Exercices — Produit scalaire — Première spécialité

1

Produit scalaire — formule avec le cosinus

⭐ Facile

Dans chaque cas, calculer \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) à l’aide de la formule \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta\).

1. \(\|\vec{u}\| = 3\), \(\|\vec{v}\| = 4\), \(\theta = 60°\)

2. \(\|\vec{u}\| = 5\), \(\|\vec{v}\| = 2\), \(\theta = 90°\)

3. \(\|\vec{u}\| = 6\), \(\|\vec{v}\| = 3\), \(\theta = 120°\)

4. \(\|\vec{u}\| = \sqrt{2}\), \(\|\vec{v}\| = \sqrt{2}\), \(\theta = 45°\)

Correction

1. \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 4 \times \cos 60° = 12 \times \frac{1}{2} = 6\)

2. \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 5 \times 2 \times \cos 90° = 10 \times 0 = 0\) — vecteurs orthogonaux

3. \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 6 \times 3 \times \cos 120° = 18 \times (-\frac{1}{2}) = -9\)

4. \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \sqrt{2} \times \sqrt{2} \times \cos 45° = 2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\)

2

Produit scalaire — formule avec les coordonnées

⭐ Facile

Dans un repère orthonormé, calculer \(\vec{u} \cdot \vec{v}\), \(\|\vec{u}\|\) et \(\|\vec{v}\|\).

1. \(\vec{u} = (2 ; 3)\) et \(\vec{v} = (1 ; -2)\)

2. \(\vec{u} = (-1 ; 4)\) et \(\vec{v} = (4 ; 1)\)

3. \(\vec{u} = (3 ; -5)\) et \(\vec{v} = (5 ; 3)\)

4. \(A(1;2)\), \(B(4;6)\), \(C(-1;5)\). Calculer \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\).

Correction

1. \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times 1 + 3 \times (-2) = 2 - 6 = -4\). \(\|\vec{u}\| = \sqrt{13}\), \(\|\vec{v}\| = \sqrt{5}\).

2. \(\vec{u} \cdot \vec{v} = (-1) \times 4 + 4 \times 1 = -4 + 4 = 0\) → vecteurs orthogonaux.

3. \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 5 + (-5) \times 3 = 15 - 15 = 0\) → vecteurs orthogonaux.

4. \(\overrightarrow{AB} = (3;4)\), \(\overrightarrow{AC} = (-2;3)\). \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = -6 + 12 = 6\).

3

Produit scalaire — formule avec les normes

⭐ Facile

Utiliser la formule \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \dfrac{\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2}{2}\).

1. \(\|\vec{u}\| = 3\), \(\|\vec{v}\| = 4\), \(\|\vec{u}+\vec{v}\| = 5\). Calculer \(\vec{u} \cdot \vec{v}\).

2. Dans un triangle \(ABC\) avec \(AB = 5\), \(BC = 4\), \(AC = 6\). Calculer \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\).

3. \(\|\vec{u}\| = 2\), \(\|\vec{v}\| = 3\), \(\|\vec{u}-\vec{v}\| = \sqrt{7}\). Calculer \(\vec{u} \cdot \vec{v}\).

Correction

1. \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \dfrac{25 - 9 - 16}{2} = \dfrac{0}{2} = 0\) → vecteurs orthogonaux (triangle rectangle !).

2. \(\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}\) donc \(BC^2 = \|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}\|^2 = AB^2 - 2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} + AC^2\).
\(16 = 25 - 2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} + 36\) → \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = \dfrac{25+36-16}{2} = \dfrac{45}{2}\).

3. \(\|\vec{u}-\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 - 2\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2\) → \(7 = 4 - 2\vec{u}\cdot\vec{v} + 9\) → \(\vec{u}\cdot\vec{v} = 3\).

4

Produit scalaire — formule par projection

⭐ Facile

Dans chaque cas, calculer \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\) par projection, en choisissant la projection la plus simple.

