Ch6 – Vecteurs du plan – Exercices

Groupe 1 — Bien démarrer ▼

1

Vrai ou faux ?

Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant.

a. Un vecteur possède une direction, un sens et une norme.
b. $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BA}$ sont égaux.
c. Si $ABCD$ est un carré, alors $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$.
d. Le vecteur nul $\vec{0}$ est le seul vecteur sans direction définie.

⭐ FacileNotions

a. Vrai. Un vecteur est caractérisé par ces trois éléments.
b. Faux. $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$ : même direction et norme, mais sens contraire.
c. Vrai. Dans un carré $ABCD$, les côtés $AB$ et $DC$ sont parallèles, de même longueur et de même sens (on passe de D à C dans le même sens que de A à B), donc $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$.
d. Vrai. C’est la définition du vecteur nul.

2

Représentants d’un vecteur

Sur une figure, on a les points : $A(0;0)$, $B(3;2)$, $C(1;4)$, $D(4;6)$, $E(-1;2)$, $F(2;4)$.

a. Parmi les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{BA}$, lesquels sont égaux à $\overrightarrow{AB}$ ?
b. Quel est l’opposé de $\overrightarrow{AB}$ ?

⭐ FacileVecteurs égaux

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{EF} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{BA} = \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \end{pmatrix}$.
a. $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{EF}$ sont égaux à $\overrightarrow{AB}$ : ils ont les mêmes coordonnées $\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$.
b. L’opposé de $\overrightarrow{AB}$ est $\overrightarrow{BA} = \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \end{pmatrix}$.

3

Parallélogramme

$ABCD$ est un parallélogramme (dans cet ordre de sommets). On donne $A(1;2)$, $B(4;3)$ et $D(2;5)$.

a. En utilisant $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, trouver les coordonnées de $C$.
b. Vérifier que les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu.

⭐ FacileParallélogramme

a. $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$. Comme $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$, on a $C = D + \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = (2+3 ; 5+1) = C(5 ; 6)$.
b. Milieu de $[AC]$ : $\left(\frac{1+5}{2} ; \frac{2+6}{2}\right) = (3 ; 4)$.
Milieu de $[BD]$ : $\left(\frac{4+2}{2} ; \frac{3+5}{2}\right) = (3 ; 4)$. ✅ Même milieu.

4

Translation

Une translation de vecteur $\vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}$ transforme le triangle $ABC$ en $A'B'C'$.
On donne $A(3;1)$, $B(5;0)$, $C(4;3)$.

a. Calculer les coordonnées de $A'$, $B'$ et $C'$.
b. Vérifier que $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{CC'} = \vec{v}$.

⭐ FacileTranslation

a. On ajoute $\vec{v}$ à chaque point :
$A'(3-2 ; 1+3) = A'(1 ; 4)$
$B'(5-2 ; 0+3) = B'(3 ; 3)$
$C'(4-2 ; 3+3) = C'(2 ; 6)$
b. $\overrightarrow{AA'} = \begin{pmatrix} 1-3 \\ 4-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} = \vec{v}$. De même pour $\overrightarrow{BB'}$ et $\overrightarrow{CC'}$. ✅

Groupe 2 — Relation de Chasles et opérations ▼

5

Simplifier avec Chasles

Simplifier chacune des expressions suivantes en un seul vecteur.

a. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$
b. $\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QR} + \overrightarrow{RS}$
c. $\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NM}$
d. $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BC}$

⭐ FacileChasles

a. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$
b. $\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QR} + \overrightarrow{RS} = \overrightarrow{PS}$
c. $\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NM} = \vec{0}$ (vecteurs opposés)
d. $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB}$

6

Chasles intermédiaire

$ABCDE$ est un pentagone. Exprimer chacun des vecteurs suivants à l’aide de $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{DE}$.

a. $\overrightarrow{AC}$
b. $\overrightarrow{AE}$
c. $\overrightarrow{BD}$
d. $\overrightarrow{CE}$

⭐ FacileChasles

a. $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$
b. $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE}$
c. $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}$
d. $\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE}$

7

Règle du parallélogramme

$OABC$ est un parallélogramme de centre $I$. On pose $\vec{u} = \overrightarrow{OA}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{OB}$.

a. Exprimer $\overrightarrow{OC}$ en fonction de $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
b. Exprimer $\overrightarrow{OI}$ en fonction de $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
c. Exprimer $\overrightarrow{AI}$ en fonction de $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

⭐⭐ MoyenParallélogrammeChasles

a. Dans $OABC$, $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{CB}$, donc $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{CB} = \vec{v} - \vec{u}$.
Ou encore : $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB}$ (règle du parallélogramme) → $\overrightarrow{OC} = \vec{v} - \vec{u}$.
b. $I$ est le milieu de $[OB]$ et de $[AC]$. $\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{OB} = \dfrac{1}{2}\vec{v}$.
c. $\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OI} = -\vec{u} + \dfrac{1}{2}\vec{v} = \dfrac{1}{2}\vec{v} - \vec{u}$.

