Exercices — Dérivation — Maths Complémentaires

Dérivées de fonctions composées, applications : variations, optimisation, tangentes, convexité.

Exo 1Calcul de dérivées

Calculer la dérivée de chaque fonction.

\(f(x) = (3x^2 + 1)^4\)
\(g(x) = \dfrac{2x - 1}{x^2 + 1}\)
\(h(x) = \sqrt{x^2 + 5}\)
\(k(x) = e^{-x^2}\)

Voir la correction

1. \(f'(x) = 4 \times 6x \times (3x^2+1)^3 = 24x(3x^2+1)^3\).

2. \(g'(x) = \dfrac{2(x^2+1) - (2x-1)(2x)}{(x^2+1)^2} = \dfrac{-2x^2+2x+2}{(x^2+1)^2}\).

3. \(h'(x) = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+5}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+5}}\).

4. \(k'(x) = -2x\,e^{-x^2}\).

Exo 2Variations et tangente

Soit \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\) sur \(\mathbb{R}\).

Étudier les variations de \(f\).
Donner l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 1.

Voir la correction

1. \(f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)\). Racines 0 et 2. Signe : \(+\) sur \(]-\infty,0[\), \(-\) sur \(]0,2[\), \(+\) sur \(]2,+\infty[\). Max local \(f(0)=2\), min local \(f(2)=-2\).

2. \(f(1) = 1 - 3 + 2 = 0\), \(f'(1) = 3 - 6 = -3\). Tangente : \(y = -3(x-1) + 0 = -3x+3\).

Exo 3Optimisation — boîte sans couvercle

On découpe quatre carrés identiques de côté \(x\) aux coins d'une feuille carrée de côté 12 cm, puis on plie pour former une boîte sans couvercle.

Exprimer le volume \(V(x)\) en fonction de \(x\), avec \(x \in [0, 6]\).
Pour quelle valeur de \(x\) le volume est-il maximal ? Quel est ce volume ?

Voir la correction

1. Base \((12-2x)^2\), hauteur \(x\). \(V(x) = x(12-2x)^2 = 4x(6-x)^2 = 4x^3 - 48x^2 + 144x\).

2. \(V'(x) = 12x^2 - 96x + 144 = 12(x^2 - 8x + 12) = 12(x-2)(x-6)\). Sur \([0,6]\), \(V'\) s'annule en \(x=2\) (max local) et \(x=6\) (bord). \(V(2) = 2 \times 64 = 128\) cm³. Volume max : 128 cm³ pour \(x=2\) cm.

Exo 4Convexité

Soit \(f(x) = x^4 - 6x^2 + 3\).

Calculer \(f''(x)\) et étudier son signe.
En déduire les intervalles de convexité / concavité et les points d'inflexion.

Voir la correction

1. \(f'(x) = 4x^3 - 12x\). \(f''(x) = 12x^2 - 12 = 12(x-1)(x+1)\). \(f''>0\) sur \(]-\infty,-1[\cup]1,+\infty[\), \(f''<0\) sur \(]-1,1[\).

2. Convexe sur \(]-\infty,-1[\) et \(]1,+\infty[\), concave sur \(]-1,1[\). Points d'inflexion en \(x = \pm 1\), \(f(\pm 1) = 1 - 6 + 3 = -2\). Inflexions \((\pm 1, -2)\).