I. Propositions logiques
Définition
Une
proposition (ou assertion) est une phrase mathématique qui a exactement une valeur de vérité : soit
vraie (V), soit
fausse (F). Elle ne peut pas être les deux à la fois, et elle ne peut pas être « ni vraie ni fausse » — il n’y a pas de troisième état possible.
Exemples
| Proposition | Valeur |
|---|
| « 2 + 2 = 4 » | V |
| « 7 est pair » | F |
| « \(\sqrt{2} \in \mathbb{Q}\) » | F |
| « Tout entier pair est divisible par 2 » | V |
| « \(x > 0\) » (sans préciser x) | ❌ pas une proposition — dépend de x |
Attention
« \(x > 0\) » seul n’est
pas une proposition : sa valeur de vérité dépend de \(x\). On dit que c’est un
prédicat. Il devient une proposition dès qu’on précise x (« pour \(x = 3\) ») ou qu’on le quantifie (« \(\forall x \in \mathbb{R}^+\) », lire « pour tout \(x\) réel positif »).
II. Connecteurs logiques — Tables de vérité
On combine des propositions A et B avec des connecteurs. La table de vérité liste tous les cas possibles.
A ET B (A∧B)
Vrai seulement si les deux sont vrais.
A OU B (A∨B)
Faux seulement si les deux sont faux.
Tiers exclu
Pour toute proposition A :
A ∨ ¬A est toujours vraie. Il n’y a pas de troisième possibilité entre « vrai » et « faux ». C’est ce qui rend le raisonnement par l’absurde valide.
III. L’implication A ⇒ B
Définition
A ⇒ B se lit « A implique B » ou « si A alors B ».
Elle est
fausse uniquement quand A est vrai et B est faux.
⚠️ Piège classique — La prémisse fausse
Si A est faux, l’implication A ⇒ B est automatiquement vraie, quelle que soit B.
C’est le point le plus contre-intuitif de la logique. Voici pourquoi :
- « Si la lune est en fromage, alors 2+2=5 » → VRAI (A faux, B faux)
- « Si la lune est en fromage, alors 2+2=4 » → VRAI (A faux, B vrai)
- « Si 3 > 2, alors 2+2=5 » → FAUX (A vrai, B faux — le seul cas faux !)
Règle : une implication n’est fausse que dans un seul cas : prémisse vraie et conclusion fausse. Dans tous les autres cas, elle est vraie.
Exemples mathématiques
✓ « \(x > 2 \Rightarrow x > 0\) » — vrai pour tout \(x\) réel.
✗ « \(x > 0 \Rightarrow x > 2\) » — faux : \(x = 1\) est un contre-exemple (A vrai, B faux).
✓ « \(n\) divisible par 6 \(\Rightarrow\) \(n\) divisible par 2 » — vrai.
Condition nécessaire et suffisante
Définition
Si
A ⇒ B, alors :
- A est une condition suffisante pour B : avoir A suffit pour garantir B.
- B est une condition nécessaire pour A : sans B, impossible d’avoir A.
Exemple
« Être divisible par 4 ⇒ être pair »
→ Divisible par 4 est
suffisant pour être pair.
→ Être pair est
nécessaire pour être divisible par 4 (si on n’est pas pair, on ne peut pas être divisible par 4).
IV. Contraposée, réciproque, inverse
À partir de l’implication A ⇒ B, on peut former trois autres propositions :
Directe
A ⇒ B
« si A alors B »
Contraposée
¬B ⇒ ¬A
« si non-B alors non-A »
✓ équivalente à la directe
Réciproque
B ⇒ A
« si B alors A »
✗ non équivalente en général
Inverse
¬A ⇒ ¬B
« si non-A alors non-B »
✗ non équivalente en général
Théorème fondamental
A ⇒ B ⟺ (¬B ⇒ ¬A)
Une implication et sa contraposée sont toujours logiquement équivalentes. On peut donc démontrer l’une en prouvant l’autre.
Vérification par table de vérité
| A | B | ¬A | ¬B | A⇒B | ¬B⇒¬A |
|---|
| V | V | F | F | V | V |
| V | F | F | V | F | F |
| F | V | V | F | V | V |
| F | F | V | V | V | V |
Les colonnes A⇒B et ¬B⇒¬A sont identiques : elles sont équivalentes.
