Seconde — Nouveau programme (BO 2026) · Math@mine
Deux classes de seconde passent le même contrôle. La classe A obtient une moyenne de 12/20 et la classe B aussi. Pourtant, en regardant les copies, on constate que les résultats sont tres differents.
Carl Friedrich Gauss (1777–1855), mathematicien allemand surnomme le « prince des mathematiciens », a etudie la distribution des erreurs de mesure en astronomie. Il a montre que ces erreurs suivent une courbe en forme de cloche, aujourd’hui appelee courbe de Gauss ou loi normale.
L’écart type, note \(\sigma\), est le parametre central de cette courbe : il mesure la largeur de la cloche. Plus l’écart type est petit, plus les valeurs sont concentrees autour de la moyenne.
Classe A : notes 11, 12, 12, 12, 13. Classe B : notes 2, 8, 12, 16, 22.
Les deux classes ont la même moyenne (12). Laquelle a les résultats les plus homogenes ?
| Note \(x_i\) | 8 | 10 | 12 | 15 | 18 |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif \(n_i\) | 3 | 5 | 8 | 6 | 3 |
\(N = 25\). Moyenne : \(\bar{x} = \frac{3 \times 8 + 5 \times 10 + 8 \times 12 + 6 \times 15 + 3 \times 18}{25} = \frac{304}{25} = 12{,}16\)
\(\overline{ax + b} = \frac{1}{N}\sum n_i(ax_i + b) = \frac{1}{N}\left(a\sum n_i x_i + b\sum n_i\right) = a \cdot \frac{\sum n_i x_i}{N} + b \cdot \frac{N}{N} = a\bar{x} + b\). \(\square\)
La moyenne des notes est \(\bar{x} = 12{,}16\). Le professeur decide d’ajouter 2 points a chaque note.
Nouvelle moyenne : \(\bar{x} + 2 = 14{,}16\).
S’il multiplie chaque note par 1,5 : nouvelle moyenne : \(1{,}5 \times 12{,}16 = 18{,}24\).
La somme totale des valeurs du premier groupe est \(n_1 \bar{x}_1\) et celle du second est \(n_2 \bar{x}_2\).
La moyenne de l’ensemble est \(\bar{x} = \frac{n_1 \bar{x}_1 + n_2 \bar{x}_2}{n_1 + n_2}\) (somme totale divisee par l’effectif total). \(\square\)
Ajouter une valeur supérieure à la moyenne fait augmenter la moyenne. Supprimer une valeur supérieure à la moyenne fait diminuer la moyenne.
Les 5 valeurs clés d’une série : minimum, \(Q_1\) (25 %), médiane (50 %), \(Q_3\) (75 %), maximum. La boîte contient la moitié centrale des données.
Formule utile pour des calculs plus rapides, démontrée en Première Spé Maths.
La variance se calcule aussi par : \[V = \left(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{p} n_i x_i^2\right) - \bar{x}^2.\] Cette formule est souvent plus rapide pour les calculs à la main : on évite de calculer tous les écarts \((x_i - \bar{x})\).On développé le carré \((x_i - \bar{x})^2 = x_i^2 - 2\bar{x}\,x_i + \bar{x}^2\) dans la définition :
\(V = \dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^{p} n_i (x_i^2 - 2\bar{x}\,x_i + \bar{x}^2)\).
On separe en trois sommes :
\(V = \dfrac{1}{N}\sum n_i x_i^2 - \dfrac{2\bar{x}}{N}\sum n_i x_i + \dfrac{\bar{x}^2}{N}\sum n_i\).
Or \(\dfrac{1}{N}\sum n_i x_i = \bar{x}\) (définition de la moyenne) et \(\sum n_i = N\), donc :
\(V = \dfrac{1}{N}\sum n_i x_i^2 - 2\bar{x} \cdot \bar{x} + \dfrac{\bar{x}^2 \cdot N}{N} = \dfrac{1}{N}\sum n_i x_i^2 - 2\bar{x}^2 + \bar{x}^2 = \dfrac{1}{N}\sum n_i x_i^2 - \bar{x}^2\). \(\square\)
Serie : 4, 8, 10, 12, 16. Moyenne : \(\bar{x} = 10\).
