Exercices — Logarithme népérien — Maths Complémentaires

Propriétés du logarithme, équations et inéquations, dérivées, applications économiques (intérêts composés, demi-vie).

Exo 1Calculs avec ln

Simplifier les expressions suivantes :

\(A = \ln 12 - \ln 3 + \ln 5\)
\(B = 2\ln 3 + \ln(1/9)\)
\(C = \ln(e^3) + \ln(e^{-1}) - \ln(\sqrt{e})\)

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1. \(A = \ln(12/3) + \ln 5 = \ln 4 + \ln 5 = \ln 20\).

2. \(B = \ln 9 + \ln(1/9) = \ln(9 \times 1/9) = \ln 1 = 0\).

3. \(C = 3 + (-1) - 1/2 = 3/2\).

Exo 2Équations et inéquations

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :

\(\ln(x+1) + \ln(x-2) = \ln 4\)
\(\ln x \leq 2\)
\(2^x = 10\)

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1. Domaine : \(x > 2\). \(\ln((x+1)(x-2)) = \ln 4 \Rightarrow x^2 - x - 2 = 4 \Rightarrow x^2 - x - 6 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+2) = 0\). Comme \(x > 2\), \(\mathcal{S} = \{3\}\).

2. Domaine : \(x > 0\). \(\ln x \leq 2 \iff x \leq e^2\). Donc \(\mathcal{S} = \,]0\,;\,e^2]\).

3. \(2^x = 10 \iff x \ln 2 = \ln 10 \iff x = \dfrac{\ln 10}{\ln 2} \approx 3{,}32\).

Exo 3Étude de fonction

Soit \(f(x) = x \ln x - x\) sur \(]0\,;\,+\infty[\).

Calculer \(f'(x)\) et étudier son signe.
Dresser le tableau de variations de \(f\). Préciser \(\lim_{x \to 0^+} f\) et \(\lim_{x \to +\infty} f\).

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1. \(f'(x) = \ln x + x \cdot \dfrac{1}{x} - 1 = \ln x\). Donc \(f' < 0\) sur \(]0,1[\), \(f' > 0\) sur \(]1,+\infty[\).

2. Variations : décroissante sur \(]0,1]\), croissante sur \([1,+\infty[\). Min en \(x=1\) : \(f(1) = 0 - 1 = -1\). Limites : \(\lim_{x\to 0^+} x\ln x = 0\) (croissance comparée), donc \(f \to 0\) ; \(\lim_{x\to+\infty} f = +\infty\).

Exo 4Application — Demi-vie d'un médicament

La concentration d'un médicament dans le sang suit \(C(t) = C_0 \, e^{-0{,}2 t}\) (en mg/L, \(t\) en heures).

Calculer la demi-vie \(T\) (temps tel que \(C(T) = C_0/2\)).
Au bout de combien d'heures la concentration est-elle inférieure à 10 % de la valeur initiale ?

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1. \(e^{-0{,}2 T} = 1/2 \iff -0{,}2 T = -\ln 2 \iff T = \dfrac{\ln 2}{0{,}2} = 5 \ln 2 \approx 3{,}47\) h.

2. \(e^{-0{,}2 t} \leq 0{,}1 \iff -0{,}2 t \leq \ln 0{,}1 \iff t \geq \dfrac{\ln 10}{0{,}2} = 5 \ln 10 \approx 11{,}5\) h.

Exo 5Application — Intérêts composés

Un capital de 1 000 € est placé à 3,5 % par an. Quel est le temps de doublement ?

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Capital après \(n\) années : \(C_n = 1000 \times 1{,}035^n\). On résout \(1{,}035^n \geq 2\) :

\(n \ln 1{,}035 \geq \ln 2 \iff n \geq \dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}035} \approx \dfrac{0{,}693}{0{,}0344} \approx 20{,}1\). Donc \(n = 21\) ans.

Règle de 72 : approximation rapide \(\approx 72/3{,}5 \approx 20{,}6\) ans, cohérent.