Exemple concret
Directe « Si \(n\) est divisible par 4, alors \(n\) est pair. »
Contraposée « Si \(n\) n’est pas pair (impair), alors \(n\) n’est pas divisible par 4. » ✓ également vraie
Réciproque « Si \(n\) est pair, alors \(n\) est divisible par 4. » ✗ fausse : n=6 est pair mais pas divisible par 4
V. L’équivalence A ⟺ B
Définition
A ⟺ B signifie : A ⇒ B
et B ⇒ A simultanément.
A et B ont toujours la même valeur de vérité : ils sont soit tous les deux vrais, soit tous les deux faux.
Exemples
✓ « \(x^2 = 4 \Leftrightarrow x = 2\) ou \(x = -2\) » — les deux côtés sont vrais pour exactement les mêmes valeurs de x.
✓ « \(n\) est pair \(\Leftrightarrow\) \(n^2\) est pair » — on peut prouver les deux implications.
✗ « \(x > 0 \Leftrightarrow x^2 > 0\) » — fausse : si \(x = -2\), alors \(x \not> 0\) mais \(x^2 = 4 > 0\) (valeurs de vérité différentes).
Condition nécessaire et suffisante
A ⟺ B signifie que A est à la fois
nécessaire et suffisante pour B (et vice versa). On dit aussi que A et B sont des
conditions équivalentes.
VI. Négation et lois de De Morgan
Nier une proposition, c’est affirmer le contraire. La négation de A est notée ¬A (ou « non A »).
Négation des connecteurs — Lois de De Morgan
Lois de De Morgan
\[\neg(A \wedge B) \Longleftrightarrow \neg A \vee \neg B\]
\[\neg(A \vee B) \Longleftrightarrow \neg A \wedge \neg B\]
En français : la négation d’un ET devient un OU, la négation d’un OU devient un ET.
Exemple
A = « \(x > 0\) » B = « \(x < 1\) »
A ∧ B = « \(0 < x < 1\) »
¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B = « \(x \leq 0\) ou \(x \geq 1\) »
Vérification : hors de l’intervalle ]0;1[ signifie bien x ≤ 0 ou x ≥ 1. ✓
Négation des inégalités
À retenir
| Proposition | Négation |
|---|
| \(x > a\) | \(x \leq a\) |
| \(x \geq a\) | \(x < a\) |
| \(x = a\) | \(x \neq a\) |
| \(x \in [a;b]\) | \(x < a\) ou \(x > b\) |
Négation de l’implication
Résultat
\[\neg(A \Rightarrow B) \Longleftrightarrow A \wedge \neg B\]
La négation de « si A alors B » est « A est vrai ET B est faux » — ce qui correspond exactement au seul cas où l’implication échoue.
VII. Quantificateurs et leurs négations
Définition
∀ (pour tout) : la propriété est vraie pour chaque élément de l’ensemble.
∃ (il existe) : la propriété est vraie pour au moins un élément.
Négation des quantificateurs
\[\neg\bigl(\forall x,\ P(x)\bigr) \Longleftrightarrow \exists x,\ \neg P(x)\]
\[\neg\bigl(\exists x,\ P(x)\bigr) \Longleftrightarrow \forall x,\ \neg P(x)\]
Pour réfuter un « pour tout », il suffit d’un seul contre-exemple.
Pour réfuter un « il existe », il faut montrer que tous les éléments ne vérifient pas la propriété.
Exemples
Proposition : « ∀n ∈ ℕ, n² > n »
Négation : « ∃n ∈ ℕ, n² ≤ n »
Contre-exemple : n = 1 → 1² = 1 ≤ 1. La proposition est donc fausse.
Proposition : « ∃n ∈ ℕ, n² = 2 »
Négation : « ∀n ∈ ℕ, n² ≠ 2 »
La proposition est fausse (√2 ∉ ℕ), donc sa négation est vraie.
Ordre des quantificateurs — important
« ∀x ∃y, y > x » est vraie dans ℝ : pour tout x on peut trouver un y plus grand.
« ∃y ∀x, y > x » est fausse dans ℝ : il n’existe pas de réel plus grand que tous les autres.
