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Chapitre 9 — Fonctions : généralités · Exercices

Seconde 2026 — Mathématiques générales · Math@mine

📖 Cours ✏️ Exercices
🟢 Groupe 1 — Lecture graphique ▾
1

Lire une courbe. Base

1 2 -1 -2 1 2 -1 -2 f

En utilisant la courbe ci-dessus :

  1. Donner \(f(-3)\), \(f(0)\) et \(f(2)\).
  2. Résoudre \(f(x) = 0\).
  3. Sur quel intervalle \(f\) est-elle croissante ? Décroissante ?
  4. Résoudre \(f(x) \geq 0\).
  5. Donner le maximum de \(f\) et l’abscisse en laquelle il est atteint.
1. \(f(-3)=0\), \(f(0)=2\), \(f(2)=-2\).
2. La courbe coupe l’axe \(x\) en \(x=-3\) et \(x=1\). Solutions : \(x=-3\) et \(x=1\).
3. \(f\) croissante sur \([-4\,;\,-1]\), décroissante sur \([-1\,;\,4]\).
4. \(f(x)\geq0\) quand la courbe est au-dessus de l’axe : \(x\in[-3\,;\,1]\).
5. Maximum \(= 3\) atteint en \(x = -1\).
2

Deux courbes. Base

On donne \(f(x) = x^2 - 1\) et \(g(x) = x + 1\).

  1. Calculer \(f(-1)\), \(f(0)\), \(f(2)\) et \(g(-1)\), \(g(0)\), \(g(2)\).
  2. Résoudre algébriquement \(f(x) = g(x)\).
  3. En déduire les abscisses des points d’intersection des deux courbes.
  4. Résoudre \(f(x) < g(x)\) (chercher graphiquement ou algébriquement).
1. \(f(-1)=0\), \(f(0)=-1\), \(f(2)=3\). \(g(-1)=0\), \(g(0)=1\), \(g(2)=3\).
2. \(x^2-1=x+1 \Rightarrow x^2-x-2=0 \Rightarrow (x-2)(x+1)=0 \Rightarrow x=2\) ou \(x=-1\).
3. Points d’intersection : \((-1\,;\,0)\) et \((2\,;\,3)\).
4. \(f(x)
🔵 Groupe 2 — Parité ▾
3

Tester la parité. Base

Pour chaque fonction, étudier la parité (paire, impaire, ni l’un ni l’autre).

  1. \(f(x) = 5x^4 - 3x^2 + 1\)
  2. \(g(x) = x^5 - 4x^3 + 2x\)
  3. \(h(x) = x^3 + x^2\)
  4. \(k(x) = \dfrac{1}{x^2+1}\)
  5. \(m(x) = x^2 - 3x\)
1. \(f(-x)=5x^4-3x^2+1=f(x)\). Paire.
2. \(g(-x)=-x^5+4x^3-2x=-(x^5-4x^3+2x)=-g(x)\). Impaire.
3. \(h(-x)=-x^3+x^2\). Ce n’est ni \(h(x)\) ni \(-h(x)\). Ni paire ni impaire.
4. \(k(-x)=\frac{1}{(-x)^2+1}=\frac{1}{x^2+1}=k(x)\). Paire.
5. \(m(-x)=x^2+3x\neq m(x)\) et \(\neq-m(x)\). Ni paire ni impaire.
4

Utiliser la parité. Intermédiaire

Une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) est impaire. On sait que \(f(1) = -2\), \(f(3) = 5\), \(f(5) = 1\).

  1. Donner \(f(-1)\), \(f(-3)\), \(f(-5)\) et \(f(0)\).
  2. Résoudre \(f(x) = -2\) en explicitant toutes les solutions connues.
  3. Résoudre \(f(x) = 0\). Combien de solutions connues ?
1. \(f(-1)=-f(1)=2\), \(f(-3)=-f(3)=-5\), \(f(-5)=-f(5)=-1\).
\(f(0)=-f(-0)=-f(0)\) donc \(2f(0)=0\), soit \(f(0)=0\).
2. \(f(1)=-2\) et par imparité \(f(-1)=2\neq-2\). On connaît \(x=1\) comme solution.
3. \(f(0)=0\) (car \(f\) impaire). \(x=0\) est une solution. D’après les données, c’est la seule connue.
5

Parité et graphe. Intermédiaire

On donne ci-dessous la courbe d’une fonction \(f\) uniquement pour \(x \geq 0\).

1 2 3 1 2 3 f (pour x≥0)
  1. Supposer que \(f\) est paire. Décrire et esquisser la courbe pour \(x \leq 0\).
  2. Supposer maintenant que \(f\) est impaire. Que devient la courbe pour \(x \leq 0\) ?
  3. Dans quel cas \(f\) est-elle positive sur tout son domaine ?
1. Si \(f\) est paire : la courbe pour \(x\leq0\) est le symétrique de la partie \(x\geq0\) par rapport à l’axe des ordonnées (même forme, « miroir »). La courbe est en cloche centrée en \(x=2\) environ.
2. Si \(f\) est impaire : la courbe pour \(x\leq0\) est le symétrique par rapport à l’origine — elle passe en dessous de l’axe, formant une courbe en « S ».
3. Dans le cas paire : \(f(x)\geq0\) pour tout \(x\) (la courbe ne descend pas sous l’axe d’après le graphe). Dans le cas impaire : \(f(x)<0\) pour \(x<0\).
🟣 Groupe 3 — Transformations de courbes ▾
6

Déduire une courbe par transformation. Base

À partir de la courbe de \(f(x) = x^2\), décrire la transformation qui donne chaque courbe, et donner les coordonnées du sommet de chaque parabole.

