Ch7 — Produit scalaire · Exercices WIMS
Vecteurs — rappels
Un vecteur \(\vec{u}\) est défini par une direction, un sens et une norme \(\|\vec{u}\|\).
- Coordonnées : \(\vec{u} = \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\), \(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2+y^2}\)
- Somme : \(\vec{u}+\vec{v} = \begin{pmatrix}x+x'\\y+y'\end{pmatrix}\), règle du parallélogramme
- Relation de Chasles : \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\)
- Colinéarité : \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) colinéaires \(\iff\) \(xv_y - yv_x = 0\)
Définition du produit scalaire
Pour deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) :
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\| \cdot \cos\theta\)
où \(\theta = (\vec{u}, \vec{v})\) est l’angle entre les deux vecteurs.
Formules équivalentes :
- Par les normes : \(\vec{u}\cdot\vec{v} = \dfrac{1}{2}\left(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right)\)
- Analytique (base ONB) : \(\vec{u}\cdot\vec{v} = xx' + yy'\)
- Par projection : \(\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\| \cdot \overrightarrow{OH}\) où \(H\) est le projeté de \(B\) sur \(\vec{u}\)
Propriétés du produit scalaire
- Symétrie : \(\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{v}\cdot\vec{u}\)
- Bilinéarité : \((\vec{u}+\vec{v})\cdot\vec{w} = \vec{u}\cdot\vec{w} + \vec{v}\cdot\vec{w}\)
- \((k\vec{u})\cdot\vec{v} = k(\vec{u}\cdot\vec{v})\)
- \(\vec{u}\cdot\vec{u} = \|\vec{u}\|^2\)
- Identités remarquables : \(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2\)
- \(\|\vec{u}-\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 - 2\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2\)
- \((\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v}) = \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\)
Orthogonalité
\(\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u}\cdot\vec{v} = 0\)
Vecteur normal à une droite :
La droite d’équation \(ax + by + c = 0\) a pour vecteur normal \(\vec{n} = \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\).
Projection orthogonale :
Si \(H\) est le projeté de \(A\) sur la droite \((BC)\), alors \(\overrightarrow{BH} = \dfrac{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}}{\|\overrightarrow{BC}\|^2}\overrightarrow{BC}\).
Droites et cercles — équations
Équation d’une droite passant par \(A(x_0, y_0)\) de vecteur normal \(\vec{n}(a,b)\) :
\(a(x-x_0) + b(y-y_0) = 0\)
Équation d’un cercle de centre \(\Omega(a,b)\) et rayon \(r\) :
\((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\)
Propriété fondamentale : \(M\) est sur le cercle de diamètre \([AB]\) \(\iff\) \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 0\).
Al-Kashi et formules trigonométriques
Dans un triangle \(ABC\) :
- Al-Kashi : \(BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\,AB\cdot AC\cdot\cos(\hat{A})\)
- Produit scalaire : \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = AB\cdot AC\cdot\cos(\hat{A})\)
- \(\cos(\hat{A}) = \dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\,AB\cdot AC}\)
Cas particulier : triangle rectangle en \(A\) \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 0\).