1. Triangle rectangle en C avec \(AB = 10\), \(BC = 6\), \(AC = 8\). Projeter B sur (AC).

2. Triangle \(ABC\) avec \(\widehat{BAC} = 60°\), \(AB = 4\), \(AC = 5\). Projeter B sur (AC).

3. Triangle \(ABC\) avec \(\widehat{BAC} = 120°\), \(AB = 3\), \(AC = 4\). Projeter B sur (AC).

Correction

1. On projette B sur (AC). Le triangle est rectangle en C, donc H = C et \(AH = AC = 8\).
\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AC \times AH = 8 \times 8 = 64\).
Vérification : \(\cos\hat{A} = AC/AB = 8/10\) → \(10 \times 8 \times 0{,}8 = 64\). ✓

2. On projette B sur (AC). \(AH = AB \times \cos 60° = 4 \times \frac{1}{2} = 2\).
\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AC \times AH = 5 \times 2 = 10\). ✓

3. Angle obtus : on projette B sur (AC). \(AH = AB \times \cos 60° = 3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\), H hors de [AC].
\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = -AC \times AH = -4 \times \frac{3}{2} = -6\).
Vérification : \(3 \times 4 \times \cos 120° = 12 \times (-\frac{1}{2}) = -6\). ✓

5

Démontrer une orthogonalité

⭐ Facile

Dans un repère orthonormé :

1. \(A(1;2)\), \(B(4;-1)\), \(C(3;4)\). Montrer que \((AB) \perp (AC)\).

2. \(A(0;0)\), \(B(4;2)\), \(C(1;-2)\). Montrer que le triangle \(ABC\) est rectangle. En quel sommet ?

3. \(A(1;3)\), \(B(5;1)\), \(C(3;7)\). Montrer que \((AB)\) porte une hauteur du triangle \(ABC\) (préciser laquelle).

Correction

1. \(\overrightarrow{AB}=(3;-3)\), \(\overrightarrow{AC}=(2;2)\).
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 6-6=0\) → \((AB) \perp (AC)\). ✓

2. \(\overrightarrow{AB}=(4;2)\), \(\overrightarrow{AC}=(1;-2)\), \(\overrightarrow{BC}=(-3;-4)\).
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 4-4=0\) → rectangle en A. ✓

3. \(\overrightarrow{AB}=(4;-2)\), \(\overrightarrow{AC}=(2;4)\). \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 8-8 = 0\), donc \((AB) \perp (AC)\). La droite \((AB)\) passe par \(A\) et est perpendiculaire au côté opposé \((AC)\) : c'est la hauteur issue de \(A\). Le triangle est rectangle en \(A\), ce qui explique que la hauteur issue de \(A\) coïncide avec un côté.

6

Calculer un angle

⭐⭐ Moyen

1. \(A(2;0)\), \(B(5;4)\), \(C(0;3)\). Calculer l’angle \(\widehat{BAC}\).

2. Dans un triangle \(ABC\) avec \(AB=7\), \(AC=5\), \(BC=6\). Calculer les trois angles du triangle.

3. \(\vec{u}=(1;\sqrt{3})\) et \(\vec{v}=(\sqrt{3};-1)\). Calculer l’angle entre \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).

Python — Vérification des angles

Correction

1. \(\overrightarrow{AB}=(3;4)\), \(\overrightarrow{AC}=(-2;3)\).
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = -6+12=6\). \(\|\overrightarrow{AB}\|=5\), \(\|\overrightarrow{AC}\|=\sqrt{13}\).
\(\cos(\widehat{BAC}) = \dfrac{6}{5\sqrt{13}}\). \(\widehat{BAC} \approx 70{,}6°\).

2. Al-Kashi : \(\cos A = \dfrac{49+25-36}{70} = \dfrac{38}{70} = \dfrac{19}{35}\) → \(A \approx 57{,}1°\).
\(\cos B = \dfrac{36+49-25}{84} = \dfrac{60}{84} = \dfrac{5}{7}\) → \(B \approx 44{,}4°\).
\(\cos C = \dfrac{36+25-49}{60} = \dfrac{12}{60} = \dfrac{1}{5}\) → \(C \approx 78{,}5°\).

3. \(\vec{u}\cdot\vec{v} = \sqrt{3}-\sqrt{3}=0\) → vecteurs orthogonaux → angle = \(90°\).