8

Multiplication par un réel

On donne $\vec{u} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$.

Calculer les coordonnées de :
a. $3\vec{u}$ b. $-2\vec{v}$ c. $\vec{u} + \vec{v}$ d. $2\vec{u} - 3\vec{v}$

⭐ FacileOpérations

a. $3\vec{u} = \begin{pmatrix} 12 \\ -6 \end{pmatrix}$
b. $-2\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \end{pmatrix}$
c. $\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$
d. $2\vec{u} - 3\vec{v} = \begin{pmatrix} 8 \\ -4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 \\ 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \\ -13 \end{pmatrix}$

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Groupe 3 — Coordonnées, distance, milieu ▼

9

Coordonnées d’un vecteur

On donne les points $A(2 ; -1)$, $B(-3 ; 4)$, $C(0 ; 5)$ et $D(6 ; 1)$.

Calculer les coordonnées de :
a. $\overrightarrow{AB}$ b. $\overrightarrow{CD}$ c. $\overrightarrow{BA}$ d. $\overrightarrow{AC}$

⭐ FacileCoordonnées

a. $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -3-2 \\ 4-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 5 \end{pmatrix}$
b. $\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 6-0 \\ 1-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}$
c. $\overrightarrow{BA} = \begin{pmatrix} 2-(-3) \\ -1-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -5 \end{pmatrix} = -\overrightarrow{AB}$ ✅
d. $\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 0-2 \\ 5-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \end{pmatrix}$

10

Distance entre deux points

Calculer les distances suivantes (en donnant le résultat sous forme exacte puis valeur approchée au dixième).

a. $AB$ avec $A(1 ; 2)$ et $B(4 ; 6)$
b. $CD$ avec $C(-3 ; 1)$ et $D(2 ; -4)$
c. $EF$ avec $E(0 ; 0)$ et $F(5 ; 12)$

⭐ FacileDistanceNorme

a. $AB = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$
b. $CD = \sqrt{(2-(-3))^2 + (-4-1)^2} = \sqrt{25+25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \approx 7{,}1$
c. $EF = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13$

11

Milieu d’un segment

a. Calculer les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$ avec $A(-4 ; 3)$ et $B(6 ; -1)$.
b. On sait que $J(2 ; 5)$ est le milieu de $[CD]$ avec $C(0 ; 2)$. Trouver les coordonnées de $D$.
c. Les points $M(1 ; -2)$, $N(5 ; 4)$ et $P(3 ; 1)$ forment un triangle. Calculer les coordonnées du milieu de chaque côté.

⭐ FacileMilieu

a. $I\!\left(\dfrac{-4+6}{2} ; \dfrac{3+(-1)}{2}\right) = I(1 ; 1)$
b. $J$ milieu de $[CD]$ : $\dfrac{0+x_D}{2} = 2$ donc $x_D = 4$ ; $\dfrac{2+y_D}{2} = 5$ donc $y_D = 8$. D’où $D(4 ; 8)$.
c. Milieu de $[MN]$ : $(3 ; 1)$. Milieu de $[MP]$ : $(2 ; -\frac{1}{2})$. Milieu de $[NP]$ : $(4 ; \frac{5}{2})$.

12

Point manquant

On cherche le point $C$ tel que $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$, avec $O(0;0)$, $A(3;-1)$ et $B(-2;4)$.

a. Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$.
b. En déduire les coordonnées de $C$.
c. Quel est le nom de la figure $OACB$ (dans cet ordre) ? Justifier.

⭐⭐ MoyenOpérationsParallélogramme

a. $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$
b. $\overrightarrow{OC} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ donc $C(1 ; 3)$.
c. $\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 1-(-2) \\ 3-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$. Comme $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{BC}$, $OACB$ est un parallélogramme (règle du parallélogramme pour la diagonale $OC$).

Groupe 4 — Colinéarité et applications ▼

13

Calculer un déterminant

Pour chaque paire de vecteurs, calculer le déterminant et dire s’ils sont colinéaires.

a. $\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}$
b. $\vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} = \begin{pmatrix} 6 \\ 5 \end{pmatrix}$
c. $\vec{u} = \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} = \begin{pmatrix} -10 \\ 6 \end{pmatrix}$

⭐ FacileColinéaritéDéterminant

a. Déterminant : $2 \times 6 - 4 \times 3 = 12 - 12 = 0$ → vecteurs colinéaires ($\vec{v} = 2\vec{u}$).
b. Déterminant : $3 \times 5 - 6 \times (-2) = 15 + 12 = 27 \neq 0$ → vecteurs non colinéaires.
c. Déterminant : $5 \times 6 - (-10) \times (-3) = 30 - 30 = 0$ → vecteurs colinéaires ($\vec{v} = -2\vec{u}$).

