Terminale — Programme officiel (BO 2019) · Math@mine
On dispose d’une feuille de carton rectangulaire de 30 cm sur 20 cm. On decoupe des carrés identiques de cote \(x\) cm dans chaque coin, puis on replie les bords pour former une boite sans couvercle. Quel cote \(x\) choisir pour que le volume de la boite soit maximal ?
Le calcul differentiel a ete développé independamment par Isaac Newton (1643–1727) en Angleterre et Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) en Allemagne. Newton utilisait les « fluxions » pour decrire le mouvement des planetes, tandis que Leibniz a introduit la notation \(\frac{dy}{dx}\) que nous utilisons encore aujourd’hui.
Leur querelle de priorite est l’une des plus celebres de l’histoire des sciences. C’est pourtant la notation de Leibniz, plus souple et plus suggestive, qui s’est imposee en Europe continentale et qui facilite enormement le calcul des dérivées de fonctions composées.
La courbe de la fonction \(f(x) = x^3 - 3x\) possede exactement un point ou la tangente est horizontale et ou la fonction change de sens de variation (elle passe d’un maximum local a une décroissance). Quelles sont les coordonnées de ce point ?
| Fonction \(f(x)\) | Dérivée \(f'(x)\) | Domaine |
|---|---|---|
| \(k\) (constante) | \(0\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x\) | \(1\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^n\) (\(n \in \mathbb{N}^*\)) | \(nx^{n-1}\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(-\dfrac{1}{x^2}\) | \(\mathbb{R}^*\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) | \(]0;+\infty[\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\ln x\) | \(\dfrac{1}{x}\) | \(]0;+\infty[\) |
(Voir chapitre 4 pour la définition et les propriétés de ln.)
Rappel : \(f'(a) = \lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}\).
\(f(x) = k\) constante. \(\dfrac{k - k}{h} = 0 \to 0\). Donc \(f' = 0\).
\(f(x) = x^n\) avec \(n \in \mathbb{N}^*\). Par la formule du binôme :
\((x+h)^n - x^n = \binom{n}{1} x^{n-1} h + \binom{n}{2} x^{n-2} h^2 + \cdots + h^n.\)
En divisant par \(h\) et en faisant tendre \(h \to 0\), tous les termes contenant \(h^k\) avec \(k \ge 1\) disparaissent, et il reste \(n x^{n-1}\).
\(f(x) = 1/x\). \(\dfrac{1/(x+h) - 1/x}{h} = \dfrac{x - (x+h)}{h\cdot x(x+h)} = \dfrac{-1}{x(x+h)} \to \dfrac{-1}{x^2}\).
\(f(x) = \sqrt{x}\). \(\dfrac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h}\). On multiplie par la quantité conjuguée :
\(= \dfrac{(\sqrt{x+h} - \sqrt{x})(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \dfrac{h}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \dfrac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} \to \dfrac{1}{2\sqrt{x}}.\)
\(f(x) = e^x\). Admis en Maths Complémentaires : la dérivée de \(\exp\) est \(\exp\) (conséquence de la définition \(\exp'(0) = 1\) et de la propriété fonctionnelle \(\exp(a+b) = \exp a\cdot\exp b\), voir Première).
\(f(x) = \ln x\). Comme \(\ln\) est la réciproque de \(\exp\), on pose \(y = \ln x\), soit \(e^y = x\). En dérivant des deux côtés par rapport à \(x\) : \(e^y \cdot y' = 1\), donc \(y' = 1/e^y = 1/x\). ∎
On utilise partout le taux d’accroissement \(\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}\) et ses limites.
Somme \((u+v)' = u' + v'\).
