Terminale — Programme officiel (BO 2019) · Math@mine
Vous placez 5 000 euros sur un livret rapportant 3 % d’interets annuels composes. Chaque annee, le capital est multiplie par 1,03. Quel sera le capital au bout de 20 ans ?
En 1202, le mathematicien italien Leonardo Fibonacci publie le Liber Abaci dans lequel il pose un celebre problème de reproduction de lapins. La suite obtenue — 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… — porte desormais son nom.
Une propriété remarquable : le rapport \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) tend vers le nombre d’or \(\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618\), omnipresent dans la nature (spirales de tournesol, coquillages) et dans l’art (proportions du Parthenon).
Une fourmi avance de 1 cm par seconde sur un elastique de 1 m. A la fin de chaque seconde, l’elastique est etire de 1 m supplementaire. La fourmi atteindra-t-elle un jour le bout de l’elastique ?
Somme arithmétique. On ecrit la somme dans les deux sens :
\(S = u_0 + u_1 + \cdots + u_n\) et \(S = u_n + u_{n-1} + \cdots + u_0\).
En additionnant terme a terme : chaque paire vaut \(u_k + u_{n-k} = (u_0 + kr) + (u_0 + (n-k)r) = 2u_0 + nr = u_0 + u_n\). Il y a \(n+1\) paires, donc \(2S = (n+1)(u_0 + u_n)\).
Somme géométrique. On pose \(S = u_0(1 + q + q^2 + \cdots + q^n)\) et on calcule \(qS - S\) :
\(qS = u_0(q + q^2 + \cdots + q^{n+1})\), donc \(qS - S = u_0(q^{n+1} - 1)\), soit \(S(q - 1) = u_0(q^{n+1} - 1)\).
Comme \(q \neq 1\), on divise : \(S = u_0 \times \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}\).
Soit \((u_n)\) arithmétique avec \(u_0 = 3\) et \(r = 5\). Alors \(u_{10} = 3 + 10 \times 5 = 53\).
Somme des 11 premiers termes : \(S = 11 \times \frac{3 + 53}{2} = 11 \times 28 = 308\).
Soit \((v_n)\) géométrique avec \(v_0 = 2\) et \(q = 3\). Alors \(v_5 = 2 \times 3^5 = 486\).
Somme : \(\displaystyle \sum_{k=0}^{5} v_k = 2 \times \frac{1 - 3^6}{1 - 3} = 2 \times \frac{1 - 729}{-2} = 728\).
Soit \(u_n = n^2 - 4n\). Calculons \(u_{n+1} - u_n\) :
\(u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - 4(n+1) - (n^2 - 4n) = 2n + 1 - 4 = 2n - 3\).
Pour \(n \geq 2\), on a \(2n - 3 \geq 1 > 0\) : la suite est strictement croissante a partir du rang 2.
La suite \(u_n = \dfrac{n}{n+1}\) est minoree par 0 (car \(u_n > 0\) pour tout \(n \geq 0\)) et majoree par 1 (car \(\frac{n}{n+1} < 1\)). Elle est donc bornee.
La suite \(v_n = (-1)^n\) prend alternativement les valeurs 1 et \(-1\). Elle est bornee (minoree par \(-1\), majoree par 1) mais elle n’est pas monotone.
Ces résultats sont admis (justification intuitive). Par exemple, si \(|q| < 1\), multiplier repetitivement par \(q\) fait tendre le produit vers 0 : \(0{,}5^n\) vaut successivement \(0{,}5\), \(0{,}25\), \(0{,}125\), etc. Si \(q > 1\), chaque multiplication fait grandir le produit sans borne.
Ce résultat est admis (justification intuitive). Si \(u_n\) est aussi proche de \(\ell\) que l’on veut et \(v_n\) aussi proche de \(\ell'\) que l’on veut, alors \(u_n + v_n\) est aussi proche de \(\ell + \ell'\) que l’on veut. Le meme raisonnement s’adapte au produit et au quotient.
Calculons \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{3n^2 + 1}{2n^2 - n}\).
On factorise par \(n^2\) : \(\dfrac{3n^2 + 1}{2n^2 - n} = \dfrac{3 + \frac{1}{n^2}}{2 - \frac{1}{n}}\).
Or \(\frac{1}{n^2} \to 0\) et \(\frac{1}{n} \to 0\), donc \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{3n^2 + 1}{2n^2 - n} = \frac{3}{2}\).