7

Formule d’Al-Kashi

⭐⭐ Moyen

1. Triangle \(ABC\) avec \(AB=8\), \(AC=5\), \(\widehat{A}=60°\). Calculer \(BC\).

2. Triangle \(ABC\) avec \(AB=6\), \(BC=4\), \(AC=5\). Calculer l’angle \(\widehat{B}\).

3. Un bateau part d’un port P, navigue 12 km vers A, tourne de 110° et navigue 8 km vers B. Quelle est la distance PB ?

Correction

1. \(BC^2 = 64+25-2\times 8\times 5\times \cos 60° = 89 - 80\times\frac{1}{2} = 89-40=49\). \(BC = 7\).

2. \(\cos\hat{B} = \dfrac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\times AB\times BC} = \dfrac{36+16-25}{48} = \dfrac{27}{48} = \dfrac{9}{16}\). \(\hat{B} \approx 55{,}8°\).

3. L’angle en A entre PA et AB est \(180°-110°=70°\).
\(PB^2 = PA^2+AB^2-2\times PA\times AB\times\cos 70° = 144+64-192\times\cos 70° \approx 208-65{,}7 \approx 142{,}3\).
\(PB \approx 11{,}9\) km.

8

Cercle de diamètre AB

⭐⭐ Moyen

1. \(A(-2;0)\) et \(B(4;0)\). Montrer que \(M(1;3)\) est sur le cercle de diamètre \(AB\).

2. \(A(1;-1)\) et \(B(5;3)\). Trouver un point \(M\) de l’axe des ordonnées appartenant au cercle de diamètre \(AB\).

3. \(A(0;0)\) et \(B(6;0)\). Déterminer l’ensemble des points \(M(x;y)\) tels que \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\) et en déduire l’équation du cercle.

Correction

1. \(\overrightarrow{MA}=(-3;-3)\), \(\overrightarrow{MB}=(3;-3)\).
\(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = -9+9=0\). ✓ M est sur le cercle de diamètre AB.

2. M sur l’axe des ordonnées : \(M(0;t)\).
\(\overrightarrow{MA}=(1;-1-t)\), \(\overrightarrow{MB}=(5;3-t)\).
\(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 5+(-1-t)(3-t)=0\)
\(5+(-3+t-3t+t^2)=0\) → \(t^2-2t+2=0\). Discriminant \(=4-8=-4<0\). Pas de solution réelle.
L’axe des ordonnées ne coupe pas le cercle de diamètre AB.

3. \(\overrightarrow{MA}=(-x;-y)\), \(\overrightarrow{MB}=(6-x;-y)\).
\(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = -x(6-x)+y^2 = x^2-6x+y^2=0\)
\((x-3)^2+y^2=9\) : cercle de centre \((3;0)\) et rayon 3. ✓

9

Développements et identités vectorielles

⭐⭐ Moyen

1. Développer \(\|\vec{u}-\vec{v}\|^2\) et en déduire \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) si \(\|\vec{u}\|=3\), \(\|\vec{v}\|=4\), \(\|\vec{u}-\vec{v}\|=\sqrt{13}\).

2. Montrer que \((\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})=\|\vec{u}\|^2-\|\vec{v}\|^2\).

3. Si \(\|\vec{u}+\vec{v}\|=\|\vec{u}-\vec{v}\|\), que peut-on dire de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ?

4. Dans un losange \(ABCD\), montrer que les diagonales sont perpendiculaires.

Correction

1. \(\|\vec{u}-\vec{v}\|^2=\|\vec{u}\|^2-2\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^2\).
\(13=9-2\vec{u}\cdot\vec{v}+16\) → \(\vec{u}\cdot\vec{v}=6\).

2. \((\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})=\vec{u}\cdot\vec{u}-\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{u}-\vec{v}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|^2-\|\vec{v}\|^2\). ✓

3. \(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2=\|\vec{u}-\vec{v}\|^2\) → \(\|\vec{u}\|^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^2=\|\vec{u}\|^2-2\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^2\) → \(4\vec{u}\cdot\vec{v}=0\) → \(\vec{u}\perp\vec{v}\).