\(\dfrac{(u+v)(x+h) - (u+v)(x)}{h} = \dfrac{u(x+h) - u(x)}{h} + \dfrac{v(x+h) - v(x)}{h} \to u'(x) + v'(x).\)
Produit par une constante \((ku)' = ku'\). Cas particulier du produit avec \(v = k\) constante (d’où \(v' = 0\)) :
\(\dfrac{k\,u(x+h) - k\,u(x)}{h} = k \cdot \dfrac{u(x+h) - u(x)}{h} \to k\,u'(x).\)
Produit \((uv)' = u'v + uv'\). On écrit :
\(u(x+h)v(x+h) - u(x)v(x) = \underbrace{\bigl[u(x+h) - u(x)\bigr]v(x+h)}_{\to\, u'(x)v(x)\,\text{(en divisant par }h\text{)}} + u(x)\underbrace{\bigl[v(x+h) - v(x)\bigr]}_{\to\, v'(x)\,\text{(en divisant par }h\text{)}}.\)
En divisant par \(h\) et en passant à la limite (\(v\) continue donc \(v(x+h) \to v(x)\)) : \(u'v + uv'\).
Inverse \((1/v)' = -v'/v^2\). Pour \(v(x) \neq 0\) :
\(\dfrac{1/v(x+h) - 1/v(x)}{h} = \dfrac{v(x) - v(x+h)}{h \cdot v(x+h)\,v(x)} = -\dfrac{v(x+h) - v(x)}{h} \cdot \dfrac{1}{v(x+h)\,v(x)} \to -\dfrac{v'(x)}{v(x)^2}.\)
Quotient \((u/v)' = (u'v - uv')/v^2\). C’est le produit de \(u\) par \(1/v\) :
\(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \left(u \cdot \dfrac{1}{v}\right)' = u' \cdot \dfrac{1}{v} + u \cdot \left(\dfrac{1}{v}\right)' = \dfrac{u'}{v} - \dfrac{u v'}{v^2} = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}.\) ∎
Soit \(f(x) = x^2 e^x\). On pose \(u(x) = x^2\) et \(v(x) = e^x\).
\(u'(x) = 2x\) et \(v'(x) = e^x\).
Par la formule du produit : \(f'(x) = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x = e^x(2x + x^2) = x(x+2)e^x\).
L’idee repose sur le taux d’accroissement. Pour \(h\) petit :
\(\frac{f(u(x+h)) - f(u(x))}{h} = \frac{f(u(x+h)) - f(u(x))}{u(x+h) - u(x)} \times \frac{u(x+h) - u(x)}{h}\)
Quand \(h \to 0\), le premier facteur tend vers \(f'(u(x))\) et le second vers \(u'(x)\). D’ou \((f \circ u)'(x) = u'(x) \times f'(u(x))\).
(La demonstration rigoureuse, qui traite le cas ou \(u(x+h) = u(x)\), est admise a ce niveau.)
| Fonction | Dérivée | Condition |
|---|---|---|
| \(\bigl[u(x)\bigr]^n\) | \(n \, u'(x) \bigl[u(x)\bigr]^{n-1}\) | \(n \in \mathbb{Z}\) |
| \(\sqrt{u(x)}\) | \(\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}\) | \(u(x) > 0\) |
| \(\dfrac{1}{u(x)}\) | \(-\dfrac{u'(x)}{\bigl[u(x)\bigr]^2}\) | \(u(x) \neq 0\) |
Chacune de ces formules est une application directe du théorème \((f \circ u)' = u' \cdot f'(u)\) ci-dessus.
\(\bigl[u(x)\bigr]^n\) avec \(n \in \mathbb{N}^*\). On pose \(f(t) = t^n\), donc \(f'(t) = n t^{n-1}\). D’où :
\(\bigl(u^n\bigr)'(x) = u'(x) \cdot f'(u(x)) = u'(x) \cdot n\,u(x)^{n-1} = n\,u'(x)\,u(x)^{n-1}.\)
\(\sqrt{u(x)}\) avec \(u(x) > 0\). On pose \(f(t) = \sqrt{t}\), donc \(f'(t) = \dfrac{1}{2\sqrt{t}}\). D’où :
\(\bigl(\sqrt{u}\bigr)'(x) = u'(x) \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{u(x)}} = \dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}.\)
\(\dfrac{1}{u(x)}\) avec \(u(x) \neq 0\). On pose \(f(t) = 1/t\), donc \(f'(t) = -1/t^2\). D’où :
\(\left(\dfrac{1}{u}\right)'(x) = u'(x) \cdot \dfrac{-1}{u(x)^2} = -\dfrac{u'(x)}{u(x)^2}.\)
Cas \(n = -1, -2, \ldots\). Pour \(n \in \mathbb{Z}_-\), on écrit \(u^n = 1/u^{|n|}\) et on combine les formules précédentes. ∎
Calculer la dérivée de \(g(x) = (3x+1)^5\).
