Chapitre 15 — Probabilités conditionnelles et arbres · Exercices

Dans un lycée de 500 élèves, on a recensé les données suivantes :

On choisit un élève au hasard. Soit \(F\) = « l’élève est une fille » et \(M\) = « l’élève est en spé maths ».

1. Calculer \(P(F)\), \(P(M)\) et \(P(F \cap M)\).
2. Calculer \(P_F(M)\) et \(P_M(F)\). Interpréter chaque résultat.
3. Calculer \(P_{\bar{F}}(M)\). Comparer avec \(P_F(M)\).
4. \(F\) et \(M\) sont-ils indépendants ? Justifier.

Une urne contient 4 boules rouges (R) et 3 boules vertes (V). On tire successivement deux boules sans remise.

1. Construire l’arbre pondéré de cette expérience.
2. Calculer la probabilité d’obtenir deux boules de la même couleur.
3. Calculer la probabilité d’obtenir au moins une boule rouge.
4. Sachant que la première boule est rouge, quelle est la probabilité que la seconde soit verte ?

Dans une ville, 30% des habitants utilisent les transports en commun (TC), 50% utilisent leur voiture (V) et 20% vont à pied (P). La probabilité d’être en retard selon le moyen de transport est :

• TC : 15% de retard
• Voiture : 25% de retard
• À pied : 5% de retard

1. Vérifier que TC, V, P forment une partition de l’univers.
2. Construire l’arbre pondéré.
3. Calculer la probabilité qu’un habitant soit en retard.
4. Un habitant est en retard. Quelle est la probabilité qu’il soit venu en voiture ? (Formule de Bayes)

On lance simultanément deux dés équilibrés (un rouge, un bleu).

1. Soit \(A\) = « le dé rouge donne un nombre pair » et \(B\) = « la somme des deux dés est supérieure à 8 ». Montrer que \(A\) et \(B\) ne sont pas indépendants.
2. Soit \(C\) = « le dé rouge donne 6 » et \(D\) = « le dé bleu donne un nombre impair ». Montrer que \(C\) et \(D\) sont indépendants.
3. Si \(A\) et \(B\) sont indépendants avec \(P(A) = 0{,}4\) et \(P(B) = 0{,}3\), calculer \(P(A \cup B)\), \(P(\bar{A} \cap B)\) et \(P_{B}(A)\).

Un test de dépistage d’une maladie rare a les caractéristiques suivantes :

• La maladie touche 0,5% de la population
• Si le patient est malade, le test est positif dans 99% des cas (sensibilité)
• Si le patient n’est pas malade, le test est négatif dans 95% des cas (spécificité)

1. Construire l’arbre pondéré. Nommer M = « être malade » et T = « test positif ».
2. Calculer P(T), la probabilité qu’un test soit positif.
3. Un patient a un test positif. Quelle est la probabilité qu’il soit réellement malade ? Ce résultat est-il surprenant ?
4. Expliquer le paradoxe du « faux positif » et son importance en médecine.

Un archer atteint la cible avec une probabilité de 0,7 à chaque tir. Les tirs sont indépendants.

1. Il effectue 3 tirs. Construire l’arbre pondéré (A = atteint, M = manqué).
2. Calculer la probabilité d’atteindre la cible exactement 2 fois.
3. Calculer la probabilité d’atteindre la cible au moins une fois.
4. Calculer la probabilité d’atteindre la cible au moins 2 fois.

Dans une classe de 30 élèves, 18 ont réussi le contrôle de maths (M) et 15 ont réussi le contrôle de physique (P). 10 élèves ont réussi les deux.

1. Calculer P(M), P(P) et P(M∩P).
2. Calculer \(P_M(P)\) et \(P_P(M)\). Expliquer la différence entre ces deux probabilités.
3. Calculer \(P_{\bar{M}}(P)\). Interpréter.
4. M et P sont-ils indépendants ? Que peut-on en conclure sur le lien entre réussite en maths et en physique dans cette classe ?
5. Calculer \(P_M(P)\) et \(P_{\bar{M}}(P)\) et comparer — quelle conclusion tires-tu ?

Une chaîne de production comporte deux postes de contrôle successifs. Au premier poste, une pièce défectueuse est détectée avec une probabilité de 0,8 et rejetée. Les pièces non rejetées passent au second poste, qui détecte les défauts restants avec une probabilité de 0,9. On sait que 5% des pièces en entrée sont défectueuses.

