Ce que vous appelez « triangle de Pascal » ne lui appartient pas. En Iran, c’est le triangle de Khayyam. En Chine, celui de Yang Hui. En Italie, celui de Tartaglia. Chaque civilisation l’a baptisé, redécouvert, exploité — et y a trouvé des secrets différents.
Mais d’abord, rappelons la règle du jeu. Elle tient en une phrase :
On place un 1 au sommet. Chaque nombre est la somme des deux nombres juste au-dessus de lui (en complétant par 0 sur les bords).
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
Exemple : le 6 de la ligne 4 vaut \(3 + 3\). Rien de plus. Et pourtant, ce mécanisme engendre une quantité vertigineuse de propriétés.
Vers l’an 1000, le mathématicien Abu Bakr al-Karaji travaille à Bagdad, au cœur de l'âge d’or de la science arabe. Dans son traité al-Fakhri, il cherche à développer \((a+b)^n\) pour n’importe quel entier \(n\). Sans calculatrice, sans notation moderne — juste avec des tables écrites à la main.
Il découvre la loi de construction récurrente : chaque coefficient du développement s’obtient en additionnant deux coefficients de la puissance précédente. C’est exactement la règle du triangle. Mais il va plus loin : il est le premier à esquisser un raisonnement par récurrence, six siècles avant Pascal.
Avant al-Karaji, on calculait \((a+b)^3\), \((a+b)^4\) au cas par cas, en multipliant à chaque fois. Sa méthode permet de passer de n’importe quelle puissance à la suivante par simple addition. Il transforme un calcul multiplicatif en un calcul additif — un gain considérable.
Un siècle plus tard, son héritier intellectuel al-Samawal (Bagdad, XIIe siècle) prolongera ce travail en démontrant la formule générale du binôme de Newton — 500 ans avant Newton. Il en donne une preuve complète par récurrence, avec une clarté qui étonne encore les historiens.
Lire l’article : Al-Samawal et le binôme →
Utilise la règle d’al-Karaji pour construire la ligne \(n=5\) du triangle à partir de la ligne \(n=4\) (qui est 1, 4, 6, 4, 1).
On ajoute des 0 aux bords : 0, 1, 4, 6, 4, 1, 0. Puis on additionne par paires :
\(0+1=1\), \(1+4=5\), \(4+6=10\), \(6+4=10\), \(4+1=5\), \(1+0=1\).
Ligne 5 : 1, 5, 10, 10, 5, 1. Somme = 32 = \(2^5\).
Vous connaissez peut-être Omar Khayyam (1048–1131) pour ses poèmes — les Rubáiyát, traduits en dizaines de langues. Mais Khayyam était d’abord un mathématicien redoutable. Il a proposé la première classification complète des équations cubiques (19 types différents !), et utilisé l’intersection de coniques — paraboles, hyperboles — pour les résoudre géométriquement.
Pour ses calculs, il avait besoin des coefficients du développement de \((a+b)^n\). Il affirme dans son Traité d’algèbre : « J’ai trouvé une règle pour déterminer les coefficients sans multiplier, et je la démontrerai dans un autre ouvrage. » Cet ouvrage promis n’a jamais été retrouvé — s’il a existé.
En Iran aujourd’hui, on dit « le triangle de Khayyam » (مثلث خیام). En Italie, c’est « il triangolo di Tartaglia ». En France, celui de Pascal. Le même objet, quatre noms, trois continents, mille ans d’orgueil mathématique.
Khayyam a aussi réformé le calendrier persan avec une précision supérieure au calendrier grégorien (une erreur d’un jour en 5 000 ans, contre un jour en 3 236 ans pour Grégoire XIII). Son collègue al-Biruni avait mesuré la Terre à 0,5% près.
En Chine, le triangle apparaît dès le XIe siècle dans les travaux de Jia Xian (~1010–1070), un mathématicien dont l’ouvrage original est perdu mais dont la méthode a été transmise et citée par Yang Hui en 1261.
Mais c’est Zhu Shijie qui nous a laissé le trésor : en 1303, dans son Siyuan yujian (« Le miroir de jade des quatre inconnues »), il imprime un triangle complet jusqu'à la huitième puissance, représenté avec des bâtonnets de comptage chinois. C’est le plus ancien triangle de Pascal imprimé au monde — 350 ans avant la publication du Traité de Pascal.
En Chine, on l’appelle naturellement « le triangle de Yang Hui » (杨辉三角).
Ce qui est fascinant, c’est que chaque civilisation a utilisé le triangle pour un problème différent :
Le même tableau de nombres, quatre problèmes complètement différents, quatre réponses correctes.
Blaise Pascal (1623–1662) n’a pas découvert le triangle. Ce qu’il a fait est peut-être plus important : il l’a compris.
Son Traité du triangle arithmétique (1654, publié à titre posthume en 1665) est le premier ouvrage à rassembler toutes les propriétés du triangle dans un cadre rigoureux. Pascal démontre la relation de récurrence, la symétrie, la formule des sommes, le lien avec les combinaisons — et il le fait avec un outil révolutionnaire qu’il appelle « la manière de prouver par les ordres continus » : le raisonnement par récurrence.
« Chaque cellule est égale à la somme de celle qui est au-dessus d’elle et de celle qui est au-dessus à gauche. »
— Blaise Pascal, Traité du triangle arithmétique, 1654.
