Terminale — Maths Complementaires · Math@mine
A Brest, la hauteur de la maree varie au cours de la journee entre environ 1 m et 7 m. Ce phénomène se repete de maniere reguliere avec une période d’environ 12 h 25 min. On peut modeliser la hauteur \(h(t)\) en metres par une fonction de la forme :
\[h(t) = 4 + 3\cos\!\left(\frac{2\pi}{12{,}42}\,t\right)\]
Les fonctions sinus et cosinus trouvent leur origine dans l’astronomie antique, ou les Grecs utilisaient des tables de cordes pour decrire les mouvements celestes. C’est Leonhard Euler (1707–1783) qui, au XVIIIe siecle, les a formalisees comme de veritables fonctions d’une variable réelle, en introduisant la notation \(\sin x\) et \(\cos x\).
Plus tard, Joseph Fourier (1768–1830) a montre que toute fonction périodique raisonnable peut s’ecrire comme une somme (potentiellement infinie) de fonctions sinus et cosinus. Cette decomposition, appelee serie de Fourier, est aujourd’hui au coeur du traitement du signal, de la compression audio (MP3) et de l’imagerie medicale.
La temperature moyenne journaliere a Lyon peut etre modelisee par \(T(j) = 12 + 10\sin\!\left(\frac{2\pi}{365}(j - 100)\right)\) ou \(j\) est le numero du jour dans l’annee. A quel moment de l’annee la temperature atteint-elle 22 °C pour la premiere fois ?
| \(x\) | \(0\) | \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(\pi\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\cos x\) | \(1\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(0\) | \(-1\) |
| \(\sin x\) | \(0\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(1\) | \(0\) |
Ajouter \(2\pi\) a l’angle revient a faire un tour complet sur le cercle trigonométrique. Le point \(M\) associe a \(x + 2\pi\) est donc le meme que celui associe a \(x\), d’ou les memes coordonnées \((\cos x, \sin x)\).
Sur le cercle trigonométrique, le point associe a \(-x\) est le symétrique du point associe a \(x\) par rapport a l’axe des abscisses. Si \(M(\cos x ; \sin x)\), alors le symétrique est \(M'(\cos x ; -\sin x)\). Donc \(\cos(-x) = \cos x\) (meme abscisse) et \(\sin(-x) = -\sin x\) (ordonnee opposee).
\(\cos x\) et \(\sin x\) sont les coordonnées d’un point du cercle unite (rayon 1). Or les coordonnées d’un point sur un cercle de rayon 1 verifient \(x^2 + y^2 = 1\), donc chaque coordonnee est comprise entre \(-1\) et \(1\).
Ce résultat est admis dans sa demonstration complete (qui utilise la limite \(\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1\), elle-meme admise). L’idee pour \(\sin\) : le taux d’accroissement est \(\frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}\). En utilisant la formule de linearisation \(\sin(x+h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h\), on obtient \(\frac{\sin x(\cos h - 1) + \cos x \sin h}{h}\). Quand \(h \to 0\), \(\frac{\cos h - 1}{h} \to 0\) et \(\frac{\sin h}{h} \to 1\), d’ou \((\sin x)' = \cos x\).
C’est une application directe de la dérivée d’une composée (chapitre 3). Pour \(\sin u\) : on pose \(f(t) = \sin t\), \(f'(t) = \cos t\), donc \((\sin u)' = u' \times \cos u\). De meme pour \(\cos u\) avec \(f'(t) = -\sin t\).
On a \(f'(x) = -\sin x\).
Maximum : \(f(0) = f(2\pi) = 1\). Minimum : \(f(\pi) = -1\).
Periodicite : \(g\) est périodique de période \(\frac{2\pi}{3}\). Amplitude : 2. On a \(g'(x) = 6\cos(3x+1)\).
\(g'(x) = 0 \iff 3x + 1 = \frac{\pi}{2} + k\pi\), soit \(x = \frac{\pi/2 - 1 + k\pi}{3}\) pour \(k \in \mathbb{Z}\).
\(\cos x = \cos a\) signifie que les points du cercle trigonométrique associes a \(x\) et \(a\) ont la meme abscisse. Les deux points ayant une abscisse donnee sur le cercle sont \(a\) et \(-a\) (symétrie par rapport a l’axe des abscisses). Comme les fonctions sont \(2\pi\)-périodiques, on ajoute \(2k\pi\).
\(\sin x = \sin a\) signifie que les points du cercle trigonométrique associes a \(x\) et \(a\) ont la meme ordonnee. Les deux points ayant une ordonnee donnee sur le cercle sont \(a\) et \(\pi - a\) (symétrie par rapport a l’axe des ordonnées). Avec la periodicite, on ajoute \(2k\pi\).
On sait que \(\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\). Donc :
De nombreux phénomènes naturels ou physiques sont decrits par des fonctions sinusoidales de la forme :
\[f(t) = A\sin(\omega t + \varphi) + B \quad \text{ou} \quad f(t) = A\cos(\omega t + \varphi) + B\]
Reprenons le modele de l’introduction : \(h(t) = 4 + 3\cos\!\left(\frac{2\pi}{12{,}42}\,t\right)\).
