Chapitre 7 — Déterminant et colinéarité · Exercices

1Calcul de déterminants

Calculer le déterminant des vecteurs suivants :

a) \(\vec{u}(3\,;\,2)\) et \(\vec{v}(1\,;\,4)\)

b) \(\vec{u}(-1\,;\,5)\) et \(\vec{v}(2\,;\,-10)\)

c) \(\vec{u}(4\,;\,-3)\) et \(\vec{v}(6\,;\,1)\)

Correction

a) \(\det(\vec{u},\vec{v}) = 3 \times 4 - 2 \times 1 = 12 - 2 = 10\). Non colinéaires.

b) \(\det(\vec{u},\vec{v}) = (-1) \times (-10) - 5 \times 2 = 10 - 10 = 0\). Colinéaires.

c) \(\det(\vec{u},\vec{v}) = 4 \times 1 - (-3) \times 6 = 4 + 18 = 22\). Non colinéaires.

2Colinéarité et alignement

Les points \(A(1\,;\,3)\), \(B(4\,;\,7)\) et \(C(7\,;\,11)\) sont-ils alignés ?

Correction

\(\vec{AB}(3\,;\,4)\) et \(\vec{AC}(6\,;\,8)\).

\(\det(\vec{AB},\vec{AC}) = 3 \times 8 - 4 \times 6 = 24 - 24 = 0\).

Les vecteurs sont colinéaires donc A, B, C sont alignés.

3Parallélisme de droites

On donne les droites \((d_1)\) passant par \(A(0\,;\,1)\) et \(B(2\,;\,5)\), et \((d_2)\) passant par \(C(1\,;\,-1)\) et \(D(3\,;\,3)\).

Les droites \((d_1)\) et \((d_2)\) sont-elles parallèles ?

Correction

\(\vec{AB}(2\,;\,4)\) et \(\vec{CD}(2\,;\,4)\).

\(\det(\vec{AB},\vec{CD}) = 2 \times 4 - 4 \times 2 = 0\).

Vecteurs colinéaires → droites parallèles (ici même direction).

4Trouver un point pour l’alignement

On donne \(A(2\,;\,1)\) et \(B(5\,;\,4)\). Trouver la valeur de \(y\) pour que \(C(8\,;\,y)\) soit aligné avec A et B.

Correction

\(\vec{AB}(3\,;\,3)\) et \(\vec{AC}(6\,;\,y-1)\).

Alignement \(\iff \det(\vec{AB},\vec{AC}) = 0\) :

\(3(y-1) - 3 \times 6 = 0 \implies 3y - 3 - 18 = 0 \implies y = 7\).

5Aire d’un triangle ⭐ Approfondissement

La formule \(\mathcal{A} = \tfrac{1}{2}|\det(\vec{AB},\vec{AC})|\) n’est pas exigible au programme Seconde 2026 ; elle sera démontrée en Première Spé. Exercice bonus.

Montrer que l’aire du triangle \(ABC\) est \(\mathcal{A} = \frac{1}{2}|\det(\vec{AB},\vec{AC})|\).

Calculer l’aire du triangle \(A(0\,;\,0)\), \(B(4\,;\,0)\), \(C(1\,;\,3)\).

Correction

\(\vec{AB}(4\,;\,0)\) et \(\vec{AC}(1\,;\,3)\).

\(\det(\vec{AB},\vec{AC}) = 4 \times 3 - 0 \times 1 = 12\).

\(\mathcal{A} = \frac{1}{2} \times |12| = 6\) (unités d’aire).

6Signe du déterminant et orientation

On donne \(\vec{u}(1\,;\,2)\) et \(\vec{v}(3\,;\,1)\).

a) Calculer \(\det(\vec{u},\vec{v})\). En déduire l’orientation du couple \((\vec{u},\vec{v})\).

b) Calculer \(\det(\vec{v},\vec{u})\). Que remarque-t-on ?

Correction

a) \(\det(\vec{u},\vec{v}) = 1 \times 1 - 2 \times 3 = -5 < 0\) : le couple \((\vec{u},\vec{v})\) est orienté dans le sens horaire.

b) \(\det(\vec{v},\vec{u}) = 3 \times 2 - 1 \times 1 = 5 = -\det(\vec{u},\vec{v})\). Le déterminant est antisymétrique.