Troisieme — Programme officiel (BO 2020) · Math@mine
L’operateur A propose un forfait a 15 euros par mois plus 0,05 euro par minute d’appel. L’operateur B propose un forfait a 25 euros par mois avec appels illimites.
Diophante (vers 200–284 ap. J.-C.) est souvent considere comme le « pere de l’algebre ». Son ouvrage Arithmetica contient 130 problèmes resolus par des équations.
Il a introduit des notations symboliques pour l’inconnue et ses puissances, rompant avec la tradition purement rhetorique (tout ecrire en mots). Ses méthodes de resolution sont remarquablement proches de celles que nous utilisons aujourd’hui, plus de 1700 ans plus tard !
Voici l’epitaphe gravee sur la tombe de Diophante (rapportee par Metrodore, VIe siecle) :
« Passant, sous ce tombeau repose Diophante. Il fut enfant un sixieme de sa vie ; sa barbe poussa apres un douzieme de plus ; apres un septieme encore il prit femme, et cinq ans plus tard eut un fils. Le fils vecut la moitie de l’age de son pere et mourut quatre ans avant lui. »
Resoudre \(5x - 3 = 2x + 9\).
Verification : \(5 \times 4 - 3 = 17\) et \(2 \times 4 + 9 = 17\). ✓
Resoudre \(3(2x - 1) = 4(x + 2) - 5\).
Ces operations conservent l’egalite.
Paul a 15 ans. Son pere a 43 ans. Dans combien d’annees l’age du pere sera-t-il le double de celui de Paul ?
Inconnue : soit \(x\) le nombre d’annees cherche.
Équation : dans \(x\) annees, Paul aura \(15 + x\) ans et son pere \(43 + x\) ans.
\(43 + x = 2(15 + x)\)
\(43 + x = 30 + 2x\), donc \(13 = x\).
Conclusion : dans 13 ans, Paul aura 28 ans et son pere 56 ans. Bien \(56 = 2 \times 28\). ✓
Si \(A = 0\), alors \(A \times B = 0 \times B = 0\). De meme si \(B = 0\). Donc si l’un des facteurs est nul, le produit est nul.
Reciproquement, si \(A \neq 0\) et \(B \neq 0\), alors \(A \times B \neq 0\) (le produit de deux nombres non nuls est non nul). Donc si le produit est nul, au moins un facteur est nul.
Resoudre \((3x - 6)(x + 4) = 0\).
Les solutions sont \(x = 2\) et \(x = -4\).
Resoudre \(x^2 - 9 = 0\).
On factorise : \(x^2 - 9 = (x-3)(x+3) = 0\)
Les solutions sont \(x = 3\) et \(x = -3\).
Si \(a > 0\) : par definition, \(\sqrt{a}\) verifie \((\sqrt{a})^2 = a\), et \((-\sqrt{a})^2 = (\sqrt{a})^2 = a\) (chapitre 4). Ce sont les deux seules solutions car \(x^2 = a\) se reecrit \(x^2 - a = 0\), soit \((x-\sqrt{a})(x+\sqrt{a}) = 0\) (identité remarquable, chapitre 2).
Si \(a = 0\) : \(x^2 = 0\) donne \(x = 0\). Si \(a < 0\) : \(x^2 \geqslant 0\) pour tout \(x\), donc pas de solution.
Ajouter ou retrancher un meme nombre decale les deux cotes de la meme quantite, sans changer l’ordre. Multiplier par un nombre positif agrandit les deux cotes proportionnellement. Multiplier par un nombre négatif inverse l’ordre : par exemple, \(2 < 3\) mais \(-2 > -3\).
Quand on multiplie ou divise par un nombre négatif, il faut inverser le sens de l’inégalité !
Par exemple : si \(-2x > 6\), alors \(x < -3\) (on divise par \(-2\), le \(>\) devient \(<\)).
Exemple 1 : Resoudre \(3x + 7 \leqslant 22\).
L’ensemble des solutions est : tous les nombres inferieurs ou egaux a 5.
Exemple 2 : Resoudre \(-4x + 1 > 9\).
L’ensemble des solutions est : tous les nombres strictement inferieurs a \(-2\).
Équations : teste d’abord ton intuition, puis lis l’explication.
« Si \(x^2 = 9\), alors \(x = 3\). »
Cette resolution est-elle complete ?
Incomplet ! \(x^2 = 9\) donne \(x = 3\) ou \(x = -3\). On oublie souvent la solution négative.
« Si \(ab = 0\), alors \(a = 0\). »
Cette conclusion est-elle correcte ?
Incomplet ! Si \(ab = 0\), alors \(a = 0\) ou \(b = 0\) (ou les deux).
Contre-exemple : \(5 \times 0 = 0\), ici \(a = 5 \neq 0\) mais \(b = 0\).
« Pour resoudre \(2x^2 = 6x\), on peut diviser par \(x\). »
Cette méthode est-elle correcte ?
Faux ! Diviser par \(x\) suppose \(x \neq 0\), ce qui fait perdre la solution \(x = 0\).
Méthode correcte : \(2x^2 - 6x = 0 \Rightarrow 2x(x-3) = 0 \Rightarrow x = 0\) ou \(x = 3\).
« \(ax + b = 0 \Rightarrow x = -\frac{b}{a}\) si \(a \neq 0\). »
Cette formule est-elle correcte ?
Oui ! \(ax + b = 0 \Rightarrow ax = -b \Rightarrow x = -\frac{b}{a}\) (possible car \(a \neq 0\)).
« Si \(-2x > 4\), alors \(x > -2\). »
Cette resolution est-elle correcte ?
Faux ! Diviser par \(-2\) inverse le sens. La solution est \(x < -2\).
Verification : \(x = -3\) : \(-2 \times (-3) = 6 > 4\) ✓. Mais \(x = 0\) : \(0 \not> 4\) ✗.
| Type | Méthode / Résultat |
|---|---|
| Équation \(ax + b = 0\) | \(x = -\dfrac{b}{a}\) |
| Équation produit \(AB = 0\) | \(A = 0\) ou \(B = 0\) |
| \(x^2 = a\) avec \(a > 0\) | \(x = \sqrt{a}\) ou \(x = -\sqrt{a}\) |
| \(x^2 = a\) avec \(a < 0\) | Pas de solution |
| Inéquation : multiplier par négatif | On inverse le sens de l’inégalité |
Soit \(x\) le nombre de minutes d’appel par mois.
L’operateur B est plus avantageux quand \(25 < 15 + 0{,}05x\), c’est-a-dire quand le forfait A coute plus cher.
\(15 + 0{,}05x > 25\)
\(0{,}05x > 10\)
\(x > 200\)
Conclusion : a partir de 200 minutes d’appel par mois, l’operateur B (forfait illimite) devient plus avantageux. Pour exactement 200 minutes, les deux forfaits coutent le meme prix (25 euros).
Soit \(x\) l’age de Diophante a sa mort. D’apres l’epitaphe :
\(\dfrac{x}{6} + \dfrac{x}{12} + \dfrac{x}{7} + 5 + \dfrac{x}{2} + 4 = x\)
Le dénominateur commun est 84 : \(\dfrac{14x + 7x + 12x + 756 + 42x}{84} = x\)
\(75x + 756 = 84x\), donc \(9x = 756\), soit \(x = 84\).
Diophante a vecu 84 ans. Il fut enfant pendant 14 ans, sa barbe poussa a 21 ans, il se maria a 33 ans, eut un fils a 38 ans. Son fils mourut a 42 ans (age de 80 ans de Diophante), et Diophante mourut 4 ans plus tard.