  1. \(g(x) = x^2 - 4\)
  2. \(h(x) = (x+3)^2\)
  3. \(k(x) = -(x-1)^2\)
  4. \(m(x) = (x-2)^2 + 5\)
1. Translation verticale de \(-4\). Sommet : \((0\,;\,-4)\).
2. Translation horizontale de \(-3\) (vers la gauche). Sommet : \((-3\,;\,0)\).
3. Réflexion par rapport à l’axe \(Ox\) puis translation de \(+1\) vers la droite. Sommet : \((1\,;\,0)\), parabole ouverte vers le bas (maximum).
4. Translation de \(+2\) horizontalement et \(+5\) verticalement. Sommet : \((2\,;\,5)\).
7

Retrouver l’expression. Intermédiaire

Une parabole a la même forme que \(y = x^2\) mais :

  1. Son sommet est en \((3\,;\,-2)\) et elle est ouverte vers le haut. Donner son expression.
  2. Elle passe par l’origine et son sommet est en \((1\,;\,-1)\). Donner son expression.
1. \(f(x) = (x-3)^2 - 2\).
2. Sommet en \((1\,;\,-1)\) : \(f(x)=(x-1)^2-1\). Vérification : \(f(0)=(0-1)^2-1=1-1=0\). ✓
🔴 Groupe 4 — Signe d’une fonction et tableau de signe ▾
8

Tableau de signe graphique. Intermédiaire

1 -1 2 -2 1 -1 f
  1. Lire les zéros de \(f\) sur le graphe.
  2. Dresser le tableau de signe de \(f\).
  3. Résoudre \(f(x) \leq 0\).
1. Zéros : \(x=-3\), \(x=-1\), \(x=2\).
2. Tableau de signe :
Sur \(]-\infty\,;\,-3[\) : courbe en dessous → \(f<0\).
Sur \(]-3\,;\,-1[\) : courbe au-dessus → \(f>0\).
Sur \(]-1\,;\,2[\) : courbe en dessous → \(f<0\).
Sur \(]2\,;\,+\infty[\) : courbe au-dessus → \(f>0\).
3. \(f(x)\leq0\) pour \(x\in]-\infty\,;\,-3]\cup[-1\,;\,2]\).
🟡 Groupe 5 — Approfondissement ▾
9

Décomposition paire/impaire. Approfondissement

Toute fonction \(f\) définie sur un domaine symétrique peut s’écrire \(f = f_p + f_i\) où \(f_p\) est paire et \(f_i\) est impaire, avec : \(f_p(x) = \dfrac{f(x)+f(-x)}{2}\) et \(f_i(x) = \dfrac{f(x)-f(-x)}{2}\).

Soit \(f(x) = x^2 + 3x - 1\).

  1. Calculer \(f_p(x)\) et vérifier qu’elle est paire.
  2. Calculer \(f_i(x)\) et vérifier qu’elle est impaire.
  3. Vérifier que \(f_p(x) + f_i(x) = f(x)\).
\(f(-x)=x^2-3x-1\).
1. \(f_p(x)=\frac{(x^2+3x-1)+(x^2-3x-1)}{2}=\frac{2x^2-2}{2}=x^2-1\).
Vérif : \(f_p(-x)=(-x)^2-1=x^2-1=f_p(x)\). ✓ Paire.
2. \(f_i(x)=\frac{(x^2+3x-1)-(x^2-3x-1)}{2}=\frac{6x}{2}=3x\).
Vérif : \(f_i(-x)=-3x=-f_i(x)\). ✓ Impaire.
3. \(f_p+f_i=(x^2-1)+3x=x^2+3x-1=f(x)\). ✓
10

Fonction définie par morceaux. Approfondissement

Soit \(f\) définie par \(f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{si } x \geq 0 \\ -(x^2-1) & \text{si } x < 0 \end{cases}\)

  1. Calculer \(f(2)\), \(f(-2)\), \(f(1)\), \(f(-1)\).
  2. Montrer que \(f\) est impaire.
  3. Résoudre \(f(x) = 0\).
1. \(f(2)=4-1=3\) ; \(f(-2)=-(4-1)=-3\) ; \(f(1)=0\) ; \(f(-1)=0\).
2. Pour \(x\geq0\) : \(f(-x)=-((-x)^2-1)=-(x^2-1)=-f(x)\). ✓
Pour \(x<0\) : \(-x>0\), donc \(f(-x)=(-x)^2-1=x^2-1\). Et \(-f(x)=-(-(x^2-1))=x^2-1\). ✓
Dans les deux cas \(f(-x)=-f(x)\) : \(f\) est impaire.
3. Pour \(x\geq0\) : \(x^2-1=0\Rightarrow x=1\). Pour \(x<0\) : \(-(x^2-1)=0\Rightarrow x=-1\).
Solutions : \(x=-1\) et \(x=1\).
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