Terminale — Programme officiel (BO 2019) · Math@mine
Une voiture roule sur une route. Son compteur kilometrique indique la distance \(d(t)\) parcourue en fonction du temps. Pour connaitre sa vitesse a l’instant \(t_0\), on calcule la vitesse moyenne entre \(t_0\) et \(t_0 + h\) :
\(\displaystyle v_{\text{moy}} = \frac{d(t_0 + h) - d(t_0)}{h}\)
Pendant deux siecles, Newton et Leibniz ont utilise les limites et les dérivées de facon intuitive, parlant de quantites « infiniment petites ». Ce n’est qu’au XIXe siecle que Augustin-Louis Cauchy (1821) puis Karl Weierstrass ont donne une definition rigoureuse de la limite, avec la celebre formulation « epsilon-delta ».
Le théorème des valeurs intermediaires, attribue a Bernard Bolzano (1817), est un résultat fondamental qui parait évident geometriquement mais dont la demonstration necessite les propriétés profondes des nombres réels.
Montrer que l’équation \(x^5 + x - 1 = 0\) admet au moins une solution dans l’intervalle \([0 ; 1]\), sans la calculer.
Soit \(f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}\) définie pour \(x \neq 1\).
On simplifie : \(f(x) = \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 1\) pour \(x \neq 1\).
Donc \(\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = 1 + 1 = 2\), bien que \(f(1)\) ne soit pas défini.
Soit \(g(x) = \dfrac{|x|}{x}\). Pour \(x > 0\), \(g(x) = 1\). Pour \(x < 0\), \(g(x) = -1\).
Donc \(\displaystyle \lim_{x \to 0^+} g(x) = 1\) et \(\displaystyle \lim_{x \to 0^-} g(x) = -1\). Les limites a gauche et a droite sont differentes : \(g\) n’a pas de limite en 0.
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = +\infty\) car lorsque \(x\) est proche de 0, \(\frac{1}{x^2}\) prend des valeurs tres grandes.
Ces résultats sont admis (justification intuitive). Ils se verifient sur les courbes des fonctions correspondantes. Par exemple, \(\frac{1}{x} \to 0\) car diviser 1 par des nombres de plus en plus grands donne des résultats de plus en plus petits. Pour \(q^n\) avec \(|q| < 1\), voir le chapitre 1.
| \(\lim f\) | \(\lim g\) | \(\lim (f + g)\) |
|---|---|---|
| \(\ell\) | \(\ell'\) | \(\ell + \ell'\) |
| \(\ell\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) |
| \(+\infty\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) |
| \(-\infty\) | \(+\infty\) | FI |
FI = forme indeterminee.
Les règles d’operations sur les limites sont admises. Elles decoulent de la definition rigoureuse des limites de fonctions (analogue a celle des suites, chapitre 1). Le cas \(-\infty + \infty\) est indetermine car le résultat depend des « vitesses » respectives de croissance des deux fonctions.
| \(\lim f\) | \(\lim g\) | \(\lim (f \times g)\) |
|---|---|---|
| \(\ell\) | \(\ell'\) | \(\ell \times \ell'\) |
| \(\ell > 0\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) |
| \(\ell < 0\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) |
| \(0\) | \(\pm\infty\) | FI |
| \(+\infty\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) |
Ces règles sont admises au programme des Maths Complémentaires. Elles s’établissent rigoureusement à partir de la définition \(\varepsilon\)-\(A\) des limites, qui dépasse le cadre de la terminale.
Intuition (cas \(\ell \times \ell'\)). Si \(f(x) \to \ell\) et \(g(x) \to \ell'\), alors pour \(x\) proche de la valeur cible, \(f(x) \approx \ell\) et \(g(x) \approx \ell'\), donc \(f(x)g(x) \approx \ell \ell'\).
Intuition (cas \(\ell > 0\) et \(g \to +\infty\)). Pour \(x\) grand, \(f(x)\) reste proche de \(\ell > 0\) (disons \(f(x) \ge \ell/2\)) et \(g(x)\) devient arbitrairement grand. Donc \(f(x)g(x) \ge (\ell/2)\cdot g(x) \to +\infty\).
Forme indéterminée \(0 \times \infty\). Exemples :
Le résultat dépend des « vitesses » : d’où la forme indéterminée. ∎
| \(\lim f\) | \(\lim g\) | \(\lim \frac{f}{g}\) |
|---|---|---|
| \(\ell\) | \(\ell' \neq 0\) | \(\frac{\ell}{\ell'}\) |
| \(\ell \neq 0\) | \(0\) | \(\pm\infty\) (selon les signes) |
| \(0\) | \(0\) | FI |
| \(\pm\infty\) | \(\pm\infty\) | FI |
Les règles sont admises. Elles se démontrent à partir de la définition rigoureuse des limites (hors programme de Maths Complémentaires).
