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Exercices — Compléments de dérivation

Terminale Spécialité · Chapitre 5

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Exo 1 Exercice Exercice 1
Exercice — Convexité de fonctions

Étudier la convexité des fonctions suivantes sur leur ensemble de définition.

  1. \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1\) sur \(\mathbb{R}\)
  2. \(g(x) = \mathrm{e}^x\) sur \(\mathbb{R}\)
  3. \(h(x) = \ln x\) sur \(]0\,;+\infty[\)
  4. \(k(x) = x^4 - 2x^2\) sur \(\mathbb{R}\)
Voir la correction
Correction
  1. \(f'(x) = 3x^2-6x+2\), \quad \(f''(x) = 6x-6 = 6(x-1)\).

    \(f''(x) < 0\) si \(x < 1\) : \(f\) est concave sur \(]-\infty\,;1]\).

    \(f''(x) > 0\) si \(x > 1\) : \(f\) est convexe sur \([1\,;+\infty[\).

  2. \(g'(x) = \mathrm{e}^x\), \quad \(g''(x) = \mathrm{e}^x > 0\) pour tout \(x\).

    \(g\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).

  3. \(h'(x) = \dfrac{1}{x}\), \quad \(h''(x) = -\dfrac{1}{x^2} < 0\) pour tout \(x > 0\).

    \(h\) est concave sur \(]0\,;+\infty[\).

  4. \(k'(x) = 4x^3-4x\), \quad \(k''(x) = 12x^2-4\).

    \(k''(x) = 0 \iff x^2 = \dfrac{1}{3} \iff x = \pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}\).

    \(k\) est convexe sur \(\left]-\infty\,;-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right]\) et sur \(\left[\dfrac{1}{\sqrt{3}}\,;+\infty\right[\), concave sur \(\left[-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\,;\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right]\).

Exo 2 Exercice Exercice 2
Exercice — Points d'inflexion

Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\).

  1. Calculer \(f'(x)\) et \(f''(x)\).
  2. Déterminer les variations de \(f\).
  3. Déterminer les points d'inflexion de la courbe représentative de \(f\).
  4. Écrire l'équation de la tangente au point d'inflexion.
  5. Montrer que la courbe traverse sa tangente au point d'inflexion.
Voir la correction
Correction
  1. \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2-4x+3) = 3(x-1)(x-3)\).

    \(f''(x) = 6x - 12 = 6(x-2)\).

  2. \(f'(x) = 0\) pour \(x = 1\) et \(x = 3\).

    \(f\) est croissante sur \(]-\infty\,;1]\), décroissante sur \([1\,;3]\), croissante sur \([3\,;+\infty[\).

    Maximum local : \(f(1) = 5\). Minimum local : \(f(3) = 1\).

  3. \(f''(x) = 0 \iff x = 2\). Le signe de \(f''\) change en \(x=2\) (négatif avant, positif après).

    Le point d'inflexion est \(I(2\,;f(2)) = (2\,;3)\).

  4. \(f'(2) = 3(2-1)(2-3) = -3\).

    Tangente en \(I\) : \(y = f'(2)(x-2)+f(2) = -3(x-2)+3 = -3x+9\).

  5. Posons \(d(x) = f(x) - (-3x+9) = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = (x-2)^3\).

    \(d(x)\) change de signe en \(x=2\) (négatif pour \(x<2\), positif pour \(x>2\)), donc la courbe traverse bien la tangente au point d'inflexion.

Exo 3 Exercice Exercice 3
Exercice — Dérivation et étude complète

Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = (x^2 - 1)\,\mathrm{e}^{-x}\).

  1. Déterminer les limites de \(f\) en \(+\infty\) et \(-\infty\).
  2. Calculer \(f'(x)\) et montrer que \(f'(x) = -(x^2 - 2x - 1)\,\mathrm{e}^{-x}\).
  3. Étudier le signe de \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
  4. Calculer \(f''(x)\). En déduire la convexité de \(f\) et les points d'inflexion.
  5. Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse \(0\).
Voir la correction
Correction
  1. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2-1}{\mathrm{e}^x} = 0\) par croissance comparée.

    \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty\) car \(x^2-1 \to +\infty\) et \(\mathrm{e}^{-x} \to +\infty\).

  2. \(f'(x) = 2x\,\mathrm{e}^{-x} + (x^2-1)(-\mathrm{e}^{-x}) = (2x-x^2+1)\,\mathrm{e}^{-x} = -(x^2-2x-1)\,\mathrm{e}^{-x}\).
  3. \(f'(x) = 0 \iff x^2 - 2x - 1 = 0 \iff x = 1 \pm \sqrt{2}\).

