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Chapitre 10 — Fonctions de référence · Exercices

Seconde 2026 — Mathématiques générales · Math@mine

📖 Cours ✏️ Exercices
🟢 Groupe 1 — Images et antécédents ▾
1

Calcul d’images. Base

Pour chaque fonction, calculer l’image demandée.

  1. \(f(x)=x^2\) : calculer \(f(3)\), \(f(-5)\), \(f(\sqrt{2})\).
  2. \(g(x)=\sqrt{x}\) : calculer \(g(0)\), \(g(49)\), \(g(0{,}25)\).
  3. \(h(x)=x^3\) : calculer \(h(2)\), \(h(-3)\), \(h(1/2)\).
  4. \(k(x)=1/x\) : calculer \(k(4)\), \(k(-0{,}5)\), \(k(100)\).
1. \(f(3)=9\) ; \(f(-5)=25\) ; \(f(\sqrt{2})=2\).
2. \(g(0)=0\) ; \(g(49)=7\) ; \(g(0{,}25)=0{,}5\).
3. \(h(2)=8\) ; \(h(-3)=-27\) ; \(h(1/2)=1/8\).
4. \(k(4)=0{,}25\) ; \(k(-0{,}5)=-2\) ; \(k(100)=0{,}01\).
2

Antécédents. Base

Résoudre chaque équation.

  1. \(x^2 = 16\)
  2. \(\sqrt{x} = 5\)
  3. \(x^3 = -8\)
  4. \(\dfrac{1}{x} = 3\)
  5. \(x^2 = 7\)
1. \(x = 4\) ou \(x = -4\).
2. \(x = 25\) (on élève au carré, \(\sqrt{x}\geq 0\) donc unique solution).
3. \(x = -2\).
4. \(x = 1/3\).
5. \(x = \sqrt{7}\) ou \(x = -\sqrt{7}\).
3

Domaine de définition. Base

Pour chaque expression, donner le domaine de définition.

  1. \(f(x) = \sqrt{x - 3}\)
  2. \(g(x) = \dfrac{1}{x+2}\)
  3. \(h(x) = \sqrt{2x+1}\)
  4. \(k(x) = \dfrac{1}{x^2 - 4}\)
1. \(x-3\geq 0 \Rightarrow x\geq 3\). Domaine : \([3\,;\,+\infty[\).
2. \(x+2\neq 0 \Rightarrow x\neq -2\). Domaine : \(\mathbb{R}\setminus\{-2\}\).
3. \(2x+1\geq 0 \Rightarrow x\geq -1/2\). Domaine : \([-1/2\,;\,+\infty[\).
4. \(x^2-4\neq 0 \Rightarrow x\neq 2\) et \(x\neq -2\). Domaine : \(\mathbb{R}\setminus\{-2\,;\,2\}\).
🔵 Groupe 2 — Variations et comparaisons ▾
4

Comparer sans calculatrice. Base

Comparer chaque paire de valeurs en justifiant par les variations.

  1. \(\sqrt{11}\) et \(\sqrt{15}\)
  2. \((-3)^3\) et \((-2)^3\)
  3. \(\dfrac{1}{8}\) et \(\dfrac{1}{5}\)
  4. \((-4)^2\) et \(3^2\)
1. \(\sqrt{\cdot}\) croissante, \(11<15\) donc \(\sqrt{11}<\sqrt{15}\).
2. \(x^3\) croissante, \(-3<-2\) donc \((-3)^3<(-2)^3\), i.e. \(-27<-8\). ✓
3. \(1/x\) décroissante sur \(]0;+\infty[\), \(5<8\) donc \(1/5>1/8\).
4. \((-4)^2=16\) et \(3^2=9\). \(16>9\). (Attention : \(-4<3\) mais \(x^2\) n’est pas croissante sur \(\mathbb{R}\) entier !)
5

Inéquations avec fonctions de référence. Intermédiaire

Résoudre chaque inéquation.