Lien avec le produit. La formule \(\dfrac{f}{g} = f \times \dfrac{1}{g}\) permet de se ramener aux règles du produit, à condition de connaître \(\lim \dfrac{1}{g}\).
Formes indéterminées.
D’où les formes indéterminées. ∎
Les quatre formes indeterminees classiques sont :
\(+\infty - \infty\) \(\quad\) \(0 \times \infty\) \(\quad\) \(\dfrac{\infty}{\infty}\) \(\quad\) \(\dfrac{0}{0}\)
Calculons \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3 - x + 4}{5x^3 + 3x^2}\).
On factorise par \(x^3\) : \(\dfrac{2x^3 - x + 4}{5x^3 + 3x^2} = \dfrac{2 - \frac{1}{x^2} + \frac{4}{x^3}}{5 + \frac{3}{x}}\).
Lorsque \(x \to +\infty\), les termes en \(\frac{1}{x}\), \(\frac{1}{x^2}\), \(\frac{1}{x^3}\) tendent vers 0 : la limite est \(\dfrac{2}{5}\).
Calculons \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + x} - x\right)\).
On multiplie par le conjugue :
\(\sqrt{x^2 + x} - x = \dfrac{(\sqrt{x^2+x} - x)(\sqrt{x^2+x} + x)}{\sqrt{x^2+x} + x} = \dfrac{x^2 + x - x^2}{\sqrt{x^2+x} + x} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+x} + x}\).
On factorise par \(x\) (pour \(x > 0\)) : \(\dfrac{x}{x(\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1)} = \dfrac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1}\).
Quand \(x \to +\infty\) : \(\dfrac{1}{\sqrt{1} + 1} = \dfrac{1}{2}\).
Calculons \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x^2 \, e^{-x}\).
On ecrit \(x^2 \, e^{-x} = \dfrac{x^2}{e^x}\). Par croissances comparees, l’exponentielle l’emporte sur toute puissance de \(x\), donc la limite est \(0\).
Soit \(f(x) = \dfrac{2x^2 + 1}{x - 1}\).
Asymptote verticale : \(x = 1\) (annule le dénominateur mais pas le numérateur).
Asymptote oblique : Division euclidienne : \(2x^2 + 1 = (x-1)(2x + 2) + 3\).
Donc \(f(x) = 2x + 2 + \frac{3}{x-1}\). Comme \(\frac{3}{x-1} \to 0\) quand \(x \to \pm\infty\), la droite \(y = 2x + 2\) est asymptote oblique.
Ce résultat est admis (justification intuitive). La continuite des fonctions elementaires (polynomes, racine, exp, ln, sin, cos) se verifie sur leurs courbes : elles se tracent « sans lever le crayon ». La stabilite par somme, produit, quotient et composée se demontre a partir de la definition rigoureuse de la limite.
Ce résultat est admis (justification intuitive). Le TVI repose sur la propriété fondamentale des nombres réels (completude). Intuitivement, une courbe continue qui passe de la valeur \(f(a)\) a la valeur \(f(b)\) doit prendre toutes les valeurs intermediaires : on ne peut pas « sauter » par-dessus une valeur sans lever le crayon.
Existence : par le TVI (théorème precedent), puisque \(f\) est continue sur \([a;b]\) et \(k\) est compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe au moins un \(c\) tel que \(f(c) = k\).
Unicite : supposons qu’il existe deux solutions \(c_1 < c_2\) avec \(f(c_1) = f(c_2) = k\). Si \(f\) est strictement croissante, alors \(c_1 < c_2\) implique \(f(c_1) < f(c_2)\), ce qui contredit \(f(c_1) = f(c_2)\). Meme raisonnement si \(f\) est strictement décroissante. Donc la solution est unique.
Montrons que l’équation \(e^x = 3x\) admet une solution dans \([1 ; 2]\).
Posons \(f(x) = e^x - 3x\). La fonction \(f\) est continue sur \([1 ; 2]\) (difference de fonctions continues).
\(f(1) = e - 3 \approx 2{,}718 - 3 = -0{,}282 < 0\).
\(f(2) = e^2 - 6 \approx 7{,}389 - 6 = 1{,}389 > 0\).
Comme \(f\) est continue sur \([1 ; 2]\) et que \(f(1) < 0 < f(2)\), par le TVI, il existe \(c \in ]1 ; 2[\) tel que \(f(c) = 0\), c’est-a-dire \(e^c = 3c\).
Reprenons \(f(x) = e^x - 3x\) sur \([1 ; 2]\). Milieu : \(1{,}5\). \(f(1{,}5) = e^{1,5} - 4{,}5 \approx 4{,}482 - 4{,}5 = -0{,}018 < 0\).
Donc \(c \in [1{,}5 ; 2]\). Milieu : \(1{,}75\). \(f(1{,}75) = e^{1,75} - 5{,}25 \approx 5{,}755 - 5{,}25 = 0{,}505 > 0\).