Ce résultat est admis dans sa demonstration rigoureuse. L’idee est simple : si \(v_n\) et \(w_n\) sont tous deux aussi proches de \(\ell\) que l’on veut a partir d’un certain rang, et que \(u_n\) est « coince » entre les deux, alors \(u_n\) est lui aussi aussi proche de \(\ell\) que l’on veut.
Soit \(u_n = \dfrac{\sin(n)}{n}\). On sait que \(-1 \leq \sin(n) \leq 1\), donc :
\(\dfrac{-1}{n} \leq \dfrac{\sin(n)}{n} \leq \dfrac{1}{n}\).
Comme \(\lim \frac{-1}{n} = \lim \frac{1}{n} = 0\), par le théorème des gendarmes : \(\lim u_n = 0\).
Ce résultat est admis (justification intuitive). Il repose sur la propriété de la borne superieure des nombres réels. Intuitivement, une suite croissante majoree « s’accumule » necessairement pres d’une valeur limite : elle ne peut pas croitre indefiniment (elle est majoree) et elle ne peut pas « osciller » (elle est croissante). Le raisonnement est analogue pour une suite décroissante minoree.
Soit \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}\).
Monotonie : On verifie que \(u_1 = \sqrt{3} \approx 1{,}73 > 1 = u_0\). Par recurrence, on montre que la suite est croissante.
Majoration : On montre par recurrence que \(u_n \leq 2\) pour tout \(n\). En effet, si \(u_n \leq 2\), alors \(u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n} \leq \sqrt{4} = 2\).
Conclusion : La suite est croissante et majoree, donc elle converge. Sa limite \(\ell\) verifie \(\ell = \sqrt{2 + \ell}\), soit \(\ell^2 = 2 + \ell\), d’ou \(\ell^2 - \ell - 2 = 0\). Les solutions sont \(\ell = 2\) ou \(\ell = -1\). Comme la suite est positive, \(\ell = 2\).
Chaque annee, le capital est multiplie par \((1+t)\) : \(C_{n+1} = C_n \times (1+t)\). C’est une suite géométrique de raison \(q = 1+t\) et de premier terme \(C_0\). Par la formule du terme général (section 1) : \(C_n = C_0 \times q^n = C_0 \times (1+t)^n\).
Avec \(C_0 = 5\,000\) euros et \(t = 0{,}03\) : \(C_{20} = 5\,000 \times 1{,}03^{20} \approx 5\,000 \times 1{,}8061 \approx 9\,030{,}56\) euros.
Pour doubler la mise, on resout \(1{,}03^n \geq 2\), soit \(n \geq \frac{\ln 2}{\ln 1{,}03} \approx 23{,}4\). Il faut donc 24 annees. (La fonction logarithme est définie au chapitre 4.)
A chaque echeance, le capital restant du est augmente des interets puis diminue de l’annuite : \(V_{k+1} = V_k(1+t) - a\).
Le remboursement est termine quand \(V_n = 0\). En resolvant cette recurrence (suite arithmetico-géométrique), on montre que \(V_k = V_0(1+t)^k - a \cdot \frac{(1+t)^k - 1}{t}\).
La condition \(V_n = 0\) donne \(V_0(1+t)^n = a \cdot \frac{(1+t)^n - 1}{t}\), d’ou \(a = V_0 \times \frac{t}{1 - (1+t)^{-n}}\).
Un emprunt de 10 000 euros sur 5 ans au taux annuel de 4 %.
Annuite constante : \(a = 10\,000 \times \frac{0{,}04}{1 - 1{,}04^{-5}} = 10\,000 \times \frac{0{,}04}{1 - 0{,}8219} \approx 10\,000 \times 0{,}2246 \approx 2\,246{,}27\) euros.
Le cout total du credit est \(5 \times 2\,246{,}27 - 10\,000 = 1\,231{,}35\) euros d’interets.
| Notion | Formule / Résultat |
|---|---|
| Suite arithmétique | \(u_{n+1} = u_n + r\) ; \(u_n = u_0 + nr\) |
| Somme arithmétique | \(S = (n+1)\frac{u_0 + u_n}{2}\) |
| Suite géométrique | \(u_{n+1} = q \cdot u_n\) ; \(u_n = u_0 \cdot q^n\) |
| Somme géométrique | \(S = u_0 \cdot \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}\) |
| Convergence monotone | Croissante + majoree ⟹ converge |
| Gendarmes | \(v_n \leq u_n \leq w_n\) et \(\lim v_n = \lim w_n = \ell\) ⟹ \(\lim u_n = \ell\) |
| Interets composes | \(C_n = C_0(1+t)^n\) |
| Annuite constante | \(a = V_0 \cdot \frac{t}{1-(1+t)^{-n}}\) |
Le capital forme une suite géométrique : \(C_n = 5000 \times 1{,}03^n\).
