ln(3-x)\)
  3. \(\ln(x+2)\)
  4. \(\dfrac{1}{\ln (x^2)}\)

Voir la correction
    {2}
  1. \(x \in \left] 0 \, ;+\infty \right[ \)
  2. \(x \in \left] -\infty \, ; 3 \right[ \)
  3. \(x \in \left] -2 \, ;+\infty \right[ \)
  4. \(x \in \mathbb{R}^* \)
Exo 6 Exercice 21 Sesamath Terminale -- Fonctions sinus et cosinus

Résoudre les équations suivantes.

  1. \(\text{e}^ x= 2 \)
  2. \(\text{e}^ x= -5 \)
  3. \(\text{e}^ x= \dfrac{1}{4} \)

Voir la correction
  1. \(S=\left\lbrace \ln 2\right\rbrace \)
  2. \(S=\varnothing\)
  3. \(S=\left\lbrace -\ln 4\right\rbrace \)
Exo 7 Exercice Sesamath Terminale -- Fonctions sinus et cosinus

Résoudre les équations suivantes :

  1. \(\ln x=2\) ;
  2. \(\ln x=-1\) ;
  3. \(3\ln x-9= 0\).

Voir la correction
  1. \(S=\left\lbrace \text{e}^2\right\rbrace \)
  2. \(S=\left\lbrace \dfrac{1}{\text{e}} \right\rbrace \)
  3. \(S=\left\lbrace \text{e}^3 \right\rbrace \)