En Occident, on l’appelle « binôme de Newton » (1665). Mais la formule et sa démonstration par récurrence existaient déjà dans le monde arabe au XIIe siècle. Cet article reconstitue la démarche d’al-Samawʾal, telle qu’elle est documentée par l’historien Roshdi Rashed.
1. Qui est al-Samawʾal ?
Al-Samawʾal ibn Yaḥyā al-Maghribī (Bagdad, vers 1130 – Maragha, vers 1180) : mathématicien né dans une famille juive originaire du Maghreb. À dix-neuf ans, il rédige Al-Bāhir fī al-jabr (« Le brillant en algèbre ») avec une ambition explicite : achever le programme d’al-Karajī en formalisant la récurrence et le binôme.
📖 Un savant entre deux mondes — biographie et contexte
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Né Samuel ben Yehuda, fils du poète Yehuda ben Abun (qui écrit en hébreu et en arabe), il étudie les mathématiques dès l'âge de treize ans dans des traités arabes écrits par des savants musulmans — al-Karajī, Abū Kāmil. Cette situation n’a rien d’exceptionnel : à Bagdad, depuis l'époque abbasside, savants juifs, chrétiens et musulmans fréquentent les mêmes bibliothèques, commentent les mêmes textes grecs, et se citent mutuellement. Le savoir circule entre les communautés, pas à l’intérieur de cloisons étanches.
En 1163, al-Samawʾal se convertit à l’islam. Il raconte lui-même cette conversion dans un traité autobiographique. Il y décrit un rêve déclencheur, mais insiste sur le fait que sa décision résulte d’un examen rationnel prolongé des trois religions monothéistes — testant la cohérence doctrinale et l’authenticité des textes. Il cache d’abord sa conversion par respect pour son père, avant de l’assumer publiquement.
Ce parcours montre que les frontières confessionnelles n'étaient pas des frontières intellectuelles. L’algèbre d’al-Samawʾal — qui achève un programme lancé par un musulman (al-Karajī) et sera plus tard transmise à l’Europe chrétienne — est un exemple remarquable de continuité scientifique par-delà les appartenances religieuses.
Il meurt à Maragha (Iran actuel) vers 1180, laissant environ quatre-vingts traités en arabe.
Sources biographiques : A. Anouba, Dictionary of Scientific Biography ; al-Samawʾal, Ifḥām al-Yahūd, éd. Marazka, Pourjavady & Schmidtke, 2006.
Source mathématique : Roshdi Rashed, « L’induction mathématique : al-Karajī, as-Samawʾal », Archive for History of Exact Sciences, vol. 9, n°1, 1972, pp. 1–21.
2. Le triangle arithmétique
Al-Samawʾal construit dans Al-Bāhir un tableau des coefficients du développement de \((a+b)^n\). C’est exactement ce qu’on appelle aujourd’hui le triangle de Pascal (1655), mais rédigé cinq siècles plus tôt.
$$\begin{array}{ccccccccccc}
& & & & & 1 & & & & & \\
& & & & 1 & & 1 & & & & \\
& & & 1 & & 2 & & 1 & & & \\
& & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & & \\
& 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 & \\
1 & & 5 & & 10 & & 10 & & 5 & & 1
\end{array}$$
Un héritage d’al-Karajī
Al-Samawʾal n’invente pas le triangle — et il le dit explicitement. Dans Al-Bāhir, il cite un ouvrage aujourd’hui perdu d’al-Karajī qu’il reproduit, dans lequel ce dernier donne le triangle comme moyen de connaître « le nombre dans le développement des carrés, des cubes, jusqu'à la limite que l’on désire ».
Mais al-Karajī construisait le triangle empiriquement, ligne par ligne, sans le démontrer. La contribution propre d’al-Samawʾal est double :
- Démontrer la règle de construction du triangle
- L’utiliser comme pivot d’une démonstration par récurrence de la formule du binôme
La règle du triangle
La règle de construction est : chaque nombre est la somme des deux au-dessus de lui.
$$\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$$
C’est ce qu’on appelle aujourd’hui la formule de Pascal. Al-Samawʾal ne se contente pas de l'énoncer — il la démontre.
Démonstration de la formule de Pascal
Al-Samawʾal raisonne ainsi (traduit en langage moderne) :
Soit un ensemble de \(n\) objets. On veut en choisir \(k\). Concentrons-nous sur le dernier objet (le \(n\)e). Il y a exactement deux cas :
- Cas 1 : le dernier objet fait partie de la sélection. Alors il reste \(k-1\) objets à choisir parmi les \(n-1\) premiers. Cela fait \(\dbinom{n-1}{k-1}\) façons.