Au bout de 20 ans : \(C_{20} = 5000 \times 1{,}03^{20} \approx 5000 \times 1{,}8061 \approx 9030{,}56\) euros.
Pour doubler la mise, on cherche \(n\) tel que \(C_n \geq 10\,000\), soit \(1{,}03^n \geq 2\). En prenant le logarithme : \(n \geq \dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}03} \approx 23{,}45\).
Il faut donc 24 ans pour doubler le capital initial.
Comme \(q = 1{,}03 > 1\), la suite diverge vers \(+\infty\) : le capital croit sans limite (en theorie).
À la \(k\)-ième seconde, l'élastique mesure \(k\) mètres (= \(100k\) cm) et la fourmi avance d'1 cm, ce qui représente \(\dfrac{1}{100k}\) de la longueur totale. L'étirement uniforme préserve la fraction déjà parcourue, donc après \(n\) secondes :
\(S_n = \dfrac{1}{100} + \dfrac{1}{200} + \cdots + \dfrac{1}{100n} = \dfrac{1}{100}\!\left(1 + \dfrac{1}{2} + \cdots + \dfrac{1}{n}\right) = \dfrac{H_n}{100}\)
où \(H_n\) est la \(n\)-ième somme partielle de la série harmonique, qui diverge vers \(+\infty\). Donc il existe un rang \(n\) tel que \(S_n \geq 1\) : la fourmi atteint le bout !
(Comme \(H_n \sim \ln n\), il faut \(\ln n \geq 100\), soit \(n \geq e^{100} \approx 2{,}7 \times 10^{43}\) secondes — l'âge de l'univers est environ \(10^{17}\) s.)
Suites numériques : teste d’abord ton intuition.
« Si \(u_{n+1} - u_n = 3\) pour tout \(n\), alors \(u_n = 3n\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux. On a \(u_n = u_0 + 3n\), pas \(3n\). Il manque le premier terme ! Si \(u_0 = 5\), alors \(u_n = 5 + 3n\).
Mini-test : si \(u_0 = 2\) et \(r = 3\), que vaut \(u_{10}\) ?
« \(1 + q + q^2 + \cdots + q^n = \dfrac{1 - q^n}{1 - q}\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux. La somme de \(n+1\) termes est \(\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}\), pas \(\dfrac{1 - q^n}{1 - q}\). Erreur classique d’exposant !
Mini-test : \(1 + 2 + 4 + 8 = ?\)
« Toute suite croissante converge. »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux. La suite \(u_n = n\) est croissante mais diverge vers \(+\infty\). Pour converger, il faut en plus etre majoree (théorème de convergence monotone).
Mini-test : \(u_n = \frac{n}{n+1}\) est croissante. Converge-t-elle ?
« Si \(q > 0\), la suite géométrique \(u_n = u_0 \cdot q^n\) est toujours croissante. »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux. Si \(0 < q < 1\), la suite est décroissante (elle tend vers 0). Et si \(u_0 < 0\), la monotonie est inversee. Il faut regarder le signe de \(u_0\) et la position de \(q\) par rapport a 1.
Mini-test : \(u_n = 100 \times 0{,}5^n\) est :
« \(\lim_{n \to +\infty} \dfrac{n^2 + 1}{n} = +\infty\) car le numérateur tend vers \(+\infty\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux (raisonnement incomplet). Le résultat est correct (\(+\infty\)), mais la justification est fausse. Le numérateur et le dénominateur tendent vers \(+\infty\), c’est une forme indeterminee \(\frac{\infty}{\infty}\). On factorise : \(\frac{n^2+1}{n} = n + \frac{1}{n} \to +\infty\).
Mini-test : \(\lim \frac{3n^2}{n^2+1} = ?\)
« Si \(|q| < 1\), alors \(\lim_{n \to +\infty} q^n = 0\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
C’est vrai ! Si \(-1 < q < 1\), alors \(q^n \to 0\). C’est un résultat fondamental sur les suites géométriques.
Mini-test : \((-0{,}5)^{100}\) est :
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