Note liminaire : Tout ce qui suit est une fiction narrative. Les anecdotes biographiques, les œuvres citées et les résultats mathématiques sont historiquement documentés. Seule la conversation est inventée.
C’est à Bagdad, sous la protection du vizir Fakhr al-Mulk — c’est à lui que j’ai dédié mon traité Al-Fakhrī —, que j’ai compris que l’algèbre pouvait être libérée de la géométrie. Mes prédécesseurs, al-Khwârizmî, Abū Kāmil, résolvaient les équations en dessinant des rectangles et des carrés. Moi, j’ai voulu que les puissances de l’inconnu s’enchaînent selon leur propre logique, comme les termes d’une progression régulière.
Note historique : Al-Karaji travaille effectivement à Bagdad sous les Buyides. Son traité Al-Fakhrī fī al-jabr wa’l-muqābala (vers 1010) est dédié au vizir Fakhr al-Mulk. Son projet de séparer l’algèbre de la géométrie est documenté par les historiens des sciences.
Et moi, c’est Béjaïa — Bougie pour les Pisans — qui m’a ouvert les yeux. Mon père Guglielmo était officier douanier pour notre commune marchande. J’avais peut-être douze ans quand il m’a fait venir auprès de lui. Les comptables arabes et berbères du port utilisaient neuf chiffres et un cercle — le zéphyrum, le zéro — pour représenter n’importe quelle quantité avec une précision redoutable. J’ai alors compris que nos chiffres romains étaient une entrave.
Note historique : Fibonacci décrit lui-même dans la préface du Liber Abaci son séjour à Bougie et le rôle de son père. La date approximative est autour de 1190–1200. Le mot zéphyrum pour désigner le zéro est attesté dans le Liber Abaci.
Pourquoi les chiffres arabes sont-ils si puissants ? Dans le système positionnel, la valeur d’un chiffre dépend de sa place :
Le zéro est indispensable : il permet d'écrire \(205\) sans confondre avec \(25\). En chiffres romains, aucun symbole n’existe pour « rien » — et la multiplication devient un cauchemar algorithmique.
Une suite récurrente, c’est une succession de nombres où chaque terme est calculé à partir du ou des précédents selon une règle fixe. L’idée essentielle : on n’a pas besoin de tout recommencer depuis le début — on hérite du passé.
Dans Al-Badī' fī'l-ḥisāb, j'étudie les sommes de puissances. Voici celle qui m’a le plus occupé :
Autrement dit : la somme des cubes des \(n\) premiers entiers est le carré de leur somme.
Vérifions pour \(n = 4\) :
Mais comment prouver que cela vaut pour tout entier \(n\) ? C’est là qu’intervient mon raisonnement.
J’en ai posé les fondements, sans la formaliser comme vous le ferez des siècles plus tard. Mon argument dans Al-Fakhrī suit ce schéma :
Le passage de \(n\) à \(n+1\) repose sur une identité algébrique :
C’est vérifiable par calcul pur — sans dessin, sans géométrie. Voilà l’algèbre libérée.
Note historique : Les historiens Roshdi Rashed et Adolf Youschkevitch ont identifié dans Al-Fakhrī un raisonnement qui préfigure la récurrence formelle, avec initialisation et hérédité implicites. C’est un consensus dans l’histoire des mathématiques.
Imaginez un escalier infini. Pour prouver qu’on peut atteindre toute marche :
Alors on peut atteindre toutes les marches — même la millième.
Exemple : Montrons que \(1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}\).
Permettez-moi de vous raconter mes lapins — on m’en parle encore, j’imagine, huit cents ans après !
Au chapitre XII du Liber Abaci, je pose ce problème : un couple de lapins nouveau-nés est placé dans un enclos. Chaque couple met un mois à atteindre la maturité, puis engendre chaque mois un nouveau couple. Les lapins ne meurent jamais. Combien de couples compte-t-on après douze mois ?