4. Dans le losange \(ABCD\), \(AB=BC=CD=DA=a\).
Diagonales : \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\).
\(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})\cdot(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})=\|\overrightarrow{AD}\|^2-\|\overrightarrow{AB}\|^2=a^2-a^2=0\). ✓

10

Problème de synthèse

⭐⭐⭐ Difficile

Soit le triangle \(ABC\) avec \(A(1;2)\), \(B(7;2)\), \(C(4;8)\).

1. Calculer les longueurs \(AB\), \(AC\) et \(BC\).

2. Montrer que le triangle est isocèle. En quel sommet ?

3. Calculer les trois angles du triangle.

4. Déterminer le centre et le rayon du cercle circonscrit.

5. Vérifier que \(A\) est sur le cercle circonscrit en utilisant \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}\) où \(M\) est un point diamétralement opposé à \(C\).

Python — Synthèse triangle

import math

A = (1, 2)
B = (7, 2)
C = (4, 8)

def dist(P, Q):
    return math.sqrt((Q[0]-P[0])**2 + (Q[1]-P[1])**2)

def dot(u, v):
    return u[0]*v[0] + u[1]*v[1]

AB = dist(A, B)
AC = dist(A, C)
BC = dist(B, C)
print("AB =", round(AB, 4))
print("AC =", round(AC, 4))
print("BC =", round(BC, 4))
print("Isocele en C :", abs(AC - BC) < 1e-10)

AB_vec = (B[0]-A[0], B[1]-A[1])
AC_vec = (C[0]-A[0], C[1]-A[1])
BA_vec = (A[0]-B[0], A[1]-B[1])
BC_vec = (C[0]-B[0], C[1]-B[1])
CA_vec = (A[0]-C[0], A[1]-C[1])
CB_vec = (B[0]-C[0], B[1]-C[1])

cosA = dot(AB_vec, AC_vec) / (AB * AC)
cosB = dot(BA_vec, BC_vec) / (AB * BC)
cosC = dot(CA_vec, CB_vec) / (AC * BC)

print("Angle A =", round(math.degrees(math.acos(cosA)), 1), "deg")
print("Angle B =", round(math.degrees(math.acos(cosB)), 1), "deg")
print("Angle C =", round(math.degrees(math.acos(cosC)), 1), "deg")

Ox = (A[0] + B[0]) / 2
Oy = 17/4
R = dist((Ox, Oy), A)
print("Centre O =", (Ox, Oy))
print("Rayon R =", round(R, 4))
print("OC =", round(dist((Ox, Oy), C), 4))

Correction

1. \(AB=6\), \(AC=\sqrt{9+36}=3\sqrt{5}\), \(BC=\sqrt{9+36}=3\sqrt{5}\).

2. \(AC=BC=3\sqrt{5}\) → isocèle en C. ✓

3. \(\overrightarrow{AB}=(6;0)\), \(\overrightarrow{AC}=(3;6)\).
\(\cos\hat{A} = \dfrac{18}{6\times 3\sqrt{5}} = \dfrac{18}{18\sqrt{5}} = \dfrac{1}{\sqrt{5}}\) → \(\hat{A}\approx 63{,}4°\).
Par symétrie \(\hat{B}\approx 63{,}4°\) et \(\hat{C}=180°-126{,}9°\approx 53{,}1°\).

4. Par symétrie, le centre est sur \(x=4\). On cherche \(y\) : \(OA^2=OC^2\) →
\((4-1)^2+(y-2)^2=(4-4)^2+(y-8)^2\) → \(9+y^2-4y+4=y^2-16y+64\) → \(12y=51\) → \(y=\frac{17}{4}\).
Centre \(O\left(4;\frac{17}{4}\right)\), rayon \(R=\frac{15}{4}\).

5. \(OA = \sqrt{9+\left(\frac{17}{4}-2\right)^2} = \sqrt{9+\frac{81}{16}} = \sqrt{\frac{225}{16}} = \frac{15}{4} = R\). ✓

Exercices — Produit scalaire

Produit scalaire — formule avec le cosinus

Produit scalaire — formule avec les coordonnées

Produit scalaire — formule avec les normes

Produit scalaire — formule par projection

Démontrer une orthogonalité

Calculer un angle

Formule d’Al-Kashi

Cercle de diamètre AB

Développements et identités vectorielles

Problème de synthèse

📚 Exercices complémentaires (8)