  1. \(x^2 \leq 9\)
  2. \(\sqrt{x} \geq 3\)
  3. \(\dfrac{1}{x} > 2\) (pour \(x > 0\))
  4. \(x^3 < 27\)
1. \(x^2\leq 9 \Leftrightarrow -3\leq x\leq 3\). \(\mathcal{S}=[-3\,;\,3]\).
2. \(\sqrt{x}\geq 3\) ; comme \(\sqrt{\cdot}\) est croissante : \(x\geq 9\). \(\mathcal{S}=[9\,;\,+\infty[\).
3. Pour \(x>0\) : \(1/x>2 \Leftrightarrow 1>2x \Leftrightarrow x<1/2\). Avec \(x>0\) : \(\mathcal{S}=]0\,;\,1/2[\).
4. \(x^3<27=3^3\) ; \(x^3\) strictement croissante donc \(x<3\). \(\mathcal{S}=]-\infty\,;\,3[\).
🟣 Groupe 3 — Parité des fonctions ▾
6

Reconnaître parité et imparité. Base

Pour chaque fonction définie sur \(\mathbb{R}\), déterminer si elle est paire, impaire ou ni l’un ni l’autre.

  1. \(f(x) = x^4\)
  2. \(g(x) = x^3 + x\)
  3. \(h(x) = x^2 + x\)
  4. \(k(x) = |x|\)
1. \(f(-x)=(-x)^4=x^4=f(x)\). Paire.
2. \(g(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-g(x)\). Impaire.
3. \(h(-x)=(-x)^2+(-x)=x^2-x\). Ce n’est ni \(h(x)=x^2+x\) ni \(-h(x)=-(x^2+x)\). Ni paire ni impaire.
4. \(k(-x)=|-x|=|x|=k(x)\). Paire.
7

Exploiter la parité sur un graphe. Intermédiaire

Une fonction \(f\) est paire et on sait que : \(f(1) = 3\), \(f(2) = -1\), \(f(3) = 0\).

  1. Donner \(f(-1)\), \(f(-2)\), \(f(-3)\).
  2. Résoudre \(f(x) = 0\) en utilisant la parité.
  3. Résoudre \(f(x) = 3\) en utilisant la parité.
1. Par parité : \(f(-1)=f(1)=3\), \(f(-2)=f(2)=-1\), \(f(-3)=f(3)=0\).
2. \(f(3)=0\) et \(f(-3)=0\). Solutions : \(x=3\) et \(x=-3\).
3. \(f(1)=3\) et \(f(-1)=3\). Solutions : \(x=1\) et \(x=-1\).
🔴 Groupe 4 — Applications concrètes ▾
8

Énergie cinétique. Intermédiaire

L’énergie cinétique d’un objet de masse \(m\) se déplaçant à vitesse \(v\) est \(E_c = \frac{1}{2}mv^2\).

Un vélo et son cycliste pèsent 85 kg.

  1. Calculer \(E_c\) à 10 km/h, 20 km/h et 30 km/h (convertir en m/s).
  2. Quand la vitesse double, par quel facteur l’énergie est-elle multipliée ?
  3. À quelle vitesse l’énergie cinétique est-elle égale à 1 000 J ?
Conversions : 10 km/h = 2,78 m/s ; 20 km/h = 5,56 m/s ; 30 km/h = 8,33 m/s.
1. \(E_c(10) = \frac{1}{2}\times85\times(2{,}78)^2\approx328\) J ;
\(E_c(20)\approx\frac{1}{2}\times85\times30{,}9\approx1313\) J ;
\(E_c(30)\approx\frac{1}{2}\times85\times69{,}4\approx2949\) J.
2. La vitesse double → \(v^2\) est multiplié par 4 → l’énergie est multipliée par 4.
3. \(\frac{1}{2}\times85\times v^2=1000 \Rightarrow v^2=\frac{2000}{85}\approx23{,}5 \Rightarrow v\approx4{,}85\) m/s ≈ 17,5 km/h.
9

Loi de Boyle-Mariotte (gaz). Intermédiaire

Pour un gaz parfait à température constante : \(P \times V = k\) (constante). Autrement dit, \(P = k/V\) — la pression est une fonction inverse du volume.

Pour un gaz, \(k = 600\) (en unités cohérentes).