- Cas 2 : le dernier objet ne fait pas partie de la sélection. Alors il faut choisir les \(k\) objets parmi les \(n-1\) premiers. Cela fait \(\dbinom{n-1}{k}\) façons.
Ces deux cas sont disjoints (le dernier objet est pris ou ne l’est pas) et exhaustifs (il n’y a pas d’autre possibilité). Donc le nombre total de choix est :
$$\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} \quad \checkmark$$
Vérification numérique : \(\dbinom{5}{2} = \dbinom{4}{1} + \dbinom{4}{2} = 4 + 6 = 10\) ✓
Pourquoi cette démonstration est-elle remarquable ?
Al-Samawʾal démontre ici un résultat général — valable pour tout \(n\) et tout \(k\) — par un argument purement logique, sans calcul. C’est un raisonnement combinatoire : on dénombre en séparant les cas. Cette technique est toujours au cœur des mathématiques modernes.
C’est aussi ce qui lui permet de passer à l'étape suivante : une fois la règle du triangle démontrée, il peut l’utiliser comme brique de base pour prouver la formule du binôme par récurrence.
Note : Le triangle est aussi attesté chez Omar Khayyām (Perse, XIe s.), Jia Xian et Yang Hui (Chine, XIe–XIIIe s.), et Tartaglia (Italie, XVIe s.). Chacun l’a découvert indépendamment. Mais la démonstration combinatoire de la règle de construction, telle que la donne al-Samawʾal, est la plus ancienne connue dans le monde arabe.
3. La formule du binôme
Al-Samawʾal énonce que pour tout entier naturel \(n\) :
$$\boxed{(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\, a^{n-k}\, b^k}$$
En notation moderne, cela donne pour \(n = 4\) :
$$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$$
Les coefficients \(1, 4, 6, 4, 1\) sont précisément la cinquième ligne du triangle. Al-Samawʾal vérifie la formule pour les premières valeurs de \(n\), puis propose un argument général. C’est là que réside sa contribution majeure.
4. La démonstration — la récurrence avant la récurrence
Al-Samawʾal ne dispose pas du vocabulaire moderne (« initialisation », « hérédité », « hypothèse de récurrence »). Mais la structure logique de son raisonnement est limpide. Voici sa démarche, traduite en langage actuel.
Étape 1 — Initialisation
Al-Samawʾal vérifie la formule pour les petites valeurs :
- \(n = 1\) : \((a+b)^1 = a + b = \binom{1}{0}a + \binom{1}{1}b\) ✓
- \(n = 2\) : \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), coefficients \(1, 2, 1\) ✓
- \(n = 3\) : \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\), coefficients \(1, 3, 3, 1\) ✓
Étape 2 — Le passage de \(n\) à \(n+1\)
Al-Samawʾal suppose que la formule est vraie au rang \(n\) :
$$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\, a^{n-k}\, b^k$$
Il multiplie les deux membres par \((a+b)\) :
$$(a+b)^{n+1} = (a+b) \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\, a^{n-k}\, b^k$$
En distribuant, chaque terme \(\binom{n}{k} a^{n-k} b^k\) donne naissance à deux termes :
- un terme en \(a^{n+1-k}\, b^k\) (multiplication par \(a\))
- un terme en \(a^{n-k}\, b^{k+1}\) (multiplication par \(b\))
Étape 3 — Le regroupement par la formule de Pascal
En regroupant les termes de même degré en \(a\) et \(b\), al-Samawʾal observe que le coefficient de \(a^{n+1-k}\, b^k\) dans le développement est :
$$\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1}$$
Or c’est précisément la règle de construction de son triangle :
$$\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}$$
Donc :
$$(a+b)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k}\, a^{n+1-k}\, b^k$$
La formule est vraie au rang \(n+1\). ✓
Étape 4 — Conclusion
Al-Samawʾal conclut — en substance — que puisque la formule est vraie pour \(n = 1\), elle l’est pour \(n = 2\), donc pour \(n = 3\), et ainsi de suite, pour tout entier.
C’est exactement le principe de récurrence, énoncé sans le nommer.
Pour les lycéens — Pourquoi « Newton » ?
Isaac Newton généralise la formule en 1665 aux exposants non entiers : il montre que \((1+x)^\alpha\) se développe en série infinie pour tout réel \(\alpha\), pas seulement pour les entiers naturels. C’est cette généralisation qui porte son nom.