    \(f'(x) > 0\) pour \(x \in \,]1-\sqrt{2}\,;1+\sqrt{2}[\) et \(f'(x) < 0\) sinon.

    Minimum en \(x = 1-\sqrt{2}\) : \(f(1-\sqrt{2}) = (2-2\sqrt{2})\,\mathrm{e}^{\sqrt{2}-1}\).

    Maximum en \(x = 1+\sqrt{2}\) : \(f(1+\sqrt{2}) = (2+2\sqrt{2})\,\mathrm{e}^{-1-\sqrt{2}}\).

  4. \(f'(x) = (-x^2+2x+1)\,\mathrm{e}^{-x}\).

    \(f''(x) = (-2x+2)\,\mathrm{e}^{-x} + (-x^2+2x+1)(-\mathrm{e}^{-x}) = (x^2-4x-1+2)\,\mathrm{e}^{-x}\)

    Corrigeons : \(f''(x) = (-2x+2)\,\mathrm{e}^{-x} - (-x^2+2x+1)\,\mathrm{e}^{-x} = (x^2-4x+1)\,\mathrm{e}^{-x}\).

    \(x^2-4x+1 = 0 \iff x = 2 \pm \sqrt{3}\).

    Inflexion en \(x = 2-\sqrt{3}\) et \(x = 2+\sqrt{3}\).

    \(f\) est convexe sur \(]-\infty\,;2-\sqrt{3}]\) et \([2+\sqrt{3}\,;+\infty[\), concave sur \([2-\sqrt{3}\,;2+\sqrt{3}]\).

  5. \(f(0) = -1\) et \(f'(0) = -(0-0-1) \times 1 = 1\).

    Tangente : \(y = x - 1\).

Exo 4 Exercice Exercice 4
Exercice — Convexité et inégalités
  1. Soit \(f(x) = \mathrm{e}^x\). Montrer que \(f\) est convexe sur \(\mathbb{R}\). En déduire que pour tout \(x \in \mathbb{R}\) : \(\mathrm{e}^x \geqslant x + 1\).
  2. Soit \(g(x) = \ln x\). Montrer que \(g\) est concave sur \(]0\,;+\infty[\). En déduire que pour tout \(x > 0\) : \(\ln x \leqslant x - 1\).
  3. En utilisant les résultats précédents, montrer que pour tout \(x > 0\) : \[\dfrac{x-1}{x} \leqslant \ln x \leqslant x - 1\]
  4. Application : en déduire un encadrement de \(\ln(1{,}1)\).
Voir la correction
Correction
  1. \(f''(x) = \mathrm{e}^x > 0\) pour tout \(x\) : \(f\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).

    La tangente en \(x=0\) a pour équation \(y = x+1\).

    Une fonction convexe est toujours au-dessus de ses tangentes, donc \(\mathrm{e}^x \geqslant x+1\) pour tout \(x\).

  2. \(g''(x) = -\dfrac{1}{x^2} < 0\) : \(g\) est concave sur \(]0\,;+\infty[\).

    La tangente en \(x=1\) a pour équation \(y = x-1\).

    Une fonction concave est toujours en dessous de ses tangentes, donc \(\ln x \leqslant x-1\) pour tout \(x > 0\).

  3. Pour \(x > 0\), on applique \(\ln x \leqslant x-1\) à \(\dfrac{1}{x}\) :

    \(\ln\dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{1}{x}-1\), soit \(-\ln x \leqslant \dfrac{1-x}{x}\), d'où \(\ln x \geqslant \dfrac{x-1}{x}\).

    Combiné avec \(\ln x \leqslant x-1\), on obtient l'encadrement.

  4. Pour \(x = 1{,}1\) : \(\dfrac{0{,}1}{1{,}1} \leqslant \ln(1{,}1) \leqslant 0{,}1\), soit \(\dfrac{1}{11} \leqslant \ln(1{,}1) \leqslant 0{,}1\).

    Numériquement : \(0{,}0909 \leqslant \ln(1{,}1) \leqslant 0{,}1\).

    (Valeur exacte : \(\ln(1{,}1) \approx 0{,}0953\).)