La duree du jour \(D(j)\) (en heures) a Paris peut etre approchee par :
\[D(j) = 12 + 4\sin\!\left(\frac{2\pi}{365}(j - 80)\right)\]
ou \(j\) est le numero du jour dans l’annee. La duree varie entre 8 h (solstice d’hiver) et 16 h (solstice d’ete), avec une période de 365 jours.
Pour approfondir, d'autres applets s'ouvrent en plein écran dans un nouvel onglet :
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| Propriete | Formule |
|---|---|
| Relation fondamentale | \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\) |
| Periodicite | \(\sin(x + 2\pi) = \sin x\), \(\cos(x + 2\pi) = \cos x\) |
| Parite (cos) | \(\cos(-x) = \cos x\) |
| Imparite (sin) | \(\sin(-x) = -\sin x\) |
| Dérivée de sin | \((\sin x)' = \cos x\) |
| Dérivée de cos | \((\cos x)' = -\sin x\) |
| Équation \(\cos x = \cos a\) | \(x = a + 2k\pi\) ou \(x = -a + 2k\pi\) |
| Équation \(\sin x = \sin a\) | \(x = a + 2k\pi\) ou \(x = \pi - a + 2k\pi\) |
| Sinusoide | \(f(t) = A\sin(\omega t + \varphi) + B\), période \(T = \frac{2\pi}{\omega}\) |
On a \(h(t) = 4 + 3\cos\!\left(\frac{2\pi}{12{,}42}\,t\right)\).
Maree haute : quand \(\cos(\cdots) = 1\), soit \(t = 0, 12{,}42, 24{,}84, \ldots\). La hauteur est alors \(h = 4 + 3 = 7\) m.
Hauteur de 5,5 m : on resout \(4 + 3\cos\!\left(\frac{2\pi}{12{,}42}\,t\right) = 5{,}5\), soit \(\cos\!\left(\frac{2\pi}{12{,}42}\,t\right) = \frac{1}{2}\).
Donc \(\frac{2\pi}{12{,}42}\,t = \pm\frac{\pi}{3} + 2k\pi\), ce qui donne \(t \approx 2{,}07 + 12{,}42k\) ou \(t \approx 10{,}35 + 12{,}42k\) (en heures).
La hauteur vaut 5,5 m environ 2 h apres et 2 h avant chaque maree haute.
On resout \(12 + 10\sin\!\left(\frac{2\pi}{365}(j-100)\right) = 22\), soit \(\sin\!\left(\frac{2\pi}{365}(j-100)\right) = 1\).
La fonction sinus vaut 1 lorsque son argument vaut \(\frac{\pi}{2}\), donc :
\[\frac{2\pi}{365}(j - 100) = \frac{\pi}{2} \implies j - 100 = \frac{365}{4} \approx 91{,}25\]
Ainsi \(j \approx 191\), ce qui correspond au 10 juillet. C’est le jour le plus chaud en moyenne.
Trigonométrie : teste d’abord ton intuition.
« \(\cos(a + b) = \cos a + \cos b\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux. \(\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b\). Le cosinus n’est pas « lineaire ».
Mini-test : \(\cos(0 + 0) = \cos 0 + \cos 0\) ?
« \((\cos x)' = \sin x\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux. \((\cos x)' = -\sin x\). Le signe moins est crucial et source d’erreurs frequentes.
Mini-test : la tangente a \(y = \cos x\) en \(x = 0\) a pour pente :
« Si \(\cos x = \cos a\), alors \(x = a\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux. \(\cos x = \cos a\) donne \(x = a + 2k\pi\) ou \(x = -a + 2k\pi\). Il y a deux familles de solutions a cause de la parite du cosinus.
Mini-test : \(\cos x = \frac{1}{2}\). Quelles sont les solutions sur \([0 ; 2\pi]\) ?
« \(\sin(90) = 1\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux (en radians). En mathematiques, l’argument est en radians, pas en degrés. \(\sin(90) \approx 0{,}894\), pas 1. C’est \(\sin(\pi/2) = 1\).
Mini-test : \(\cos(\pi)\) vaut :
« La fonction \(t \mapsto \sin(3t)\) a pour période \(3\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux. La période de \(\sin(\omega t)\) est \(T = \frac{2\pi}{\omega}\). Ici \(\omega = 3\), donc \(T = \frac{2\pi}{3}\), pas 3.
Mini-test : la période de \(\cos(2\pi t)\) est :
« \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\) pour tout réel \(x\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
C’est vrai ! C’est la relation fondamentale de la trigonométrie, consequence directe du théorème de Pythagore sur le cercle unite.
Mini-test : si \(\sin x = \frac{3}{5}\) et \(x \in [0;\pi/2]\), alors \(\cos x = ?\)