Mais pour les exposants entiers — le cas que vous étudiez au lycée — la formule et sa preuve par récurrence sont l'œuvre d’al-Karajī et d’al-Samawʾal, cinq siècles avant Newton.
5. Un exemple détaillé : le passage de \(n=3\) à \(n=4\)
Suivons la démarche d’al-Samawʾal pas à pas.
On sait que (rang \(n = 3\)) :
$$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$
On multiplie par \((a+b)\) :
$$(a+b)^4 = (a+b)(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3)$$
On distribue — multiplication par \(a\), puis par \(b\) :
| Terme de \((a+b)^3\) | \(\times\; a\) | \(\times\; b\) |
|---|
| \(a^3\) | \(a^4\) | \(a^3 b\) |
| \(3a^2b\) | \(3a^3 b\) | \(3a^2 b^2\) |
| \(3ab^2\) | \(3a^2 b^2\) | \(3a b^3\) |
| \(b^3\) | \(a b^3\) | \(b^4\) |
On regroupe les termes de même type :
- \(a^4\) : coefficient \(1\)
- \(a^3 b\) : \(1 + 3 = \mathbf{4}\)
- \(a^2 b^2\) : \(3 + 3 = \mathbf{6}\)
- \(a b^3\) : \(3 + 1 = \mathbf{4}\)
- \(b^4\) : coefficient \(1\)
On retrouve les coefficients \(1, 4, 6, 4, 1\) — la ligne \(n = 4\) du triangle, construite à partir de la ligne \(n = 3\) par la règle de Pascal. C’est exactement ce qu’al-Samawʾal décrit.
6. Chronologie — du triangle au binôme
| Date | Auteur | Contribution |
|---|
| vers 1010 | Al-Karajī (Bagdad) | Triangle arithmétique, proto-récurrence sur les sommes de puissances |
| vers 1150 | Al-Samawʾal (Bagdad) | Démonstration du binôme par récurrence dans Al-Bāhir |
| XIe s. | Omar Khayyām (Perse) | Triangle arithmétique, méthode géométrique |
| XIe–XIIIe s. | Jia Xian, Yang Hui (Chine) | Triangle arithmétique indépendant |
| 1202 | Fibonacci (Pise) | Transmet les chiffres arabes et la suite récurrente en Europe |
| 1655 | Pascal (France) | Traité du triangle arithmétique, récurrence formalisée |
| 1665 | Newton (Angleterre) | Généralisation aux exposants non entiers (séries infinies) |
7. Ce qu’il faut retenir pour le lycée
- La formule du binôme \((a+b)^n = \sum \binom{n}{k} a^{n-k} b^k\) n’est pas une invention européenne du XVIIe siècle.
- Sa démonstration par récurrence — initialisation, passage de \(n\) à \(n+1\) via la formule de Pascal — est essentiellement celle d’al-Samawʾal (vers 1150).
- Le « triangle de Pascal » est en réalité un objet multiculturel, découvert indépendamment à Bagdad, en Perse, en Chine et en Europe.
- Newton mérite son nom pour la généralisation aux exposants fractionnaires — pas pour la formule elle-même.
Sources
Sources mathématiques
- Roshdi Rashed, « L’induction mathématique : al-Karajī, as-Samawʾal », Archive for History of Exact Sciences, vol. 9, n°1, 1972, pp. 1–21.
- Ahmad Salah et Roshdi Rashed (éd.), Al-Bāhir en algèbre d’as-Samawʾal, Damas, 1972.
- Roshdi Rashed, Histoire des mathématiques arabes, 1984.
- Victor J. Katz, A History of Mathematics: An Introduction, 3e éd., Addison-Wesley, 2009, ch. 9.
Sources biographiques
- A. Anouba, « al-Samawʾal », Dictionary of Scientific Biography, Scribner, New York, 1970–1990.
- Al-Samawʾal, Ifḥām al-Yahūd, éd. critique par I. Marazka, R. Pourjavady et S. Schmidtke, Deutsche Morgenländische Gesellschaft, 2006.
- J. J. O’Connor et E. F. Robertson, « Al-Samawal », MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews.
Cet article est une reconstitution pédagogique. La démarche mathématique d’al-Samawʾal est présentée en notation moderne pour la rendre accessible aux élèves de lycée. La structure logique (initialisation, hérédité, conclusion) est fidèle à l’analyse qu’en fait Roshdi Rashed. Les éléments biographiques (famille, conversion, contexte) proviennent des sources biographiques citées ci-dessus.