Troisieme — Programme officiel (BO 2020) · Math@mine
La distance de la Terre au Soleil est d’environ \(150\,000\,000\) km. La lumiere parcourt \(300\,000\) km par seconde. L’etoile la plus proche, Proxima du Centaure, est a \(40\,000\,000\,000\,000\) km.
Archimede (vers 287–212 av. J.-C.) a ecrit L’Arenaire, un traite dans lequel il cherche a estimer le nombre de grains de sable necessaires pour remplir l’Univers.
Pour y parvenir, il a du inventer un système de notation pour exprimer des nombres immenses — bien au-dela de ce que le système grec permettait. Il est arrive a un nombre equivalent a \(10^{63}\). C’est l’un des premiers usages des puissances dans l’histoire des mathematiques !
Une feuille de papier a une epaisseur d’environ \(0{,}1\) mm. Si l’on pouvait la plier 42 fois en deux, quelle serait l’epaisseur obtenue ?
Par convention : \(a^1 = a\) et \(a^0 = 1\) (pour \(a \neq 0\)).
En général : si \(n\) est pair, \((-a)^n = a^n > 0\) ; si \(n\) est impair, \((-a)^n = -a^n < 0\).
Par definition, \(10^n = \underbrace{10 \times 10 \times \cdots \times 10}_{n}\), ce qui donne un 1 suivi de \(n\) zéros. Pour \(10^{-n} = \frac{1}{10^n}\), c’est la definition des puissances d’exposant négatif (section 4).
Exemples : \(3{,}45 \times 10^3 = 3\,450\) et \(72 \times 10^{-2} = 0{,}72\)
Exemple : \(47\,500 = 4{,}75 \times 10^4\) (virgule deplacee de 4 rangs vers la gauche).
\(0{,}0063 = 6{,}3 \times 10^{-3}\) (virgule deplacee de 3 rangs vers la droite).
Produit : \(a^m \times a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_{m} \times \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n} = \underbrace{a \times \cdots \times a}_{m+n} = a^{m+n}\).
Quotient : \(\frac{a^m}{a^n} = a^m \times a^{-n} = a^{m+(-n)} = a^{m-n}\) (en utilisant la règle du produit).
Puissance de puissance : \((a^m)^n = \underbrace{a^m \times \cdots \times a^m}_{n} = a^{\underbrace{m + \cdots + m}_{n}} = a^{m \times n}\).
Puissance d’un produit : \((ab)^n = \underbrace{ab \times \cdots \times ab}_{n} = \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n} \times \underbrace{b \times \cdots \times b}_{n} = a^n \times b^n\).
Ces règles ne s’appliquent que pour des puissances de meme base (pour le produit et le quotient) ou de meme exposant (pour la puissance d’un produit).
On ne peut pas simplifier \(2^3 \times 3^5\) directement (bases differentes, exposants differents).
Puissances : teste d’abord ton intuition, puis lis l’explication.
« \(a^0 = 0\) pour tout nombre \(a\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux ! Par convention, \(a^0 = 1\) pour tout \(a \neq 0\).
Exemples : \(5^0 = 1\), \((-3)^0 = 1\), \(100^0 = 1\).
« \(a^{-n} = -a^n\) »
Cette formule est-elle correcte ?
Faux ! \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\), c’est l'inverse, pas l’oppose.
Contre-exemple : \(2^{-3} = \frac{1}{8}\), tandis que \(-2^3 = -8\).
« \(a^m \times a^n = a^{m \times n}\) »
Cette règle est-elle correcte ?
Faux ! \(a^m \times a^n = a^{m+n}\) (on additionne les exposants).
Contre-exemple : \(2^3 \times 2^2 = 32 = 2^5 = 2^{3+2}\), et non \(2^6 = 64\).
« \((ab)^n = a^n \times b^n\) »
Cette propriété est-elle toujours vraie ?
Oui ! \((ab)^n = a^n \times b^n\). La puissance se distribue sur le produit.
Exemple : \((2 \times 3)^4 = 6^4 = 1296 = 16 \times 81 = 2^4 \times 3^4\). ✓
« \((-2)^2 = -(2^2)\) »
Ces deux expressions sont-elles egales ?
Faux ! \((-2)^2 = 4\), tandis que \(-(2^2) = -4\).
Les parentheses font toute la difference.
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| Nom | Formule |
|---|---|
| Puissance d’exposant positif | \(a^n = a \times a \times \cdots \times a\) (\(n\) facteurs) |
| Puissance d’exposant négatif | \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\) |
| Produit de meme base | \(a^m \times a^n = a^{m+n}\) |
| Quotient de meme base | \(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) |
| Puissance d’une puissance | \((a^m)^n = a^{m \times n}\) |
| Puissance d’un produit | \((ab)^n = a^n \times b^n\) |
| Notation scientifique | \(a \times 10^n\) avec \(1 \leqslant a < 10\) |
En notation scientifique :
Temps pour atteindre Proxima du Centaure :
\(t = \dfrac{4 \times 10^{13}}{3 \times 10^5} = \dfrac{4}{3} \times 10^{13-5} = 1{,}33 \times 10^8\) secondes
Soit environ \(\dfrac{1{,}33 \times 10^8}{3{,}15 \times 10^7} \approx 4{,}2\) annees (on retrouve les 4,2 annees-lumiere).
Apres 42 pliages, l’epaisseur est : \(0{,}1 \times 2^{42}\) mm.
\(2^{42} = 4\,398\,046\,511\,104\), donc l’epaisseur serait d’environ \(4{,}4 \times 10^{11}\) mm \(= 4{,}4 \times 10^{8}\) m \(= 440\,000\) km.
C’est plus que la distance Terre-Lune (\(\approx 384\,000\) km) ! Bien sur, en pratique, on ne peut pas plier une feuille plus de 7 ou 8 fois.