Seconde — Nouveau programme (BO 2026) · Math@mine
On interroge 500 lycéens de deux régions sur leur sport préféré (football, basketball, natation). Comment savoir si le choix du sport dépend de la région ?
Florence Nightingale (1820–1910), pionnière des soins infirmiers, est aussi l’une des premières à utiliser les statistiques pour convaincre. Pendant la guerre de Crimée, elle a collecté des donnees sur les causes de décès des soldats et les a croisées avec les conditions sanitaires.
Ses diagrammes à secteurs innovants (« coxcombs ») ont montré que la majorité des décès étaient dus aux maladies, non aux blessures. Ses tableaux croisés ont convaincu le gouvernement britannique de reformer les hôpitaux militaires.
L’hôpital A réussit mieux que l’hôpital B pour les cas légers et pour les cas graves. Pourtant, globalement, l’hôpital B a un meilleur taux de réussite. Comment n’est-ce possible ?
Une variable quantitative prend des valeurs numériques (taille, poids, note). On ne peut pas calculer de moyenne sur une variable qualitative.
On interroge 200 lycéens sur leur sport préféré :
| Football | Basketball | Natation | Total | |
|---|---|---|---|---|
| Région Nord | 40 | 30 | 10 | 80 |
| Région Sud | 30 | 40 | 50 | 120 |
| Total | 70 | 70 | 60 | 200 |
Les totaux en dernière ligne et dernière colonne sont les effectifs marginaux.
Chaque effectif \(n_{ij}\) croisé une modalité ligne et une modalité colonne. Les totaux en bordure (marges) correspondent aux effectifs marginaux, utilisés pour les fréquences marginales.
Fréquences marginales des sports :
Fréquences marginales des régions :
Fréquence du football sachant Région Nord :
\[f_{\text{Nord}}(\text{Football}) = \frac{40}{80} = 50\,\%\]Fréquence du football sachant Région Sud :
\[f_{\text{Sud}}(\text{Football}) = \frac{30}{120} = 25\,\%\]Le football est deux fois plus populaire au Nord qu’au Sud (50 % contre 25 %). Il semble y avoir un lien entre région et sport.
\(f_{\text{Nord}}(\text{Football})\) (fréquence du football parmi les Nordistes) et \(f_{\text{Football}}(\text{Nord})\) (fréquence des Nordistes parmi les footballeurs) sont des nombres différents :
On divise chaque case par le total de sa ligne :
| Football | Basketball | Natation | Total | |
|---|---|---|---|---|
| Nord | 50 % | 37,5 % | 12,5 % | 100 % |
| Sud | 25 % | 33,3 % | 41,7 % | 100 % |
Chaque ligne totalise 100 %. On lit directement la répartition des sports dans chaque région.
Les deux profils sont visiblement différents : au Nord, le football domine (50 %) ; au Sud, c’est la natation (41,7 %). Il existe un lien entre la région et le sport pratique.
On compare les fréquences conditionnelles entre les différentes sous-populations :
Les profils sont différents : au Nord, 50 % font du football et 12,5 % de la natation ; au Sud, 25 % font du football et 41,7 % de la natation. Il y a bien un lien entre la région et le sport pratique.
Attention : une tendance observée dans chaque sous-groupe peut s’inverser quand on fusionne les groupes (cf. énigme d’introduction). Il faut toujours analyser les fréquences conditionnelles, pas seulement les fréquences marginales.
L’exemple canonique du paradoxe de Simpson est celui des admissions à l’université de Berkeley en 1973 : globalement, les hommes semblaient avantagés (44 % admis contre 35 % pour les femmes), mais département par département, les femmes étaient en réalité mieux admises. L’explication ? Les femmes postulaient davantage dans les départements les plus sélectifs.
🎬 Voyages au pays des maths — Le paradoxe de Simpson | ARTE (épisode 6 min)
📄 Fiche exercices — Paradoxe de Simpson (CSEN, niveau lycée)
Conclusion : toujours examiner les sous-groupes, pas seulement le total fusionné.
À partir de deux listes représentant deux caractères, on peut filtrer une sous-population en Python :
On peut ensuite dresser le tableau croisé et calculer les fréquences conditionnelles automatiquement.
Résultat admis -- justification intuitive :
Si on tire un individu au hasard dans une population de \(N\) individus avec équiprobabilité, la probabilité de tomber dans un sous-ensemble \(A\) de \(n_A\) individus est \(\frac{n_A}{N}\), ce qui est exactement la proportion de \(A\) dans la population.
