Math@mine / Maths Complémentaires / Ch. 2

Exercices — Limites de fonctions

Maths Complémentaires · Chapitre 2

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Limites en l'infini, limites en un point, formes indéterminées, asymptotes, théorème des gendarmes, croissances comparées.
Exo 1Limites en l'infini

Calculer les limites suivantes en \(+\infty\) :

  1. \(f(x) = 3x^2 - 5x + 1\)
  2. \(g(x) = \dfrac{2x^2 + 1}{x^2 - 3}\)
  3. \(h(x) = \dfrac{2x + 1}{x^2 + 5}\)
  4. \(k(x) = \sqrt{x^2 + x} - x\)
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1. Terme dominant \(3x^2 \to +\infty\). Donc \(f(x) \to +\infty\).

2. Mise en facteur de \(x^2\) : \(g(x) = \dfrac{2 + 1/x^2}{1 - 3/x^2} \to 2\).

3. Le degré du dénominateur est plus grand : \(h(x) \to 0\).

4. Quantité conjuguée : \(k(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} = \dfrac{1}{\sqrt{1+1/x}+1} \to \dfrac{1}{2}\).

Exo 2Limites en un point — formes indéterminées

Calculer :

  1. \(\displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}\)
  2. \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1+x} - 1}{x}\)
  3. \(\displaystyle\lim_{x \to 1^+} \dfrac{1}{x - 1}\)
Voir la correction

1. Factoriser : \(\dfrac{x^2-4}{x-2} = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2 \to 4\).

2. Quantité conjuguée : \(\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{x} = \dfrac{1}{\sqrt{1+x}+1} \to \dfrac{1}{2}\).

3. Quand \(x \to 1^+\), \(x - 1 \to 0^+\), donc \(\dfrac{1}{x-1} \to +\infty\).

Exo 3Asymptotes

Soit \(f(x) = \dfrac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1}\) définie sur \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\).

  1. Factoriser le numérateur. En déduire une expression simplifiée de \(f\).
  2. Étudier les limites de \(f\) en \(\pm\infty\) et en \(1\).
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1. \(2x^2 - 3x + 1 = (x-1)(2x-1)\) (vérification : \((x-1)(2x-1) = 2x^2 - x - 2x + 1\) ✓). Donc pour \(x \neq 1\), \(f(x) = 2x - 1\).

2. Sur le domaine \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\), \(f(x) = 2x - 1\) : \(\lim_{x \to +\infty} f = +\infty\), \(\lim_{x \to -\infty} f = -\infty\), \(\lim_{x \to 1} f = 1\). Pas d'asymptote, mais une discontinuité supprimable en \(x=1\).

Exo 4Théorème des gendarmes

Soit \(f(x) = \dfrac{\sin x}{x}\) définie sur \(\mathbb{R}^*\).

  1. Montrer que pour tout \(x > 0\), \(-\dfrac{1}{x} \leq f(x) \leq \dfrac{1}{x}\).
  2. En déduire \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)\).
Voir la correction

1. Pour tout \(x\), \(-1 \leq \sin x \leq 1\). Si \(x > 0\), divisons par \(x > 0\) : \(-\dfrac{1}{x} \leq \dfrac{\sin x}{x} \leq \dfrac{1}{x}\).

2. \(-\dfrac{1}{x} \to 0\) et \(\dfrac{1}{x} \to 0\) en \(+\infty\). Par le théorème des gendarmes, \(f(x) \to 0\).

Exo 5Croissances comparées

Calculer en \(+\infty\) :

  1. \(\dfrac{\ln x}{x}\)
  2. \(\dfrac{x^3}{e^x}\)
  3. \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x \ln x\)
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1. Croissance comparée : \(\ln x\) croît moins vite que \(x\), donc \(\dfrac{\ln x}{x} \to 0\).

2. Croissance comparée : \(x^n\) (toute puissance de \(x\)) croît moins vite que \(e^x\), donc \(\dfrac{x^3}{e^x} \to 0\).

3. En \(0^+\), poser \(t = -\ln x \to +\infty\). Alors \(x = e^{-t}\) et \(x \ln x = -t\,e^{-t} \to 0\).