14

Points alignés ?

Pour chaque triplet de points, déterminer s’ils sont alignés en utilisant la colinéarité des vecteurs.

a. $A(1 ; 2)$, $B(3 ; 5)$, $C(5 ; 8)$
b. $D(-2 ; 1)$, $E(0 ; 4)$, $F(3 ; 8)$
c. $P(0 ; 0)$, $Q(4 ; -6)$, $R(-2 ; 3)$

⭐⭐ MoyenAlignementColinéarité

a. $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}$. Det = $2 \times 6 - 4 \times 3 = 0$ → alignés.
b. $\overrightarrow{DE} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{DF} = \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix}$. Det = $2 \times 7 - 5 \times 3 = 14 - 15 = -1 \neq 0$ → non alignés.
c. $\overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{PR} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}$. Det = $4 \times 3 - (-2) \times (-6) = 12 - 12 = 0$ → alignés ($\overrightarrow{PR} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{PQ}$).

15

Droites parallèles

a. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles parallèles ?
$A(1;3)$, $B(4;7)$, $C(-1;0)$, $D(2;4)$

b. Trouver la valeur de $k$ pour que les droites $(MN)$ et $(PQ)$ soient parallèles, avec :
$\overrightarrow{MN} = \begin{pmatrix} 3 \\ k \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}$

⭐⭐ MoyenParallélismeColinéarité

a. $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$. Det = $3 \times 4 - 3 \times 4 = 0$ → les droites sont parallèles (et même que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$, elles pourraient être confondues, mais les points ne sont pas les mêmes).
b. Pour que $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{PQ}$ soient colinéaires : $3 \times 4 - 6 \times k = 0$, soit $12 - 6k = 0$, donc $k = 2$.

16

Nature d’un quadrilatère

On donne $A(0;1)$, $B(4;3)$, $C(5;6)$, $D(1;4)$.

a. Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{DC}$ et $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{BC}$.
b. Montrer que $ABCD$ est un parallélogramme.
c. Calculer $AB$ et $BC$. Peut-on affirmer que $ABCD$ est un losange ?

⭐⭐ MoyenParallélogrammeLosange

a. $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{DC} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AD} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$.
b. $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ (et $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$) → $ABCD$ est un parallélogramme.
c. $AB = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$. $BC = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$. Comme $AB \neq BC$, ce n’est pas un losange.

Groupe 5 — Perfectionnement ▼

17

Milieu et vecteurs

Soit $I$ le milieu de $[BC]$ avec $B(2;-1)$ et $C(6;5)$. Soit $A(-1;3)$.

a. Calculer les coordonnées de $I$.
b. Montrer que $\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$.
c. La droite $(AI)$ est la médiane issue de $A$. Calculer $AI$.

⭐⭐ MoyenMilieuChasles

a. $I\!\left(\dfrac{2+6}{2} ; \dfrac{-1+5}{2}\right) = I(4 ; 2)$.
b. $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \end{pmatrix}$.
$\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}) = \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 10 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix}$.
$\overrightarrow{AI} = \begin{pmatrix} 4-(-1) \\ 2-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix}$. ✅
c. $AI = \sqrt{25+1} = \sqrt{26} \approx 5{,}1$.

18

Valeur de paramètre

On donne $A(1;k)$, $B(3;2)$ et $C(7;-2)$ où $k$ est un réel.

a. Pour quelle valeur de $k$ les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ?
b. Pour $k = 0$, quelle est la distance $AB$ ?

⭐⭐ MoyenParamètreColinéarité

a. $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2-k \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 6 \\ -2-k \end{pmatrix}$.
Déterminant nul : $2(-2-k) - 6(2-k) = 0$
$-4 - 2k - 12 + 6k = 0$
$4k - 16 = 0$ → $k = 4$.
b. Pour $k=0$ : $A(1;0)$, $B(3;2)$. $AB = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

19

Le drone — problème d’ouverture

Un drone part de $A(0;0)$ et doit rejoindre $B(400;300)$ (en mètres). Il vole à 5 m/s dans la direction de $\overrightarrow{AB}$, mais un vent de 2 m/s vers l’est s’ajoute.

a. Calculer $AB$ et en déduire le vecteur unitaire $\vec{u}$ dans la direction de $\overrightarrow{AB}$.
b. La vitesse propre du drone est $5\vec{u}$ et celle du vent est $\vec{w} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}$. Calculer la vitesse réelle $\vec{v}_{\text{réel}}$.
c. Le drone parcourt 500 m à 5 m/s. Calculer son temps de vol, puis sa position réelle d’arrivée.
d. De combien de mètres rate-t-il la cible ?

