Terminale — Programme officiel (BO 2019) · Math@mine
Le niveau sonore en decibels est défini par \(L = 10 \log\!\left(\dfrac{I}{I_0}\right)\), ou \(I\) est l’intensite du son et \(I_0 = 10^{-12}\) W/m\(^2\) le seuil d’audibilite. Un son a 60 dB (conversation) a une intensite un million de fois superieure au seuil. Pourquoi utiliser une échelle logarithmique plutot qu’une échelle lineaire ?
Le mathematicien ecossais John Napier (1550–1617), aussi connu sous le nom de Neper, publia en 1614 ses tables de logarithmes. Son objectif etait de simplifier les calculs astronomiques : grace aux logarithmes, les multiplications se transforment en additions, un gain de temps considerable a une epoque sans calculatrice.
L’Anglais Henry Briggs (1561–1630) adapta l’idee de Neper pour creer les logarithmes en base 10 (logarithmes décimaux), qu’il publia dans ses tables en 1624. Le nombre \(e\) et le logarithme neperien tel qu’on le connait aujourd’hui furent formalises plus tard par Euler au XVIIIe siecle.
Un placement financier rapporte 5 % d’interets par an (interets composes). Au bout de combien d’annees le capital initial aura-t-il double ?
Par definition, \(\ln x\) est l’unique réel \(y\) tel que \(e^y = x\). Donc :
C’est une consequence directe de la definition : \(\ln\) est la reciproque de \(\exp\). Si \(\ln a = b\), en appliquant \(\exp\) : \(e^{\ln a} = e^b\), soit \(a = e^b\). Reciproquement, si \(a = e^b\), en appliquant \(\ln\) : \(\ln a = \ln(e^b) = b\).
Ces propriétés se deduisent de celles de l’exponentielle. Montrons que \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\) :
On pose \(\alpha = \ln a\) et \(\beta = \ln b\), donc \(a = e^\alpha\) et \(b = e^\beta\). Alors \(ab = e^\alpha \times e^\beta = e^{\alpha + \beta}\), d’ou \(\ln(ab) = \alpha + \beta = \ln a + \ln b\).
Pour la puissance : \(\ln(a^n) = \ln(\underbrace{a \times \cdots \times a}_{n}) = n \ln a\) (par recurrence sur la propriété du produit).
Les autres formules en decoulent : \(\ln(1/a) = \ln(a^{-1}) = -\ln a\), \(\ln(a/b) = \ln a - \ln b\), et \(\ln(\sqrt{a}) = \ln(a^{1/2}) = \frac{1}{2}\ln a\).
Ecrire \(\ln 48 - 2\ln 2 + \ln 3\) sous la forme \(\ln k\).
\(\ln 48 - 2\ln 2 + \ln 3 = \ln 48 - \ln(2^2) + \ln 3 = \ln 48 - \ln 4 + \ln 3\)
\(= \ln\!\left(\dfrac{48}{4}\right) + \ln 3 = \ln 12 + \ln 3 = \ln(12 \times 3) = \ln 36\).
Partons de la relation \(e^{\ln x} = x\) pour \(x > 0\). En derivant les deux membres (dérivation d’une composée, chapitre 3) :
\((\ln x)' \times e^{\ln x} = 1\), soit \((\ln x)' \times x = 1\), d’ou \((\ln x)' = \frac{1}{x}\).
Comme \(\ln\) est strictement croissante et non bornee (puisque \(\ln(e^n) = n\) pour tout entier \(n\)), elle tend vers \(+\infty\) en \(+\infty\).
En \(0^+\) : on utilise \(\ln(1/x) = -\ln x\). Si \(x \to 0^+\), alors \(1/x \to +\infty\), donc \(\ln(1/x) \to +\infty\), et \(\ln x = -\ln(1/x) \to -\infty\).
On sait que \(\ln 1 = 0\) et que \(\ln\) est strictement croissante (car \((\ln x)' = 1/x > 0\)). Donc :
La fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\) (sa dérivée \(1/x\) est strictement positive). Donc \(\ln\) est une bijection de \(]0\,;+\infty[\) sur \(\mathbb{R}\).
Équation \(\ln a = \ln b\).
Inégalité \(\ln a < \ln b \iff a < b\).