On pose \(u(x) = 3x+1\), donc \(u'(x) = 3\) et \(f(t) = t^5\), donc \(f'(t) = 5t^4\).
\(g'(x) = u'(x) \times f'\bigl(u(x)\bigr) = 3 \times 5(3x+1)^4 = 15(3x+1)^4\).
Calculer la dérivée de \(h(x) = \sqrt{2x^2 + 3}\).
On pose \(u(x) = 2x^2 + 3\), donc \(u'(x) = 4x\).
\(h'(x) = \dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} = \dfrac{4x}{2\sqrt{2x^2+3}} = \dfrac{2x}{\sqrt{2x^2+3}}\).
C’est un cas particulier de la dérivée d’une composée (section 2) avec \(f(t) = e^t\), donc \(f'(t) = e^t\) :
\((e^{u})' = u' \times f'(u) = u' \times e^u\).
Soit \(f(x) = e^{3x^2 - 1}\). On pose \(u(x) = 3x^2 - 1\), donc \(u'(x) = 6x\).
\(f'(x) = 6x \, e^{3x^2 - 1}\).
C’est un cas particulier de la dérivée d’une composée avec \(f(t) = \ln t\), donc \(f'(t) = \frac{1}{t}\) (chapitre 4) :
\((\ln u)' = u' \times f'(u) = u' \times \frac{1}{u} = \frac{u'}{u}\).
Soit \(g(x) = \ln(x^2 + 1)\). On pose \(u(x) = x^2 + 1\), donc \(u'(x) = 2x\).
Comme \(x^2 + 1 > 0\) pour tout réel \(x\), la fonction est bien définie et :
\(g'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}\).
Derivons \(f(x) = \ln\!\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)\) pour \(x > 1\).
On ecrit \(f(x) = \ln(x+1) - \ln(x-1)\) (propriété du logarithme).
\(f'(x) = \dfrac{1}{x+1} - \dfrac{1}{x-1} = \dfrac{(x-1) - (x+1)}{(x+1)(x-1)} = \dfrac{-2}{x^2 - 1}\).
Domaine : \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\).
Dérivée : \(f'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(1-x)\).
Signe : Comme \(e^{-x} > 0\) pour tout \(x\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \((1-x)\) :
Maximum : \(f(1) = 1 \times e^{-1} = \dfrac{1}{e} \approx 0{,}368\).
Limites : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x \, e^{-x} = 0\) (croissance comparee) et \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x \, e^{-x} = -\infty\).
Un agriculteur dispose de 100 m de cloture pour delimiter un enclos rectangulaire le long d’un mur (un seul cote n’a pas besoin de cloture). Quelles dimensions maximisent l’aire ?
Mise en équation : Soit \(x\) la largeur (les deux cotes perpendiculaires au mur). La longueur est \(L = 100 - 2x\). L’aire est \(A(x) = x(100 - 2x) = 100x - 2x^2\), avec \(0 < x < 50\).
Dérivée : \(A'(x) = 100 - 4x\).
Annulation : \(A'(x) = 0 \iff x = 25\).
Verification : \(A'(x) > 0\) pour \(x < 25\) et \(A'(x) < 0\) pour \(x > 25\), donc \(A\) admet un maximum en \(x = 25\).
Conclusion : L’enclos optimal mesure 25 m de large et 50 m de long, pour une aire de \(A(25) = 1250\) m\(^2\).
Ce résultat est admis dans sa demonstration rigoureuse. Intuitivement, \(f'' \geq 0\) signifie que \(f'\) est croissante, donc la pente de la tangente augmente : la courbe « s’incurve vers le haut » (convexe). Inversement, \(f'' \leq 0\) signifie que la pente diminue : la courbe « s’incurve vers le bas » (concave).
Si \(f''\) change de signe en \(a\), alors la convexite change :
Dans les deux cas, la tangente au point \((a, f(a))\) traverse la courbe : c’est un point d’inflexion.
Soit \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\).