⭐⭐⭐ DifficileVecteur vitesseApplication

a. $AB = \sqrt{400^2+300^2} = \sqrt{250\,000} = 500$ m. $\vec{u} = \frac{1}{500}\begin{pmatrix} 400 \\ 300 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}8 \\ 0{,}6 \end{pmatrix}$.
b. $5\vec{u} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}$. $\vec{v}_{\text{réel}} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix}$ m/s.
c. Durée : $t = \frac{500}{5} = 100$ s. Position d’arrivée : $100 \times \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 600 \\ 300 \end{pmatrix}$, soit le point $C(600;300)$.
d. $BC = \sqrt{(600-400)^2+0^2} = 200$ m.

20

Centre de gravité

Le centre de gravité (ou barycentre) $G$ d’un triangle $ABC$ vérifie :
$$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$$ On donne $A(2;4)$, $B(6;0)$ et $C(-2;2)$.

a. On suppose que $G(x;y)$. En développant $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$, montrer que $x = \dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}$.
b. Calculer les coordonnées de $G$.
c. Vérifier que $G$ est sur la médiane issue de $A$ (c’est-à-dire que $A$, $G$ et le milieu $I$ de $[BC]$ sont alignés).

⭐⭐⭐ DifficileBarycentreAlignement

a. $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \begin{pmatrix} x_A-x \\ y_A-y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_B-x \\ y_B-y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_C-x \\ y_C-y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_A+x_B+x_C - 3x \\ y_A+y_B+y_C - 3y \end{pmatrix} = \vec{0}$.
Donc $x = \dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}$. De même pour $y$.
b. $G\!\left(\dfrac{2+6-2}{3} ; \dfrac{4+0+2}{3}\right) = G(2 ; 2)$.
c. Milieu $I$ de $[BC]$ : $I(2;1)$.
$\overrightarrow{AI} = \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AG} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix}$. Det = $0 \times (-2) - 0 \times (-3) = 0$ → $A$, $G$, $I$ alignés. ✅

Groupe 6 — QCM & Questions flash ▼

21

QCM — Entourer la (ou les) bonne(s) réponse(s)

A. $A(1;2)$, $B(4;5)$. Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ sont…
□ $\begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix}$ □ $\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}$ □ $\begin{pmatrix} -3 \\ -3 \end{pmatrix}$

B. $\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$. Alors…
□ $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires □ $\|\vec{u}\| = 2\sqrt{5}$ □ $\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

C. $A(0;0)$, $B(3;1)$, $C(6;2)$. Alors…
□ $A$, $B$, $C$ sont alignés □ $BC = \sqrt{10}$ □ $AB = BC$

⭐⭐ MoyenQCM

A. ✅ $\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}$ (différence des coordonnées). ❌ Les deux autres.
B. ✅ colinéaires : det = $2\times2-(-1)\times(-4) = 4-4 = 0$. ✅ $\|\vec{u}\| = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$. ✅ $\vec{u}+\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$.
C. ✅ alignés : $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix} = 2\overrightarrow{AB}$, det = 0. ✅ $BC = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$. ✅ $AB = \sqrt{10} = BC$ : A, B, C sont alignés et équidistants.

22

Questions flash

Répondre rapidement (sans calculatrice) :

1. Simplifier : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA}$.

2. $A(3;-2)$ et $B(3;5)$. Calculer $AB$.

3. $\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix}$. Que vaut $\|\vec{u}\|$ ?

4. $I(2;3)$ est le milieu de $[AB]$ avec $A(0;1)$. Donner les coordonnées de $B$.

5. $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 6 \\ 10 \end{pmatrix}$. Sont-ils colinéaires ?

⭐ FacileFlash

1. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA} = \vec{0}$.
2. $AB = \sqrt{(3-3)^2+(5-(-2))^2} = \sqrt{0+49} = 7$.
3. $\|\vec{u}\| = \sqrt{0+16} = 4$.
4. $\frac{0+x_B}{2} = 2$ → $x_B = 4$ ; $\frac{1+y_B}{2} = 3$ → $y_B = 5$. D’où $B(4;5)$.
5. Det = $3 \times 10 - 6 \times 5 = 30 - 30 = 0$ → oui, colinéaires ($\overrightarrow{CD} = 2\overrightarrow{AB}$).

Chapitre 6 — Vecteurs du plan · Exercices