Ch13 – Statistiques descriptives – Exercices

🟢 Groupe 1 — Moyenne, médiane et quartiles ▾

1

Calculer la moyenne. Base

Les notes de maths d’un élève sur 5 contrôles sont : 8 ; 12 ; 15 ; 10 ; 14.

Calculer la moyenne de ces notes.
Si l’élève obtient 16 au prochain contrôle, quelle sera sa nouvelle moyenne ?

\(\bar{x} = \frac{8+12+15+10+14}{5} = \frac{59}{5} = 11{,}8\).
\(\bar{x}_{\text{nouveau}} = \frac{59+16}{6} = \frac{75}{6} = 12{,}5\).

2

Moyenne pondérée. Base

Les résultats d’un devoir noté sur 20 dans une classe de 30 élèves sont :

Note	6	9	12	15	18
Effectif	4	7	10	6	3

Vérifier que la somme des effectifs est bien 30.
Calculer la moyenne.

\(4+7+10+6+3 = 30\). ✓
\(\bar{x} = \frac{4\times6 + 7\times9 + 10\times12 + 6\times15 + 3\times18}{30} = \frac{24+63+120+90+54}{30} = \frac{351}{30} = 11{,}7\).

3

Médiane et quartiles. Base

Série ordonnée : 3 ; 5 ; 7 ; 8 ; 9 ; 11 ; 13 ; 14 ; 16 ; 20.

Déterminer la médiane \(M\).
Déterminer \(Q_1\) et \(Q_3\).
Calculer l’étendue et l’écart interquartile.

\(n = 10\) valeurs. Médiane = moyenne des 5ème et 6ème valeurs : \(M = \frac{9+11}{2} = 10\).
Partie basse : 3 ; 5 ; 7 ; 8 ; 9. \(Q_1 = 7\) (médiane des 5 premières valeurs). Partie haute : 11 ; 13 ; 14 ; 16 ; 20. \(Q_3 = 14\).
Étendue : \(20 - 3 = 17\). Écart interquartile : \(Q_3 - Q_1 = 14 - 7 = 7\).

4

Médiane à partir d’un tableau. Intermédiaire

Résultats d’un test sur 25 élèves :

Note	4	7	10	13	16	19
Effectif	2	5	8	6	3	1

Construire le tableau des effectifs cumulés croissants.
En déduire la médiane.
Calculer la moyenne et comparer avec la médiane.

Effectifs cumulés : 2 ; 7 ; 15 ; 21 ; 24 ; 25.
\(n = 25\) impair, la médiane est la 13ème valeur. Les 7 premières valeurs sont ≤ 7, les 15 premières sont ≤ 10. Donc la 13ème valeur est 10. \(M = 10\).
\(\bar{x} = \frac{2\times4 + 5\times7 + 8\times10 + 6\times13 + 3\times16 + 1\times19}{25} = \frac{8+35+80+78+48+19}{25} = \frac{268}{25} = 10{,}72\).

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🔵 Groupe 2 — Variance, écart-type et dispersion ▾

5

Calculer la variance et l’écart-type. Base

Série : 4 ; 6 ; 7 ; 9 ; 9 ; 11.

Calculer la moyenne \(\bar{x}\).
Calculer la variance \(V\) par la définition.
En déduire l’écart-type \(\sigma\).

\(\bar{x} = \frac{4+6+7+9+9+11}{6} = \frac{46}{6} \approx 7{,}67\). Exactement : \(\bar{x} = \frac{23}{3}\).
\(V = \frac{(4-\frac{23}{3})^2 + (6-\frac{23}{3})^2 + (7-\frac{23}{3})^2 + (9-\frac{23}{3})^2 + (9-\frac{23}{3})^2 + (11-\frac{23}{3})^2}{6}\). On obtient \(V = \frac{(-11/3)^2+(-5/3)^2+(-2/3)^2+(4/3)^2+(4/3)^2+(10/3)^2}{6} = \frac{121+25+4+16+16+100}{9\times6} = \frac{282}{54} = \frac{47}{9} \approx 5{,}22\).
\(\sigma = \sqrt{V} = \sqrt{\frac{47}{9}} = \frac{\sqrt{47}}{3} \approx 2{,}28\).

6

Formule de König-Huygens. Approfondissement

⭐ La formule \(V = \overline{x^2} - \bar{x}^2\) n’est pas exigée au programme Seconde 2026 ; elle sera démontrée et utilisée en Première Spé Maths. Exercice proposé en bonus.

Série : 2 ; 5 ; 5 ; 8 ; 10.

Calculer \(\bar{x}\) et \(\overline{x^2}\) (moyenne des carrés).
En déduire la variance par la formule \(V = \overline{x^2} - \bar{x}^2\).
Calculer \(\sigma\) et interpréter.

\(\bar{x} = \frac{2+5+5+8+10}{5} = \frac{30}{5} = 6\). \(\overline{x^2} = \frac{4+25+25+64+100}{5} = \frac{218}{5} = 43{,}6\).
\(V = 43{,}6 - 6^2 = 43{,}6 - 36 = 7{,}6\).
\(\sigma = \sqrt{7{,}6} \approx 2{,}76\). Les valeurs s’écartent en moyenne de 2,76 de la moyenne 6.