Calcul de la dérivée seconde. On sait que \((\ln x)' = \dfrac{1}{x}\) pour \(x > 0\). On dérive à nouveau :
\((\ln x)'' = \left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}.\)
Pour tout \(x > 0\), \(x^2 > 0\), donc \(-\dfrac{1}{x^2} < 0\).
Conclusion — concavité. Une fonction deux fois dérivable sur un intervalle \(I\) dont la dérivée seconde est négative sur \(I\) est concave sur \(I\). Géométriquement : la courbe est située en dessous de chacune de ses tangentes.
En particulier, la tangente à \(\ln\) au point \((1, 0)\) a pour équation \(y = x - 1\). Par concavité :
\(\ln x \le x - 1\) pour tout \(x > 0,\)
avec égalité seulement en \(x = 1\). ∎
\(f(1) = \ln 1 = 0\) et \(f'(1) = \dfrac{1}{1} = 1\).
L’équation de la tangente est : \(y = 1 \cdot (x - 1) + 0 = x - 1\).
Par concavite de \(\ln\), on en déduit l’inégalité fondamentale : \(\ln x \leq x - 1\) pour tout \(x > 0\).
Ce résultat est admis dans sa demonstration complete. L’idee pour \(n = 1\) utilise l’inégalité \(\ln x \leq x - 1\) (consequence de la concavite de \(\ln\), section 3). On en déduit que pour \(x > 0\) : \(\ln x = 2\ln(\sqrt{x}) \leq 2(\sqrt{x} - 1) < 2\sqrt{x}\), donc \(\frac{\ln x}{x} < \frac{2}{\sqrt{x}} \to 0\).
On pose \(x = 1/t\) avec \(t \to +\infty\). Alors \(x^n \ln x = \frac{1}{t^n} \times \ln(1/t) = -\frac{\ln t}{t^n}\).
Or \(\frac{\ln t}{t^n} \to 0\) quand \(t \to +\infty\) (croissances comparees en \(+\infty\), théorème precedent), donc \(x^n \ln x \to 0\).
Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \bigl(x^2 - 3\ln x\bigr)\).
On factorise par le terme dominant : \(x^2 - 3\ln x = x^2\!\left(1 - \dfrac{3\ln x}{x^2}\right)\).
Or \(\dfrac{\ln x}{x^2} \to 0\) quand \(x \to +\infty\), donc \(1 - \dfrac{3\ln x}{x^2} \to 1\) et \(x^2 \to +\infty\).
Par produit : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \bigl(x^2 - 3\ln x\bigr) = +\infty\).
Resoudre \(\ln(2x+1) = \ln(x+4)\).
Conditions : \(2x+1 > 0\) et \(x+4 > 0\), soit \(x > -\frac{1}{2}\).
\(\ln(2x+1) = \ln(x+4) \iff 2x+1 = x+4 \iff x = 3\).
Verification : \(x = 3 > -\frac{1}{2}\). Solution : \(\boxed{x = 3}\).
Resoudre \(\ln(x^2 - 1) = 0\).
Conditions : \(x^2 - 1 > 0\), soit \(x < -1\) ou \(x > 1\).
\(\ln(x^2 - 1) = 0 \iff x^2 - 1 = e^0 = 1 \iff x^2 = 2 \iff x = \pm\sqrt{2}\).
Les deux valeurs verifient les conditions. Solutions : \(\boxed{x = -\sqrt{2} \text{ ou } x = \sqrt{2}}\).
Resoudre \(\ln(3x - 2) \leq 1\).
Conditions : \(3x - 2 > 0\), soit \(x > \frac{2}{3}\).
\(\ln(3x-2) \leq 1 \iff 3x - 2 \leq e^1 \iff x \leq \dfrac{e + 2}{3}\).
Avec la condition d’existence : \(\boxed{\dfrac{2}{3} < x \leq \dfrac{e+2}{3}}\).
On part de la définition \(\log x = \dfrac{\ln x}{\ln 10}\).
Valeurs particulières.
