Deux forces s’appliquent sur un objet : une force de 10 N vers l’est et une force de 8 N vers le nord-est (à 45° de l’est). On effectue un déplacement de 5 m vers l’est.
Euclide (IIIe siècle av. J.-C., Éléments II) formule des identités équivalentes au produit scalaire en langage purement géométrique — sans le formalisme vectoriel. Thābit ibn Qurra (IXe siècle, Bagdad) généralise le théorème de Pythagore à un triangle quelconque — c’est une reformulation du produit scalaire.
La formulation vectorielle moderne du produit scalaire vient de Hermann Grassmann et William Hamilton (XIXe siècle), dans le cadre du développement de l’algèbre vectorielle et des quaternions.
Dans un triangle ABC, le triangle est rectangle en A si et seulement si le produit scalaire de AB et AC est nul.
En repère orthonormé, si \(\vec{u}(x;y)\) et \(\vec{v}(x';y')\) :
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'\)
Calcule le produit scalaire des vecteurs suivants :
\(\vec{u} = (\) ; \()\) \(\vec{v} = (\) ; \()\)
Dans un triangle ABC : \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\hat{A})\)
Côté b = Côté c = Angle A = °
A = ( ; ) B = ( ; ) M = ( ; )
Ces activités permettent de visualiser dynamiquement le produit scalaire — déplace les points et observe les valeurs changer en temps réel.
Cette activité permet de visualiser le produit scalaire de deux vecteurs de différentes manières : par projection, par la formule du cosinus et par les coordonnées. Tu peux déplacer les points A, B, C et observer les valeurs changer en temps réel.
On donne un segment AB de longueur 2.
Objectif : Construire l’ensemble des points M du plan tels que :
\[
\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AB} = 2
\]
📌 Consigne : Utilise les outils de géométrie pour construire l’ensemble des points vérifiant l’égalité. Dès que ta construction sera correcte, un message de confirmation apparaîtra automatiquement.
L’ensemble des points \(M\) est la médiatrice du segment \([AB]\).
On donne un segment AB de longueur 2.
Objectif : Construire l’ensemble des points M du plan tels que :
\[
\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BC} = 0
\]
📌 Consigne : Construis l’ensemble des points M vérifiant cette égalité. Dès que ta construction sera correcte, un message de confirmation apparaîtra automatiquement.
L’ensemble des points \(M\) est la droite passant par A et perpendiculaire à (BC).
On donne un segment AB de longueur 2.
Objectif : Construire l’ensemble des points M du plan tels que :
\[
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{MB} = 1
\]
📌 Consigne : Construis l’ensemble des points M vérifiant cette égalité. Dès que ta construction sera correcte, un message de confirmation apparaîtra automatiquement.
L’ensemble des points \(M\) est la droite perpendiculaire à (AB) passant par le point H tel que \(BH = \dfrac{1}{2}\) (car \(AB=2\)).
On donne un segment AB de longueur 2.
Objectif : Construire l’ensemble des points M du plan tels que :
\[
\overrightarrow{AM} \cdot (\overrightarrow{BM} + \overrightarrow{CM}) = 0
\]
📌 Consigne : Construis l’ensemble des points M vérifiant cette égalité. Dès que ta construction sera correcte, un message de confirmation apparaîtra automatiquement.
L’ensemble des points \(M\) est la médiatrice de [BC] (car \( \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{CM} = 2\overrightarrow{MI}\) avec I milieu de [BC]).
On donne un segment AB de longueur 2.
Objectif : Construire l’ensemble des points M du plan tels que :
\[
\overrightarrow{AM} \cdot (\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{CM}) = 0
\]
📌 Consigne : Construis l’ensemble des points M vérifiant cette égalité. Dès que ta construction sera correcte, un message de confirmation apparaîtra automatiquement.
L’ensemble des points \(M\) est le cercle de diamètre [AG] où G est le centre de gravité du triangle ABC.
Objectif : Construire l’ensemble des points M du plan tels que : \[ (\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{CM}) \cdot (\overrightarrow{BM} + \overrightarrow{CM}) = 0 \]
📌 Consigne : Construis l’ensemble des points M vérifiant cette égalité. Dès que ta construction sera correcte, un message de confirmation apparaîtra automatiquement.
L’ensemble des points \(M\) est le cercle de diamètre [IJ] où I et J sont les milieux respectifs de [AC] et [BC].
Pour les activités guidées avec Python :
Le vecteur AB a pour coordonnées \((3,0)\) et le vecteur AC a pour coordonnées \((0,4)\). Leur produit scalaire vaut \(3 imes 0 + 0 imes 4 = 0\). Le triangle est donc rectangle en A.