La fréquence conditionnelle \(f_A(B) = \frac{\text{Card}(A \cap B)}{\text{Card}(A)}\) devient la probabilité conditionnelle \(P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}\) par le même raisonnement. C’est le lien entre statistiques descriptives et probabilités.
On tire un lycéen au hasard parmi les 200.
On vérifie : \(P(\text{Nord} \cap \text{Football}) = P(\text{Nord}) \times P_{\text{Nord}}(\text{Football}) = 0{,}4 \times 0{,}5 = 0{,}2\). ✓
Le chapitre 15 — Probabilités conditionnelles et arbres généralise cette notion dans un cadre probabiliste, au-delà des tableaux croisés : on y voit les arbres pondérés, la formule des probabilités totales et l’indépendance de deux événements.
On représente le tableau avec un dictionnaire imbriqué, puis on calcule les fréquences marginales (par ligne et par colonne).
# Reprise du sondage 200 lycéens : sport préféré x région tableau = { "Nord": {"foot": 40, "basket": 30, "natation": 10}, "Sud": {"foot": 30, "basket": 40, "natation": 50}, } total = sum(sum(ligne.values()) for ligne in tableau.values()) print("Total :", total) # 200 # Fréquences marginales par ligne (région) for région, ligne in tableau.items(): print(région, ":", sum(ligne.values()) / total) # Fréquences marginales par colonne (sport) sports = ["foot", "basket", "natation"] for s in sports: effectif = sum(tableau[région][s] for région in tableau) print(s, ":", effectif / total) # Profil-ligne de Nord (fréquences conditionnelles) for s in sports: print("Nord,", s, ":", tableau["Nord"][s] / sum(tableau["Nord"].values()))
On retrouve 40 % Nord / 60 % Sud, 35 % foot / 35 % basket / 30 % natation, puis le profil-ligne Nord : 50 % foot, 37,5 % basket, 12,5 % natation (cohérent avec le tableau du cours plus haut).
| Notion | Formule / Description |
|---|---|
| Tableau croisé | Répartition selon deux variables qualitatives |
| Fréquence marginale | \(f(A) = \frac{\text{effectif de } A}{\text{effectif total}}\) |
| Fréquence conditionnelle | \(f_A(B) = \frac{\text{effectif de } A \cap B}{\text{effectif de } A}\) |
| Lien probabiliste | \(P_A(B) = \frac{\text{Card}(A \cap B)}{\text{Card}(A)}\) |
Pour détecter un lien entre deux variables qualitatives, on compare les fréquences conditionnelles d’une variable sachant l’autre. Si elles sont très différentes, il y a un lien ; sinon, les variables sont quasi indépendantes.
Exemple de donnees fictives :
| Football | Basketball | Natation | Total | |
|---|---|---|---|---|
| Région Nord | 150 | 60 | 40 | 250 |
| Région Sud | 80 | 80 | 90 | 250 |
| Total | 230 | 140 | 130 | 500 |
Fréquences conditionnelles « sport sachant région » :
Les profils sont nettement différents : au Nord, le football domine largement ; au Sud, les trois sports sont équilibrés. Il y a bien un lien entre région et sport pratique.
Si les deux régions avaient eu les mêmes pourcentages (\(46\%\) - \(28\%\) - \(26\%\), fréquences marginales), on aurait conclu à une indépendance.
Exemple :
| Hôpital A | Hôpital B | |
|---|---|---|
| Cas légers | 90/100 (90 %) | 8/10 (80 %) |
| Cas graves | 30/100 (30 %) | 2/10 (20 %) |
| Global | 120/200 (60 %) | 10/20 (50 %) |
Ici, A est meilleur partout et globalement. Mais si B traité surtout des cas graves :
| Hôpital A | Hôpital B | |
|---|---|---|
| Cas légers | 90/100 (90 %) | 800/1000 (80 %) |
| Cas graves | 30/100 (30 %) | 20/100 (20 %) |
| Global | 120/200 (60 %) | 820/1100 (74,5 %) |
B paraît meilleur globalement car il traité une énorme proportion de cas légers ! C’est le paradoxe de Simpson : les fréquences conditionnelles et les fréquences marginales peuvent raconter des histoires différentes.