Exo 5 Exercice Sesamath Terminale -- Limites de fonctions et continuité

Déterminer l'ensemble de dérivabilité \(\mathcal{D}'\) de chaque fonction et calculer sa dérivée sur \(\mathcal{D}'\) :

    {2}
  1. \(f:x\mapsto\sqrt{3x-7}\)
  2. \(g:x\mapsto(5x^3-3)^2\)
  3. \(h:x\mapsto\dfrac{1}{(x+6)^3}\)
  4. \(a:x\mapsto\left(1-2\sqrt{x}\right)^2\)
  5. \(b:x\mapsto\sqrt{x^2-1}\)
  6. \(c:x\mapsto\dfrac{1}{\sqrt{10-x}}\)

Voir la correction
  1. \(\mathcal{D}'=]\frac{7}{3}~;~+\infty[\) ; \(f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x-7}}\).
  2. \(\mathcal{D}'=\mathbb{R}\) ; \(g'(x)=30x^2(5x^3-3)\).
  3. \(\mathcal{D}'=\mathbb{R}\setminus\{-6\}\) ; \(h'(x)=-\frac{3}{(x+6)^4}\).
  4. \(\mathcal{D}'=]0~;~+\infty[\) ; \(a'(x)=\frac{2\left(2\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}}\).
  5. \(\mathcal{D}'=]-\infty~;~-1[\,\cup\,]1~;~+\infty[\) ; \(b'(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}\).
  6. \(\mathcal{D}'=]-\infty~;~10[\) ; \(c'(x)=\dfrac{1}{2\left(\sqrt{10-x}\right)^3}\)
Exo 6 Exercice 96 Sesamath Terminale -- Limites de fonctions et continuité

Soit \(f\) une fonction définie par \(f(x)\). Déterminer son ensemble de dérivabilité \(\mathcal{D}'\), puis calculer \(f'(x)\).

    {2}
  1. \(f(x)= x^3-3+3\sqrt{x}\)
  2. \(f(x)=\left(4x^3+2x-1\right)^4\)
  3. \(f(x)=\sqrt{1-x^2}\)
  4. \(f(x)=\left(1-\dfrac{1}{x}\right)^3\)
  5. \(f(x)=\cos\left(5x-2\right)\)
  6. \(f(x)=\left(\sin 5x\right)^2\)

Voir la correction
  1. \(\mathcal{D}'=\mathbb{R}_{+}^{*}\) ; \(f'(x)= 3x^2+\dfrac{3}{2\sqrt{x}}\)
  2. \(\mathcal{D}'=\mathbb{R}\) ; \(f'(x)=\left(48x^2+8\right)\left(4x^3+2x-1\right)^3\)
  3. \(\mathcal{D}'=]-1~;~1[\) ; \(f'(x)=-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
  4. \(\mathcal{D}'=\mathbb{R}^{*}\) ; \(f'(x)=\dfrac{3}{x^2}\left(1-\dfrac{1}{x}\right)^2\)
  5. \(\mathcal{D}'=\mathbb{R}\) ; \(f'(x)=-5\sin\left(5x-2\right)\)
  6. \(\mathcal{D}'=\mathbb{R}\) ; \(f'(x)=10\cos 5x \sin 5x\)
Exo 7 Exercice 101 Sesamath Terminale -- Limites de fonctions et continuité

Soit la fonction \(u\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(u(x)=\pi-x\). Étudier les variations des fonctions suivantes.

    {4}
  1. \(u\)
  2. \(u^3\)
  3. \(\sqrt{u}\)
  4. \(\cos u\)

Voir la correction
  1. \(u\) est une fonction affine strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).
  2. \(\left(u^3\right)'=3u'u^2\) donc \(u^3\) varie comme \(u\).
  3. \(\sqrt{u}\) est dérivable sur \(]-\infty~;~\pi[\) et \(\left(\sqrt{u}\right)'=\tfrac{u'}{2\sqrt{u}}\) donc \(\sqrt{u}\) varie comme \(u\) mais seulement sur \(]-\infty~;~\pi]\).
  4. \(\cos u=-\cos x\) donc \(\cos u\) est strictement croissante sur \([0~;~\pi]\) et on généralise en tenant compte que \(\cos u\) est paire et \(2\pi\)-périodique.
Exo 8 Exercice 105 Sesamath Terminale -- Limites de fonctions et continuité

Les deux courbes suivantes ont une équation du type \(y=a\sin \omega x\). Retrouver \(a\) et \(\omega\) dans chaque cas.

[figure du manuel — non restituée dans cette version HTML]

Voir la correction

\(\mathcal{C}:y=\tfrac{1}{2}\sin x\).\\ \(\mathcal{C}':y=2\sin \tfrac{1}{4}x\).