Propriétés algébriques. Pour \(a, b > 0\) et \(n \in \mathbb{Z}\) :
\(\log(ab) = \dfrac{\ln(ab)}{\ln 10} = \dfrac{\ln a + \ln b}{\ln 10} = \dfrac{\ln a}{\ln 10} + \dfrac{\ln b}{\ln 10} = \log a + \log b.\)
\(\log(a^n) = \dfrac{\ln(a^n)}{\ln 10} = \dfrac{n\ln a}{\ln 10} = n\log a.\)
On vérifie de la même façon \(\log\dfrac{a}{b} = \log a - \log b\) et \(\log\dfrac{1}{a} = -\log a\). ∎
La magnitude d’un seisme est définie par \(M = \log\!\left(\dfrac{A}{A_0}\right)\) ou \(A\) est l’amplitude mesuree et \(A_0\) une amplitude de reference.
Un seisme de magnitude 6 a une amplitude \(10^6\) fois superieure a la reference.
Un seisme de magnitude 8 a une amplitude \(10^8 / 10^6 = 100\) fois superieure a un seisme de magnitude 6.
| Propriete | Formule |
|---|---|
| Definition | \(\ln x = y \iff e^y = x\) |
| Produit | \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\) |
| Quotient | \(\ln\!\left(\frac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b\) |
| Puissance | \(\ln(a^n) = n\ln a\) |
| Dérivée | \((\ln x)' = \dfrac{1}{x}\) |
| Dérivée de \(\ln u\) | \((\ln u)' = \dfrac{u'}{u}\) |
| Croissance comparee | \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{\ln x}{x} = 0\) |
| Croissance comparee | \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x\ln x = 0\) |
| Logarithme décimal | \(\log x = \dfrac{\ln x}{\ln 10}\) |
Si l’intensite \(I\) est multipliee par 100, le nouveau niveau sonore est :
\(L' = 10 \log\!\left(\dfrac{100 \, I}{I_0}\right) = 10\left[\log 100 + \log\!\left(\dfrac{I}{I_0}\right)\right] = 10 \times 2 + L = L + 20\).
Le niveau sonore augmente de 20 decibels. C’est la puissance de l’échelle logarithmique : une multiplication par 100 de l’intensite ne correspond qu’a une addition de 20 dB.
On resout \(1{,}05^n = 2\).
En passant au logarithme : \(n \ln(1{,}05) = \ln(2)\), soit \(n = \dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}05}\).
\(n = \dfrac{0{,}693}{0{,}0488} \approx 14{,}2\).
Il faut donc environ 15 ans pour doubler son capital a 5 % par an.
Astuce : la « règle de 72 » donne une approximation rapide : \(72/5 = 14{,}4\) ans.
Logarithme neperien : teste d’abord ton intuition.
« \(\ln(a + b) = \ln a + \ln b\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux. \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\), mais \(\ln(a+b) \neq \ln a + \ln b\). Le logarithme transforme les produits en sommes, pas les sommes !
Mini-test : \(\ln(2 \times 3) = ?\)
« \(\ln(-3)\) est un nombre réel négatif. »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux. \(\ln\) n’est défini que pour \(x > 0\). \(\ln(-3)\) n’existe pas dans les réels.
Mini-test : \(\ln(x^2)\) est-il défini pour tout \(x \neq 0\) ?
« \(\dfrac{\ln a}{\ln b} = \ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right)\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux. \(\ln\!\left(\frac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b\), pas \(\frac{\ln a}{\ln b}\). Le quotient des logarithmes est la formule de changement de base.
Mini-test : \(\ln\!\left(\frac{e^2}{e}\right) = ?\)
« \(\ln x\) finit par depasser toute puissance de \(x\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux. C’est exactement l’inverse : \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^a} = 0\) pour tout \(a > 0\). Le logarithme croit beaucoup plus lentement que toute puissance.
Mini-test : \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} = ?\)
« \(e^{\ln x} = x\) pour tout réel \(x\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux (pas pour tout réel). \(e^{\ln x} = x\) est vrai uniquement pour \(x > 0\), car \(\ln\) n’est défini que sur \(]0;+\infty[\).
Mini-test : \(\ln(e^{-2}) = ?\)
« \((\ln x)' = \dfrac{1}{x}\) pour \(x > 0\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
C’est vrai ! La dérivée du logarithme neperien est \(\frac{1}{x}\) sur \(]0;+\infty[\). C’est un résultat fondamental du calcul.
Mini-test : \((\ln(x^2+1))' = ?\)