  1. Calculer \(P\) pour \(V = 2\), \(V = 4\), \(V = 10\).
  2. Si on double le volume, que devient la pression ?
  3. Pour quelle valeur de \(V\) la pression est-elle de 75 ?
1. \(P(2)=300\), \(P(4)=150\), \(P(10)=60\).
2. Si \(V\to 2V\) : \(P=k/(2V)=P_0/2\). La pression est divisée par 2.
3. \(600/V=75 \Rightarrow V=8\).
🟡 Groupe 5 — Approfondissement ▾
10

Encadrement de racine carrée. Approfondissement

  1. Encadrer \(\sqrt{20}\) entre deux entiers consécutifs.
  2. En déduire un encadrement au dixième : montrer que \(4{,}4 \leq \sqrt{20} \leq 4{,}5\).
  3. Calculer \(\sqrt{20}\) en forme simplifiée (\(a\sqrt{b}\)).
1. \(4^2=16\leq20\leq25=5^2\) donc \(4\leq\sqrt{20}\leq5\).
2. \(4{,}4^2=19{,}36\leq20\) et \(4{,}5^2=20{,}25\geq20\) donc \(4{,}4\leq\sqrt{20}\leq4{,}5\). ✓
3. \(\sqrt{20}=\sqrt{4\times5}=\sqrt{4}\times\sqrt{5}=2\sqrt{5}\).
11

Composition de fonctions de référence. Approfondissement

  1. Calculer \(\sqrt{x^2}\) pour \(x = 3\) et \(x = -5\). Que constate-t-on ?
  2. Démontrer que \(\sqrt{x^2} = |x|\) pour tout réel \(x\).
  3. Simplifier \(\sqrt{(x-2)^2}\) selon que \(x \geq 2\) ou \(x < 2\).
1. \(\sqrt{3^2}=\sqrt{9}=3=|3|\) ; \(\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5=|-5|\). On trouve \(|x|\), pas \(x\).
2. \(x^2\geq 0\) donc \(\sqrt{x^2}\) est bien défini. \(\sqrt{x^2}\geq 0\) et \((\sqrt{x^2})^2=x^2=(|x|)^2\). Comme \(\sqrt{x^2}\geq 0\) et \(|x|\geq 0\), on a \(\sqrt{x^2}=|x|\). ✓
3. Si \(x\geq2\) : \((x-2)\geq0\) donc \(\sqrt{(x-2)^2}=|x-2|=x-2\).
Si \(x<2\) : \((x-2)<0\) donc \(\sqrt{(x-2)^2}=|x-2|=-(x-2)=2-x\).
12

La méthode babylonienne pour \(\sqrt{2}\). Approfondissement

Les Babyloniens calculaient \(\sqrt{a}\) par la suite : \(u_0 = 1\), \(u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left(u_n + \dfrac{a}{u_n}\right)\).

  1. Calculer \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\) pour \(a = 2\) (arrondir à \(10^{-6}\)).
  2. Comparer \(u_3\) à \(\sqrt{2} \approx 1{,}41421356\).
  3. Pourquoi cette méthode converge-t-elle vers \(\sqrt{a}\) ?
1. \(u_0=1\).
\(u_1=\frac{1}{2}(1+2/1)=1{,}5\).
\(u_2=\frac{1}{2}(1{,}5+2/1{,}5)=\frac{1}{2}(1{,}5+1{,}\overline{3})=1{,}41\overline{6}\approx1{,}416667\).
\(u_3=\frac{1}{2}(1{,}416667+2/1{,}416667)\approx\frac{1}{2}(1{,}416667+1{,}411765)\approx1{,}414216\).
2. \(u_3 = \frac{577}{408} \approx 1{,}414216\) vs \(\sqrt{2}\approx 1{,}414214\). Erreur \(\approx 2{,}1 \times 10^{-6}\) à la 3e itération. Convergence quadratique : chaque itération double approximativement le nombre de décimales exactes (\(u_4\) atteint déjà \(10^{-12}\)).
3. Si la suite converge vers une limite \(L\) : \(L=\frac{1}{2}(L+a/L) \Rightarrow 2L=L+a/L \Rightarrow L^2=a \Rightarrow L=\sqrt{a}\).
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