1. Construire l’arbre pondéré complet (D = défectueuse, \(\bar{D}\) = bonne).
2. Calculer la probabilité qu’une pièce défectueuse passe les deux contrôles sans être détectée.
3. Calculer la probabilité qu’une pièce soit rejetée à l’un ou l’autre des postes.
4. Calculer la probabilité qu’une pièce parvienne en fin de chaîne (non rejetée aux deux postes).
5. Une pièce est en fin de chaîne. Calculer la probabilité qu’elle soit défectueuse.

Adapté du Bac Spé — Asie, juin 2025 (Ex. 1, Partie A)

En 2005, une épidémie de chikungunya a touché l’île de La Réunion : 270 000 personnes infectées sur 750 000 habitants. Un laboratoire a développé un test de dépistage :

• probabilité qu’un individu atteint ait un test positif : \(0{,}999\) ;
• probabilité qu’un individu sain ait un test positif : \(0{,}005\).

On note \(M\) = « être atteint du chikungunya » et \(T\) = « avoir un test positif ».

1. Donner \(P_M(T)\) et \(P_{\overline{M}}(T)\). Montrer que \(P(M) = \dfrac{9}{25}\).
2. Construire l’arbre pondéré de la situation.
3. Calculer \(P(M \cap T)\).
4. Calculer \(P(T)\).
5. Calculer \(P_T(M)\). Le test est considéré fiable si \(P_T(M) > 0{,}95\). Ce test est-il fiable pour cette population ?

Adapté du Bac Spé — Métropole, 20 mars 2023 (Ex. 1)

Un technicien contrôle les machines d’une grande entreprise. On sait que :

• 20 % des machines sont sous garantie ;
• 0,2 % des machines sont à la fois défectueuses et sous garantie ;
• 8,2 % des machines sont défectueuses.

On note \(G\) = « la machine est sous garantie » et \(D\) = « la machine est défectueuse ».

1. Calculer \(P_G(D)\).
2. Calculer \(P(\overline{G} \cap D)\).
3. Construire l’arbre pondéré (premier niveau : \(G\) et \(\overline{G}\)).
4. Calculer \(P(\overline{G} \cap \overline{D})\). Interpréter ce résultat.
5. \(D\) et \(G\) sont-ils indépendants ? Justifier.

Adapté du Bac Spé — Métropole J1, 17 juin 2025 (Ex. 1)

On sait qu’au sein de la population française :

• 45 % des individus sont de groupe A, et parmi eux 85 % sont de rhésus positif ;
• 10 % sont de groupe B, et parmi eux 84 % sont de rhésus positif ;
• 3 % sont de groupe AB, et parmi eux 82 % sont de rhésus positif ;
• 42 % sont de groupe O.

On choisit au hasard une personne. On note \(A\), \(B\), \(AB\), \(O\) les évènements correspondant au groupe sanguin et \(R\) l’évènement « la personne est de rhésus positif ».

1. Construire l’arbre de probabilités de cette situation (premier niveau : groupe sanguin, deuxième niveau : rhésus).
2. Montrer que \(P(B \cap R) = 0{,}084\). Interpréter ce résultat dans le contexte.
3. On précise que \(P(R) = 0{,}8397\). Montrer que \(P_O(R) = 0{,}83\).
4. Le groupe O de rhésus négatif est le seul groupe de « donneur universel ». Montrer que la probabilité qu’un individu choisi au hasard soit donneur universel est \(0{,}0714\).

Adapté du Bac Spé — Polynésie J1, 2 septembre 2025 (Ex. 1, Partie A)

En France, parmi les jeunes en formation au permis de conduire, 16 % suivent la conduite accompagnée (à partir de 15 ans). Parmi eux, 74,7 % réussissent l’examen dès la première tentative. En formation classique, ce taux n’est que de 56,8 %.

On choisit au hasard un jeune ayant passé l’examen. On note \(A\) = « a suivi la conduite accompagnée » et \(R\) = « a eu le permis dès la première tentative ».

On arrondira les résultats à \(10^{-3}\) près si nécessaire.

1. Dresser l’arbre de probabilités de la situation.
2. Démontrer que \(P(R) = 0{,}59664\). Arrondir à \(10^{-3}\) et interpréter.
3. On choisit un jeune ayant réussi dès la première tentative. Quelle est la probabilité qu’il ait suivi la conduite accompagnée ?
4. Quelle devrait être la proportion de jeunes en conduite accompagnée pour que le taux de réussite global dépasse 70 % ?