L’ordre des quantificateurs change complètement le sens !
VIII. Les grands types de raisonnement
1. Raisonnement direct
Méthode
On part de A (hypothèse) et on enchaîne des implications jusqu’à B (conclusion).
Exemple : montrer que si n est pair, alors n² est pair
Soit n pair. Alors ∃k ∈ ℤ, n = 2k.
Donc n² = (2k)² = 4k² = 2(2k²).
Donc n² est pair. □
2. Raisonnement par contraposée
Méthode
Pour montrer A ⇒ B, on montre l’équivalente ¬B ⇒ ¬A. Utile quand la contraposée est plus simple à démontrer.
Exemple : montrer que si n² est pair, alors n est pair
On montre la contraposée : « si n est impair, alors n² est impair ».
Soit n impair : ∃k ∈ ℤ, n = 2k+1.
Alors n² = (2k+1)² = 4k²+4k+1 = 2(2k²+2k)+1.
Donc n² est impair. □
Par contraposée, n² pair ⇒ n pair.
3. Raisonnement par l’absurde
Méthode
Pour montrer B, on suppose ¬B (hypothèse absurde) et on en déduit une contradiction. Par tiers exclu, B est donc vrai.
Exemple : montrer que √2 est irrationnel
Supposons par l’absurde que √2 ∈ ℚ.
Alors ∃p ∈ ℤ, q ∈ ℕ*, √2 = p/q avec pgcd(p,q) = 1 (fraction irréductible).
En élevant au carré : 2q² = p², donc p² est pair, donc p est pair (par ce qu’on vient de montrer).
Soit p = 2k. Alors 2q² = 4k², soit q² = 2k², donc q est pair.
Contradiction : p et q sont tous les deux pairs, mais pgcd(p,q) = 1. □
Donc √2 ∉ ℚ.
4. Contre-exemple
Méthode
Pour réfuter « ∀x, P(x) », il suffit de trouver
un seul x pour lequel P(x) est fausse.
Exemple : réfuter « tout nombre premier est impair »
Contre-exemple : 2 est premier et est pair. La proposition est fausse. □
Récapitulatif
| Objectif | Méthode recommandée |
|---|
| Montrer A ⇒ B directement | Raisonnement direct |
| Montrer A ⇒ B quand ¬B ⇒ ¬A est plus simple | Contraposée |
| Montrer B quand supposer ¬B mène à une absurdité | Absurde |
| Réfuter « ∀x, P(x) » | Contre-exemple |
| Montrer A ⟺ B | Prouver A⇒B puis B⇒A (deux raisonnements) |
IX. Exercices
Score : 0 / 5
Exercice 1 — Table de vérité
Quelle est la valeur de vérité de l’implication « Si 3 < 2, alors la lune est en fromage » ?
Fausse — la conclusion est absurde.
Vraie — la prémisse est fausse, donc l’implication est vraie.
On ne peut pas savoir.
Exercice 2 — Contraposée
Quelle est la contraposée de « Si \(x^2 = 0\), alors \(x = 0\) » ?
Si \(x = 0\), alors \(x^2 = 0\).
Si \(x \neq 0\), alors \(x^2 \neq 0\).
Si \(x^2 \neq 0\), alors \(x = 0\).
Exercice 3 — Négation
Quelle est la négation de « \(\forall n \in \mathbb{N},\ n^2 \geq n\) » ?
∀n ∈ ℕ, n² < n
∃n ∈ ℕ, n² < n
∃n ∈ ℕ, n² ≥ n
Exercice 4 — Condition nécessaire / suffisante
On sait que « être divisible par 6 ⇒ être divisible par 3 ». Que peut-on en conclure ?
Être divisible par 3 est suffisant pour être divisible par 6.
Être divisible par 3 est nécessaire pour être divisible par 6.
Être divisible par 6 et par 3 sont des conditions équivalentes.
Exercice 5 — Raisonnement
On veut montrer « si \(n^2\) est impair, alors \(n\) est impair ». Quelle méthode est la plus directe ?
Raisonnement direct.
Raisonnement par contraposée : montrer « si n est pair, alors n² est pair ».
Contre-exemple.