Notons \(u_n\) le nombre de couples au début du mois \(n\). Au mois \(n\), les couples présents sont ceux du mois précédent — aucun n’est mort — plus les nouveau-nés, c’est-à-dire exactement les couples qui existaient deux mois avant et qui sont maintenant adultes. Donc :
avec \(u_1 = 1\), \(u_2 = 1\). C’est une suite récurrente d’ordre 2 : chaque terme dépend des deux précédents.
| \(n\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(u_n\) | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 |
Après douze mois : 144 couples.
Ce qui me frappe, Leonardo, c’est que votre suite illustre exactement ce que je cherchais : un processus dont on ne comprend le terme \(n\) qu’en tenant compte de son histoire. C’est la même idée que dans ma récurrence sur les cubes — le présent hérite du passé.
Note historique : Le problème des lapins figure bien au chapitre XII du Liber Abaci. Le nom « suite de Fibonacci » est une invention du XIXe siècle, due au mathématicien français Édouard Lucas (1842–1891).
1. Le ratio converge vers le nombre d’or
Calculons \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) :
| \(n\) | \(u_{n+1}/u_n\) |
|---|---|
| 1 | 1,000 |
| 5 | 1,600 |
| 10 | 1,618 |
| 20 | 1,6180339… |
Ce ratio converge vers \(\varphi = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618\ldots\), le nombre d’or.
Pourquoi ? Si \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \to \ell\), alors en divisant \(u_{n+2} = u_{n+1} + u_n\) par \(u_{n+1}\) :
2. Une identité surprenante (identité de Cassini)
Exemple : \(u_5 \cdot u_3 - u_4^2 = 5 \times 2 - 3^2 = 10 - 9 = 1 = (-1)^4\) ✓
J’ai aussi étudié ce que vous appelez peut-être le « triangle de Pascal » — mais il existait bien avant Pascal ! Dans Al-Badī', je construis les coefficients du développement de \((1+x)^n\) en disposant les nombres en triangle :
Chaque nombre est la somme des deux au-dessus de lui. Encore une fois : un terme hérite de ses deux prédécesseurs.
Note historique : Al-Karaji présente effectivement une version du triangle arithmétique dans Al-Badī'. Ce résultat est aussi attribué indépendamment à Omar Khayyam (XIe s.), Yang Hui (Chine, XIIIe s.) et Tartaglia/Pascal (Europe, XVIe–XVIIe s.).
Et ce triangle contient ma suite, en lisant en diagonale ! Les sommes des diagonales montantes donnent : \(1, 1, 2, 3, 5, 8\ldots\) Nos mathématiques sont cousines, al-Karaji.
Que la science n’a pas de patrie. Ce que j’ai appris à Bougie venait de Bagdad, de Bagdad venait de l’Inde, de l’Inde venait peut-être encore plus loin. Mon Liber Abaci n’est pas une invention — c’est une transmission. J’ai eu la chance d'être au bon port, au bon moment, avec un père assez curieux pour m’y emmener.
Et moi, ce que j’admire dans votre démarche, Leonardo, c’est qu’un problème concret — des lapins dans un enclos — peut receler une structure mathématique universelle. Moi, je travaillais dans l’abstraction des puissances et des polynômes. Vous avez compris que l’abstraction doit parfois naître du réel pour y retourner.
Ce qui nous unit, au fond, c’est la conviction que les mathématiques ne sont pas une collection de recettes, mais un langage cohérent où les vérités s’enchaînent — où chaque terme, comme dans une suite, hérite de ce qui précède et prépare ce qui suit.
| Notion | Al-Karaji | Fibonacci |
|---|---|---|
| Suite récurrente | \(S_n = S_{n-1} + n^3\) | \(u_{n+2} = u_{n+1} + u_n\) |
| Récurrence | Initialisation + hérédité (implicite) | Structure récurrente d’ordre 2 |
| Triangle arithmétique | Précurseur documenté | Connexion avec sa suite |
| Convergence | — | \(u_{n+1}/u_n \to \varphi\) |
Idée centrale à retenir : Une suite récurrente, c’est une façon de penser le présent à partir du passé. Al-Karaji le disait pour les preuves algébriques. Fibonacci, sans le formaliser ainsi, le vivait dans chaque génération de ses lapins. Et vous, en Terminale, vous le démontrerez par récurrence — en remontant, sans le savoir, jusqu'à Bagdad au Xe siècle.