7

Comparer deux séries. Intermédiaire

Deux équipes de foot ont marqué les buts suivants sur 6 matchs :

Équipe A : 1 ; 1 ; 2 ; 2 ; 3 ; 3
Équipe B : 0 ; 0 ; 1 ; 3 ; 3 ; 5

Calculer la moyenne de chaque équipe.
Calculer l’écart-type de chaque équipe.
Laquelle est la plus régulière ? Justifier.

Équipe A : \(\bar{x}_A = \frac{1+1+2+2+3+3}{6} = \frac{12}{6} = 2\). Équipe B : \(\bar{x}_B = \frac{0+0+1+3+3+5}{6} = \frac{12}{6} = 2\). Même moyenne !
Équipe A : \(V_A = \frac{1+1+0+0+1+1}{6} = \frac{4}{6} \approx 0{,}67\), \(\sigma_A \approx 0{,}82\). Équipe B : \(V_B = \frac{4+4+1+1+1+9}{6} = \frac{20}{6} \approx 3{,}33\), \(\sigma_B \approx 1{,}83\).
L’équipe A est plus régulière : \(\sigma_A < \sigma_B\), ses résultats sont moins dispersés autour de la moyenne.

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🟣 Groupe 3 — Représentations graphiques ▾

8

Histogramme et fréquences. Base

Les tailles (en cm) de 40 élèves sont réparties en classes :

Classe	[150 ; 155[	[155 ; 160[	[160 ; 165[	[165 ; 170[	[170 ; 180[
Effectif	4	9	14	8	5

Calculer la fréquence (en %) de chaque classe.
Pour construire un histogramme, quelle grandeur représente-t-on en ordonnée pour la classe [170 ; 180[ ? (les classes n’ont pas toutes la même largeur)
Comparer la classe modale et la classe la plus large en termes de densité.

10% ; 22,5% ; 35% ; 20% ; 12,5%.
En histogramme, on représente la densité = fréquence ÷ largeur de classe. Pour [170 ; 180[ : densité = \(\frac{12{,}5\%}{10} = 1{,}25\%\) par cm. Pour [160 ; 165[ : densité = \(\frac{35\%}{5} = 7\%\) par cm.
Bien que [170 ; 180[ ait 5 élèves, sa densité est très faible (1,25% par cm). La classe modale (la plus haute barre) est [160 ; 165[.

9

Boîte à moustaches. Intermédiaire

Série de 20 valeurs ordonnées (résultats d’un sprint en secondes) :

11,2 ; 11,5 ; 11,7 ; 11,8 ; 11,9 ; 12,0 ; 12,1 ; 12,2 ; 12,3 ; 12,4 ; 12,6 ; 12,8 ; 13,0 ; 13,1 ; 13,2 ; 13,5 ; 13,6 ; 14,0 ; 14,2 ; 15,1

Déterminer \(\min\), \(Q_1\), \(M\), \(Q_3\), \(\max\).
Calculer l’écart interquartile.
Décrire ce que représenterait la boîte à moustaches : où se situe la moitié centrale des données ?

\(n = 20\). Min = 11,2 ; Max = 15,1. Médiane = moyenne des 10ème et 11ème : \(M = \frac{12{,}4+12{,}6}{2} = 12{,}5\). \(Q_1\) = médiane des 10 premières = \(\frac{11{,}9+12{,}0}{2} = 11{,}95\). \(Q_3\) = médiane des 10 dernières = \(\frac{13{,}5+13{,}6}{2} = 13{,}55\).
\(\text{EIQ} = Q_3 - Q_1 = 13{,}55 - 11{,}95 = 1{,}6\) s.
La moitié centrale des élèves a des temps entre 11,95 s et 13,55 s. La moustache droite est longue (jusqu’à 15,1 s), signe d’une valeur extrême.

10

Courbe des fréquences cumulées. Intermédiaire

Résultats d’un QCM noté sur 10 pour 50 élèves :

Note	2	4	5	6	7	8	9	10
Effectif	2	5	8	11	12	7	4	1

Construire le tableau des fréquences cumulées croissantes (en %).
Quel est le pourcentage d’élèves ayant obtenu une note inférieure ou égale à 6 ?
En lisant la courbe des fréquences cumulées, estimer la médiane.

Effectifs cumulés : 2 ; 7 ; 15 ; 26 ; 38 ; 45 ; 49 ; 50. Fréquences cumulées (%) : 4% ; 14% ; 30% ; 52% ; 76% ; 90% ; 98% ; 100%.
52% des élèves ont obtenu une note ≤ 6.
La médiane correspond à 50%. D’après le tableau, 30% des élèves ont ≤ 5 et 52% ont ≤ 6. La médiane est donc 6 (la 25ème valeur, comme la 26ème, est une note de 6).