Ecarts à la moyenne : \(-6, -2, 0, 2, 6\).
Carres des écarts : \(36, 4, 0, 4, 36\).
Variance : \(V = \frac{36+4+0+4+36}{5} = 16\).
Écart type : \(\sigma = \sqrt{16} = 4\).
Si on remplace chaque \(x_i\) par \(ax_i + b\), la nouvelle moyenne est \(a\bar{x} + b\) (linearite).
L’écart à la moyenne de \(ax_i + b\) est \((ax_i + b) - (a\bar{x} + b) = a(x_i - \bar{x})\).
La nouvelle variance est \(\frac{1}{N}\sum n_i [a(x_i - \bar{x})]^2 = a^2 \cdot \frac{1}{N}\sum n_i(x_i - \bar{x})^2 = a^2 V\).
Donc le nouvel écart type est \(\sqrt{a^2 V} = |a|\sigma\). \(\square\)
Pour des classes de même amplitude, la hauteur est proportionnelle à l’effectif.
Histogramme avec classes d’amplitudes inégales : la classe [170 ; 190[ contient 10 individus (comme [160 ; 170[), mais sur une amplitude double — sa hauteur est donc deux fois plus petite pour conserver la même aire. Règle : hauteur = effectif / amplitude.
On remplace chaque classe par son centre (milieu de l’intervalle), puis on calcule la moyenne ponderee :
\[\bar{x} \approx \frac{1}{N}\sum n_i c_i\]ou \(c_i\) est le centre de la classe \(i\).
On trace le polygone des fréquences cumulées en plaçant les points aux bornes supérieures des classes. La médiane se lit graphiquement à l’ordonnée 0,5 (ou 50 %).
On trace le polygone en reliant les points (borne supérieure de classe, fréquence cumulée). La médiane se lit en traçant l’horizontale à 50 % puis la verticale jusqu’à l’axe des x.
La « boîte » va de \(Q_1\) a \(Q_3\), un trait marque la médiane, et les « moustaches » vont du minimum a \(Q_1\) et de \(Q_3\) au maximum.
Pour comparer deux séries, on trace leurs boites a moustaches sur un même axe gradue.
Classe A : Min = 5, \(Q_1\) = 10, Me = 12, \(Q_3\) = 14, Max = 18. Écart interquartile = 4.
Classe B : Min = 2, \(Q_1\) = 7, Me = 12, \(Q_3\) = 17, Max = 20. Écart interquartile = 10.
Les deux classes ont la même médiane (12), mais la classe B est beaucoup plus dispersee (écart interquartile 10 contre 4).
On calcule les trois indicateurs à la main (sans bibliothèque externe) pour une petite série de notes :
from math import sqrt def moyenne(L): return sum(L) / len(L) def variance(L): m = moyenne(L) return sum((x - m) ** 2 for x in L) / len(L) def ecart_type(L): return sqrt(variance(L)) notes = [8, 12, 14, 9, 16, 11, 13, 10] print("Moyenne :", moyenne(notes)) # 11.625 print("Variance :", variance(notes)) # 6.48 print("Écart type:", ecart_type(notes)) # 2.55
Plus l’écart-type est grand, plus la série est dispersée autour de sa moyenne.
Pour approfondir, d'autres applets s'ouvrent en plein écran dans un nouvel onglet :
Banque complète (1245 applets) — voir le catalogue GeoGebra.
| Indicateur | Formule |
|---|---|
| Moyenne | \(\bar{x} = \frac{1}{N}\sum n_i x_i\) |
| Linearite | \(\overline{ax+b} = a\bar{x}+b\) |
| Variance | \(V = \frac{1}{N}\sum n_i(x_i - \bar{x})^2 = \overline{x^2} - \bar{x}^2\) |
| Écart type | \(\sigma = \sqrt{V}\) |
| Écart interquartile | \(Q_3 - Q_1\) |
La moyenne seule ne suffit pas : deux classes peuvent avoir la même moyenne mais des distributions très différentes. L’indicateur clé est l'écart type (section 4), qui mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne.