Donc \(c \in [1{,}5 ; 1{,}75]\). On continue ainsi pour obtenir une precision arbitraire.
| Notion | Résultat cle |
|---|---|
| Limite finie en \(a\) | \(\lim_{x \to a} f(x) = \ell\) : \(f(x)\) aussi proche de \(\ell\) que voulu |
| Limite infinie | \(\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty\) : asymptote verticale \(x = a\) |
| Limite en l’infini | \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell\) : asymptote horizontale \(y = \ell\) |
| Formes indeterminees | \(+\infty - \infty\), \(0 \times \infty\), \(\frac{0}{0}\), \(\frac{\infty}{\infty}\) |
| Asymptote oblique | \(y = mx + p\) si \(\lim [f(x) - mx - p] = 0\) |
| Continuite en \(a\) | \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\) |
| TVI | \(f\) continue, \(f(a)\) et \(f(b)\) de signes contraires ⟹ \(\exists\, c,\ f(c)=0\) |
| TVI + monotonie | Continue et strictement monotone ⟹ solution unique |
La vitesse moyenne entre \(t_0\) et \(t_0 + h\) est \(v_{\text{moy}} = \dfrac{d(t_0+h) - d(t_0)}{h}\).
Lorsque \(h \to 0\), ce rapport tend vers la dérivée \(d'(t_0)\), qui est la vitesse instantanée au temps \(t_0\).
Par exemple, si \(d(t) = 5t^2\) (acceleration uniforme), alors \(\dfrac{d(t_0+h)-d(t_0)}{h} = \dfrac{5(t_0+h)^2 - 5t_0^2}{h} = 10t_0 + 5h\).
La limite quand \(h \to 0\) est \(10t_0\). A \(t_0 = 3\) s, la vitesse instantanée est \(30\) m/s.
C’est le passage a la limite qui transforme une vitesse moyenne (approximative) en vitesse instantanée (exacte).
Posons \(f(x) = x^5 + x - 1\). La fonction \(f\) est continue sur \([0 ; 1]\) (somme de fonctions continues).
\(f(0) = 0 + 0 - 1 = -1 < 0\) et \(f(1) = 1 + 1 - 1 = 1 > 0\).
Par le théorème des valeurs intermediaires, comme \(f\) est continue et change de signe sur \([0;1]\), il existe \(c \in ]0;1[\) tel que \(f(c) = 0\).
(On peut preciser : \(c \approx 0{,}7549\), mais le TVI suffit a prouver l’existence.)
Limites de fonctions : teste d’abord ton intuition.
« \(\dfrac{+\infty}{+\infty} = 1\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux. \(\frac{\infty}{\infty}\) est une forme indeterminee : le résultat depend des fonctions. Par exemple \(\frac{n^2}{n} \to +\infty\) mais \(\frac{n}{n^2} \to 0\) et \(\frac{3n}{n} \to 3\).
Mini-test : \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3}{x^2+1} = ?\)
« Une courbe ne peut jamais couper son asymptote horizontale. »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux. La fonction \(f(x) = \frac{\sin x}{x}\) a pour asymptote \(y = 0\) en \(+\infty\), mais la courbe coupe l’axe des abscisses une infinite de fois (en \(x = k\pi\)).
Mini-test : \(f(x) = 1 + \frac{\cos x}{x}\) a une asymptote \(y = 1\). La courbe la coupe-t-elle ?
« Si \(f\) est définie en \(a\), alors \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux. Etre définie en \(a\) ne garantit pas la continuite. La fonction définie par \(f(x) = 0\) si \(x \neq 0\) et \(f(0) = 1\) est définie en 0, mais \(\lim_{x \to 0} f(x) = 0 \neq f(0) = 1\).
Mini-test : la partie entiere \(E(x)\) est définie en 2 avec \(E(2) = 2\). Est-elle continue en 2 ?
« \(+\infty - \infty = 0\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux. \(\infty - \infty\) est une forme indeterminee. Exemples : \(n - n = 0\), mais \(n^2 - n \to +\infty\), et \(n - n^2 \to -\infty\).
Mini-test : \(\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x+1} - \sqrt{x}) = ?\)
« Si \(f\) est continue sur \([a;b]\) avec \(f(a) < 0\) et \(f(b) > 0\), alors l’équation \(f(x) = 0\) a une unique solution. »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux. Le TVI garantit l'existence d’au moins une solution, pas l’unicite. Pour l’unicite, il faut en plus que \(f\) soit strictement monotone sur \([a;b]\).
Mini-test : \(f(x) = x^3 - 3x\) sur \([-2;2]\). \(f(-2) = -2 < 0\), \(f(2) = 2 > 0\). Combien de solutions a \(f(x) = 0\) ?
« \(\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty\) pour tout entier \(n\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
C’est vrai ! L’exponentielle l’emporte toujours sur toute puissance de \(x\) : on dit que l’exponentielle a une croissance comparee plus rapide que tout polynome.
Mini-test : \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x^{100}}{e^x} = ?\)