Chapitre 15 — Probabilités conditionnelles et arbres

Soit \(A\) = « la carte est un cœur » et \(B\) = « la carte est une figure (valet, dame, roi) ».

• \(P(A) = \dfrac{13}{52} = \dfrac{1}{4}\) (13 cœurs)
• \(P(B) = \dfrac{12}{52} = \dfrac{3}{13}\) (12 figures)
• \(A \cap B\) = « cœur figure » : valet, dame, roi de cœur, soit \(P(A \cap B) = \dfrac{3}{52}\)

D’où \(P(A \cup B) = \dfrac{13}{52} + \dfrac{12}{52} - \dfrac{3}{52} = \dfrac{22}{52} = \dfrac{11}{26}\) (tirer un cœur ou une figure, les deux cas comptent une seule fois).

On lance un dé équilibré et on note la fréquence d’apparition du 6.

• Après 10 lancers : fréquence du 6 = 0,30 (très variable).
• Après 100 lancers : fréquence du 6 = 0,18.
• Après 1000 lancers : fréquence du 6 = 0,164.
• Après 10 000 lancers : fréquence du 6 = 0,1672.

La fréquence se rapproche de \(\frac{1}{6} \approx 0{,}1667\).

On lance un dé équilibré. A = « obtenir un nombre pair » = {2, 4, 6}. B = « obtenir un nombre supérieur à 3 » = {4, 5, 6}.

• \(P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
• \(A \cap B = \{4, 6\}\), donc \(P(A \cap B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
• \(P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3}\)

Sachant que le résultat est pair, la probabilité qu’il soit supérieur à 3 est \(\frac{2}{3}\).

Urne contenant 3 boules rouges et 2 boules bleues. On tire une boule, on la remet, puis on tire à nouveau.

Chemin RR : \(P(\text{RR}) = \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{25}\).

Chemin RB : \(P(\text{RB}) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{6}{25}\).

Vérification : \(\frac{9}{25}+\frac{6}{25}+\frac{6}{25}+\frac{4}{25}=\frac{25}{25}=1\).

Dans l’urne précédente, quelle est la probabilité d’obtenir exactement une boule rouge sur les deux tirages ?

Chemins concernes : RB et BR.

\(P(\text{exactement 1 R}) = P(\text{RB}) + P(\text{BR}) = \frac{6}{25} + \frac{6}{25} = \frac{12}{25}\).

Maladie touchant 1 personne sur 1000. Test de sensibilité 99 % et spécificité 99 %.

Sur 100 000 personnes :

Parmi les 1 098 tests positifs, seuls 99 sont vraiment malades !

\(P_+(\text{Malade}) = \frac{99}{1\,098} \approx 9\,\%\)

Avec un test positif, il n’y a que 9 % de chance d’être réellement malade ! La plupart des positifs sont des faux positifs, car la maladie est rare.

Dans le test médical :

• \(P_M(+) = 0{,}99\) : « si on est malade, le test est positif avec probabilité 99 % » (sensibilité).
• \(P_+(M) \approx 0{,}09\) : « si le test est positif, on est malade avec probabilité 9 % » (valeur prédictive positive).

Confondre ces deux probabilités est une erreur très frequente, parfois appelée erreur du procureur en justice.

• Deux lancers de dé indépendants : on lance deux dés équilibrés. Soient \(A\) = « premier dé donne 6 » et \(B\) = « second dé donne 6 ». Alors \(P(A) = P(B) = \frac{1}{6}\) et \(P(A \cap B) = \frac{1}{36} = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6}\) : \(A\) et \(B\) sont indépendants.
• Tirage avec remise : dans une urne, tirer une boule, la remettre, en tirer une seconde. Les couleurs des deux tirages sont indépendantes.
• Tirage sans remise : si on ne remet pas la boule, les deux tirages ne sont plus indépendants (la composition de l’urne change).

On lance deux dés. On veut estimer \(P(\text{somme} \geq 10 \mid \text{premier de} \geq 5)\). On simule 100 000 lancers, on compte.

from random import randint

N = 100000
nb_A = 0            # premier de ≥ 5
nb_A_et_B = 0       # A et somme ≥ 10

for _ in range(N):
    d1 = randint(1, 6)
    d2 = randint(1, 6)
    if d1 >= 5:
        nb_A += 1
        if d1 + d2 >= 10:
            nb_A_et_B += 1

if nb_A > 0:
    print("P(B | A) ≈", nb_A_et_B / nb_A)  # ≈ 0.5

Valeur exacte : sur les 12 couples avec premier de ≥ 5, 6 ont une somme ≥ 10, donc \(P(B \mid A) = 6/12 = 0{,}5\). La simulation doit s’en rapprocher.