Mais la raison profonde pour laquelle Pascal s’intéresse au triangle est un problème posé par un joueur de dés, le chevalier de Méré : comment partager équitablement les mises d’un jeu interrompu ?
Sa correspondance avec Fermat sur cette question utilise directement les coefficients du triangle — et fonde la théorie des probabilités. Par exemple, la probabilité d’obtenir exactement \(k\) succès en \(n\) épreuves de Bernoulli s'écrit avec le triangle :
Les nombres du triangle comptent les chemins possibles : parmi \(n\) lancers, de combien de façons peut-on obtenir exactement \(k\) succès ? La réponse est précisément \(\binom{n}{k}\).
Lire l’article : Pascal et Fermat, l’invention des probabilités →
On lance une pièce 4 fois. De combien de façons peut-on obtenir exactement 2 « pile » ? (Indice : c’est un nombre de la ligne 4 du triangle.)
\(\binom{4}{2} = 6\). La ligne 4 du triangle est 1, 4, 6, 4, 1. Il y a 6 façons d’obtenir 2 pile sur 4 lancers : PP FF, PF PF, PF FP, FP PF, FP FP, FF PP. Et la probabilité correspondante est \(\frac{6}{16} = \frac{3}{8} = 37{,}5\%\).
Cliquez sur une cellule pour voir ses « parents » et la formule correspondante. Puis essayez les boutons pour découvrir les propriétés cachées — certaines sont vraiment surprenantes.
C’est la règle de construction, démontrée formellement :
Imaginons \(n+1\) élèves. On veut en choisir \(k\) pour un projet. L'élève « Emma » est soit dans le groupe, soit pas :
Total = \(\binom{n}{k-1} + \binom{n}{k}\). C’est un argument combinatoire : on ne calcule rien, on compte.
Choisir 3 élèves parmi 10 revient à en écarter 7 parmi 10. La ligne 4 se lit dans les deux sens : 1, 4, 6, 4, 1.
Le membre de gauche compte le nombre total de façons de choisir un sous-ensemble (de taille quelconque) parmi \(n\) éléments. Or chaque élément est soit pris, soit laissé : 2 choix par élément, d’où \(2^n\) sous-ensembles au total. On le retrouve aussi en posant \(a = b = 1\) dans \((a+b)^n\).
Lisez le triangle en diagonale (de haut en bas vers la droite) :
| Diagonale | Suite | Valeurs | Formule |
|---|---|---|---|
| 0 | Constante | 1, 1, 1, 1, … | \(\binom{n}{0} = 1\) |
| 1 | Entiers naturels | 1, 2, 3, 4, 5, … | \(\binom{n}{1} = n\) |
| 2 | Nbs triangulaires | 1, 3, 6, 10, 15, … | \(\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}\) |
| 3 | Nbs tétraédriques | 1, 4, 10, 20, 35, … | \(\binom{n}{3} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}\) |
Les nombres triangulaires comptent les points d’un triangle : △ 1, 3, 6, 10… Les nombres tétraédriques comptent les sphères empilées dans un tétraèdre : pensez à une pyramide de boulets de canon.
Sommez les coefficients le long de diagonales « montantes » (partant du bord gauche vers le haut-droit). Vous obtenez :
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …
C’est la suite de Fibonacci ! Formellement :
Appuyez sur le bouton « Fibonacci » dans le triangle interactif pour visualiser ces diagonales.
Coloriez chaque case du triangle selon que \(\binom{n}{k}\) est pair (bleu) ou impair (jaune). Avec suffisamment de lignes, le motif forme un triangle de Sierpinski — une fractale ! Essayez le bouton « Pairs / Impairs » ci-dessus.
La raison est profonde : d’après le théorème de Lucas (1878), \(\binom{n}{k}\) est impair si et seulement si chaque chiffre binaire de \(k\) est inférieur ou égal au chiffre correspondant de \(n\). Avec 12 lignes c’est déjà visible ; avec 256 lignes, le motif fractal est saisissant.
Lisez chaque ligne du triangle comme un nombre :
Ligne 0 : 1 = \(11^0\)
Ligne 1 : 11 = \(11^1\)
Ligne 2 : 121 = \(11^2\)
Ligne 3 : 1331 = \(11^3\)
Ligne 4 : 14641 = \(11^4\)
Ce n’est pas une coïncidence. C’est le binôme de Newton appliqué à \((10 + 1)^n\) ! À partir de la ligne 5, il faut gérer les retenues (1, 5, 10, 10, 5, 1 → 161 051 = \(11^5\)), mais le principe reste le même.
1) Quelle est la somme de la ligne 10 du triangle ?
2) Combien y a-t-il de sous-ensembles de 3 éléments dans un ensemble de 10 éléments ?
3) Si on colorie les cases paires en noir, quel pourcentage de cases noires y a-t-il dans les 8 premières lignes (lignes 0 à 7) ?
1) \(2^{10} = 1024\).
2) \(\binom{10}{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120\).
3) Les 8 premières lignes comptent \(1+2+\cdots+8 = 36\) cases. Parmi elles, 9 sont paires (vérifiez en comptant les cases bleues dans le widget). Donc \(\frac{9}{36} = 25\%\) de cases paires — et ça diminue quand on ajoute des lignes (propriété fractale : les impairs dominent asymptotiquement).