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🔴 Groupe 4 — Problèmes contextualisés ▾

11

Températures. Intermédiaire

Températures maximales relevées en juillet dans deux villes (en °C) :

Ville A : 28 ; 30 ; 31 ; 29 ; 32 ; 30 ; 28 ; 29 ; 31 ; 30
Ville B : 22 ; 35 ; 24 ; 38 ; 21 ; 36 ; 23 ; 37 ; 25 ; 39

Calculer la moyenne et l’écart-type de chaque ville (on pourra utiliser la calculatrice).
Laquelle des deux villes a un climat estival plus stable ?
Dans quelle ville préfèrerait-on planifier une fête en plein air ? Justifier.

Ville A : \(\bar{x}_A = 29{,}8\)°C, \(\sigma_A \approx 1{,}17\)°C. Ville B : \(\bar{x}_B = 30\)°C, \(\sigma_B \approx 6{,}72\)°C.
La ville A a un climat bien plus stable (\(\sigma\) très faible). La ville B oscille fortement entre 21°C et 39°C.
On préférerait la ville A pour sa prévisibilité : les températures restent proches de 30°C tous les jours.

12

Salaires et moyenne trompeuse. Approfondissement

Une petite entreprise compte 10 salariés. Leurs salaires mensuels nets (en €) sont :

1 400 ; 1 500 ; 1 500 ; 1 600 ; 1 700 ; 1 700 ; 1 800 ; 2 000 ; 2 200 ; 12 000

Calculer la moyenne des salaires.
Calculer la médiane des salaires.
Lequel de ces deux indicateurs représente mieux le salaire « typique » d’un salarié ? Pourquoi ?
Calculer l’écart-type. Que montre-t-il ici ?

\(\bar{x} = \frac{1400+1500+1500+1600+1700+1700+1800+2000+2200+12000}{10} = \frac{27400}{10} = 2740\) €.
\(n = 10\) paire. Médiane = \(\frac{1700+1700}{2} = 1700\) €.
La médiane (1 700 €) représente bien mieux le salaire typique. La moyenne (2 740 €) est fortement tirée vers le haut par le salaire exceptionnel de 12 000 € : 9 employés sur 10 gagnent moins que la moyenne !
\(\overline{x^2} = \frac{1400^2+\ldots+12000^2}{10} = \frac{179\,640\,000}{10} = 17\,964\,000\). \(V = 17\,964\,000 - 2740^2 = 17\,964\,000 - 7\,507\,600 = 10\,456\,400\). \(\sigma \approx 3233\) €. Ce grand écart-type confirme la forte disparité des salaires.

13

Analyse complète d’une série. Approfondissement

Un professeur relève les résultats d’un test (sur 20) dans deux classes de 15 élèves :

Classe 1 : 8 ; 9 ; 10 ; 10 ; 11 ; 12 ; 12 ; 12 ; 12 ; 13 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 ; 17
Classe 2 : 2 ; 4 ; 5 ; 8 ; 9 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 ; 17 ; 18 ; 19 ; 20

Calculer la moyenne et la médiane de chaque classe.
Déterminer \(Q_1\), \(Q_3\) et l’EIQ pour chaque classe.
Calculer l’étendue de chaque classe. Que remarque-t-on ?
Quelle classe a les résultats les plus homogènes ? Justifier à l’aide des indicateurs.

Classe 1 : \(\bar{x}_1 = \frac{184}{15} \approx 12{,}27\), médiane = 12 (8^e valeur). Classe 2 : \(\bar{x}_2 = \frac{183}{15} = 12{,}2\), médiane = 13 (8^e valeur).
Pour \(n=15\) : \(Q_1\) est la 4^e valeur (\(\lceil 15/4 \rceil = 4\)) et \(Q_3\) la 12^e (\(\lceil 3\times 15/4 \rceil = 12\)). Classe 1 : \(Q_1 = 10\), \(Q_3 = 14\), \(\text{EIQ} = 4\). Classe 2 : \(Q_1 = 8\), \(Q_3 = 17\), \(\text{EIQ} = 9\).
Étendue classe 1 = \(17 - 8 = 9\). Étendue classe 2 = \(20 - 2 = 18\). La classe 2 a une étendue double.
La classe 1 est plus homogène : \(\text{EIQ} = 4\) contre \(9\), étendue = \(9\) contre \(18\). Les élèves de la classe 1 ont des niveaux proches, alors que la classe 2 comprend à la fois des élèves très faibles et très forts.

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🟠 Groupe 5 — Approfondissement & WIMS ▾

14

Notes manquantes. Approfondissement

Adèle a passé 5 contrôles. On connaît 4 notes : 13 ; 11 ; 15 ; 10. Sa moyenne est 12.

Trouver la 5ème note.
Si la 5ème note avait été 18, quelle aurait été la médiane ?

Somme totale = \(12 \times 5 = 60\). Somme connue = \(13+11+15+10 = 49\). Note manquante = \(60 - 49 = 11\).
Si 5ème note = 18, série ordonnée : 10 ; 11 ; 13 ; 15 ; 18. Médiane = 3ème valeur = 13.

W

Exercices interactifs sur les statistiques descriptives : calcul de moyenne, médiane, quartiles et écart-type.

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Chapitre 13 — Statistique descriptive et écart type · Exercices