Exemple : supposons deux classes de 5 élèves avec une moyenne de 12/20.
Variance de A : \(\dfrac{(11-12)^2 + 0 + 0 + (13-12)^2 + 0}{5} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\), soit \(\sigma_A \approx 0{,}63\).
Variance de B : \(\dfrac{49 + 0 + 25 + 16 + 36}{5} = 25{,}2\), soit \(\sigma_B \approx 5{,}02\).
Interprétation : la classe A est très homogène (tous autour de 12), la classe B est très hétérogène (notes réparties entre 5 et 18). L’écart type permet de voir au premier coup d'œil cette différence que la moyenne ne révèle pas.
Classe A : écarts à la moyenne : \(-1, 0, 0, 0, 1\). Variance : \(\frac{1+0+0+0+1}{5} = 0{,}4\). Écart type : \(\sigma_A = \sqrt{0{,}4} \approx 0{,}63\).
Classe B : écarts à la moyenne : \(-10, -4, 0, 4, 10\). Variance : \(\frac{100+16+0+16+100}{5} = 46{,}4\). Écart type : \(\sigma_B = \sqrt{46{,}4} \approx 6{,}81\).
La classe A est beaucoup plus homogene (\(\sigma_A \approx 0{,}63\)) que la classe B (\(\sigma_B \approx 6{,}81\)).
Statistiques descriptives : teste d’abord ton intuition, puis lis l’explication.
« La médiane est toujours egale à la moyenne. »
Cette affirmation est-elle vraie ?
FAUX. La médiane et la moyenne ne coincident que si la distribution est parfaitement symétrique. Contre-exemple : la série 1, 1, 1, 1, 100 a pour médiane 1 et pour moyenne 20,8.
Mini-test : pour la série 1, 2, 3, 4, 100, la médiane vaut :
« L’écart type \(\sigma\) mesure la position centrale d’une série statistique. »
Cette affirmation est-elle vraie ?
FAUX. L’écart type \(\sigma\) mesure la dispersion (l’etalement) des données autour de la moyenne, pas leur centre. La moyenne et la médiane mesurent le centre.
Mini-test : deux séries ont la même moyenne \(\bar{x} = 10\). Celle avec \(\sigma = 5\) est :
« L’écart type peut valoir 0 sans que cela signifie quelque chose de particulier. »
Cette affirmation est-elle vraie ?
FAUX. \(\sigma = 0\) signifie que toutes les valeurs sont identiques (aucune dispersion). C’est un cas tres particulier.
En effet, \(\sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum(x_i - \bar{x})^2}\). Si \(\sigma = 0\), chaque \((x_i - \bar{x})^2 = 0\), donc \(x_i = \bar{x}\) pour tout \(i\).
Mini-test : l’écart type de la série 7, 7, 7, 7, 7 vaut :
« L’écart type se calcule en faisant la moyenne des \(|x_i - \bar{x}|\). »
Cette affirmation est-elle vraie ?
FAUX. L’écart type utilise les carrés des écarts, pas les valeurs absolues. La formule est :
\(\sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}\)
La moyenne des \(|x_i - \bar{x}|\) s’appelle l'écart absolu moyen, une autre mesure de dispersion (hors programme).
Mini-test : dans la formule de la variance, on élève les écarts :
« Ajouter 10 a toutes les valeurs multiplie la variance par 10. »
Cette affirmation est-elle vraie ?
FAUX. Ajouter une constante a toutes les valeurs ne change pas la variance ni l’écart type. Seule la moyenne augmente de 10. La dispersion reste identique car les écarts à la moyenne ne changent pas.
Mini-test : si on ajoute 5 a toutes les notes, l’écart type :
« Multiplier toutes les valeurs par \(k\) multiplie l’écart type par \(|k|\). »
Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?
C’est VRAI ! Si on multiplie toutes les valeurs par \(k\), la variance est multipliee par \(k^2\), donc l’écart type est multiplie par \(|k|\).
Mini-test : si l’écart type est 4 et qu’on double toutes les valeurs, le nouvel écart type est :