📌 Cas historique : c’est exactement ce qui s’est passé en 1973 à l’université de Berkeley (Californie) : les femmes avaient un taux d’admission global inférieur à celui des hommes, mais étaient mieux admises dans presque tous les départements. L’explication ? Elles postulaient davantage dans les filières les plus sélectives. Voir la section 5 pour une vidéo explicative.
Variables croisées : teste d’abord ton intuition, puis lis l’explication.
« La fréquence conditionnelle \(f_A(B)\) est toujours égale à la fréquence marginale \(f(B)\). »
Cette affirmation n’est-elle vraie ?
FAUX. La fréquence conditionnelle \(f_A(B)\) est la proportion de \(B\) parmi les individus de \(A\). La fréquence marginale \(f(B)\) est la proportion de \(B\) dans toute la population.
Exemple : 80 % des sportifs sont en bonne santé (\(f_{\text{sport}}(\text{santé}) = 0{,}8\)), mais seulement 60 % de la population totale l’est (\(f(\text{santé}) = 0{,}6\)).
Mini-test : dans un lycée, 70 % des filles font du sport, et 55 % de tous les élèves font du sport. On en déduit que :
« Dans un tableau de fréquences conditionnelles par ligne, la somme d’une ligne vaut 100 % du total général. »
Cette affirmation n’est-elle vraie ?
FAUX. Dans un profil-ligne (fréquences conditionnelles par ligne), chaque ligne somme à 100 % de cette ligne, pas du total général. Les pourcentages d’une ligne se rapportent au total de cette ligne uniquement.
De même, dans un profil-colonne, chaque colonne somme à 100 % de cette colonne.
Mini-test : dans un profil-ligne, la ligne « garçons » donne : sport 60 %, musique 25 %, rien 15 %. Ce 60 % signifie :
« Si deux variables sont liées dans un tableau croisé, alors l’une cause l’autre. »
Cette affirmation n’est-elle vraie ?
FAUX. Un lien statistique (corrélation) ne prouve jamais un lien de cause à effet. Il peut exister un facteur confondant (une troisième variable qui explique les deux).
Exemple classique : la consommation de glaces et les noyades augmentent en été. Ce n’est pas la glace qui provoque les noyades — c’est la chaleur qui augmente les deux.
Mini-test : « Les pays qui consomment plus de chocolat ont plus de prix Nobel. » On peut conclure que :
« Si 90 % des malades ont de la fièvre, alors une personne fiévreuse est très probablement malade. »
Cette affirmation n’est-elle vraie ?
FAUX. On confond \(f_{\text{malade}}(\text{fièvre})\) et \(f_{\text{fièvre}}(\text{malade})\). Si la maladie est rare (1 % de la population) mais que beaucoup de gens sains ont aussi parfois de la fièvre (grippe, fatigue…), la plupart des fiévreux ne seront pas malades de cette maladie.
C’est exactement le piège des faux positifs en médecine.
Mini-test : 95 % des fumeurs toussent. 30 % de la population tousse. On peut conclure que :
« Dans un tableau croisé, \(f_A(B)\) et \(f_B(A)\) représentent la même chose. »
Cette affirmation n’est-elle vraie ?
FAUX. \(f_A(B)\) = proportion de \(B\) parmi les \(A\). \(f_B(A)\) = proportion de \(A\) parmi les \(B\). Ce sont deux calculs différents !
Exemple : \(f_A(B) = \frac{n_{AB}}{n_A}\) (on divise par le total de la ligne \(A\)), tandis que \(f_B(A) = \frac{n_{AB}}{n_B}\) (on divise par le total de la colonne \(B\)).
Mini-test : 30 sportifs sur 50 garçons, et 50 garçons sur 120 sportifs. \(f_{\text{garçons}}(\text{sport})\) vaut :
« La somme de toutes les fréquences marginales d’une variable vaut toujours 1 (ou 100 %). »
Cette affirmation n’est-elle vraie ou fausse ?
C’est VRAI ! Les fréquences marginales d’une variable représentent les proportions de chaque modalité dans l’ensemble de la population. Comme les modalités forment une partition, leurs fréquences somment à 1.
Exemple : si 40 % des élèves sont en Seconde, 35 % en Première et 25 % en Terminale, on a bien \(0{,}40 + 0{,}35 + 0{,}25 = 1\).
Mini-test : dans un tableau croisé sexe/sport, les fréquences marginales du sexe sont : garçons 55 %, filles 45 %. Est-ce cohérent ?