\(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9\) et \(f''(x) = 6x - 12\).
\(f''(x) = 0 \iff x = 2\).
Pour \(x < 2\) : \(f''(x) < 0\) (concave). Pour \(x > 2\) : \(f''(x) > 0\) (convexe).
\(f''\) change de signe en \(x = 2\), donc \(\bigl(2\,;\,f(2)\bigr) = (2\,;\,3)\) est un point d’inflexion.
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| \(e^{u(x)}\) | \(u'(x)\,e^{u(x)}\) |
| \(\ln\bigl(u(x)\bigr)\) | \(\dfrac{u'(x)}{u(x)}\) |
| \(\bigl[u(x)\bigr]^n\) | \(n\,u'(x)\bigl[u(x)\bigr]^{n-1}\) |
| \(\sqrt{u(x)}\) | \(\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}\) |
Le volume de la boite est \(V(x) = x(30-2x)(20-2x) = 4x^3 - 100x^2 + 600x\), avec \(0 < x < 10\).
\(V'(x) = 12x^2 - 200x + 600 = 4(3x^2 - 50x + 150)\).
On resout \(3x^2 - 50x + 150 = 0\). Le discriminant est \(\Delta = 2500 - 1800 = 700\).
\(x = \dfrac{50 \pm \sqrt{700}}{6} = \dfrac{50 \pm 10\sqrt{7}}{6} = \dfrac{25 \pm 5\sqrt{7}}{3}\).
On obtient \(x_1 \approx 3{,}92\) cm et \(x_2 \approx 12{,}74\) cm. Seule \(x_1\) est dans \(]0;10[\).
Le volume maximal est \(V(x_1) \approx 1056{,}3\) cm\(^3\), obtenu pour un cote de decoupe d’environ 3,92 cm.
On calcule \(f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)\).
\(f'(x) = 0\) pour \(x = -1\) ou \(x = 1\).
Signe de \(f'\) : positive sur \(]-\infty;-1[\), négative sur \(]-1;1[\), positive sur \(]1;+\infty[\).
Donc \(f\) admet un maximum local en \(x = -1\) : \(f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = 2\).
Le point cherche est \((-1\,;\,2)\).
Dérivation et convexite : teste d’abord ton intuition.
« \((uv)' = u'v'\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux. La formule correcte est \((uv)' = u'v + uv'\). Le produit des dérivées n’est pas la dérivée du produit !
Mini-test : \((x \cdot e^x)' = ?\)
« \((e^{3x})' = e^{3x}\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux. Il faut appliquer la dérivation en chaine : \((e^{u})' = u' \cdot e^{u}\). Ici \(u = 3x\), \(u' = 3\), donc \((e^{3x})' = 3e^{3x}\).
Mini-test : \((\ln(2x+1))' = ?\)
« Si \(f'(a) = 0\), alors \(f\) a un extremum en \(a\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux. \(f'(a) = 0\) est une condition necessaire mais pas suffisante. La fonction \(f(x) = x^3\) a \(f'(0) = 0\) mais \(0\) n’est pas un extremum (c’est un point d’inflexion).
Mini-test : \(f(x) = x^4\). \(f'(0) = 0\). Y a-t-il un extremum en 0 ?
« Si \(f' \geq 0\), alors \(f\) est convexe. »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux. \(f' \geq 0\) signifie que \(f\) est croissante, pas qu’elle est convexe. La convexite depend du signe de \(f''\), pas de \(f'\).
Mini-test : \(f(x) = \ln x\) sur \(]0;+\infty[\). \(f' = \frac{1}{x} > 0\). La fonction est-elle convexe ?
« \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'}{v'}\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux. La dérivée d’un quotient est \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\). Erreur classique de confondre avec un quotient de dérivées.
Mini-test : \(\left(\frac{x}{x+1}\right)' = ?\)
« Un point d’inflexion est un point ou \(f''\) change de signe. »
Cette affirmation est-elle correcte ?
C’est vrai ! Un point d’inflexion est un point ou la courbe change de concavite, ce qui se traduit par un changement de signe de \(f''\).
Mini-test : \(f(x) = x^3 - 3x\). Le point d’inflexion est en :