Terminale — Programme officiel (BO 2019) · Math@mine
A 6 h du matin il fait 8 °C, et a 14 h il fait 22 °C. Peut-on affirmer qu’a un moment de la matinee la temperature etait exactement 15 °C ?
Le mathematicien tcheque Bernard Bolzano a demontre en 1817 une version du théorème des valeurs intermédiaires, bien avant que la notion de continuité soit rigoureusement définie. Son travail, longtemps meconnu, a anticipe les formalisations de Cauchy et Weierstrass. Le théorème est aussi appele théorème de Bolzano dans certains pays.
Soit \(f(x) = x^3 + x - 1\). Montrer que l’équation \(f(x) = 0\) admet une solution dans \([0; 1]\), puis donner un encadrement de cette solution a \(0{,}1\) pres.
La fonction partie entière \(E(x)\) n’est pas continue en les entiers. Par exemple, \(\lim_{x \to 2^-} E(x) = 1\) alors que \(E(2) = 2\).
La continuité de ces fonctions decoule de la définition (\(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\)) et des propriétés des limites (ch. 3). Par exemple, un polynôme est une somme de produits de la fonction identité \(x \mapsto x\) (continue) et de constantes (continues), donc continu par les règles sur les opérations.
La continuité de \(e^x\), \(\sin x\), \(\cos x\) et \(\sqrt{x}\) est admise (elle se demontre avec la définition en \(\varepsilon\), hors programme).
Si \(f\) et \(g\) sont continues en \(a\), alors \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\) et \(\lim_{x \to a} g(x) = g(a)\).
Par la règle de la somme des limites (ch. 3) : \(\lim_{x \to a} (f+g)(x) = f(a) + g(a) = (f+g)(a)\).
Donc \(f + g\) est continue en \(a\). Le même argument s’applique au produit et au quotient. ∎
Soit \(a \in I\). On veut montrer que \(\lim_{x \to a} g(f(x)) = g(f(a))\).
Comme \(f\) est continue en \(a\) : quand \(x \to a\), \(f(x) \to f(a)\).
Comme \(g\) est continue en \(f(a)\) : quand \(f(x) \to f(a)\), \(g(f(x)) \to g(f(a))\).
Par composition des limites : \(\lim_{x \to a} g(f(x)) = g(f(a))\). Donc \(g \circ f\) est continue en \(a\). ∎
La fonction \(f(x) = \sqrt{x^2 + 1}\) est continue sur \(\mathbb{R}\) comme composée de \(x \mapsto x^2 + 1\) (polynôme, continu) et de \(x \mapsto \sqrt{x}\) (continue sur \([0; +\infty[\)). Comme \(x^2 + 1 > 0\) pour tout \(x\), la composée est bien définie et continue sur \(\mathbb{R}\).
La démonstration rigoureuse utilise la propriété de la borne supérieure de \(\mathbb{R}\) (hors programme). L’idee intuitive :
Si la courbe de \(f\) passe de \(f(a)\) a \(f(b)\) sans lever le stylo (continuité), elle doit nécessairement traverser toute valeur intermédiaire \(k\). C’est l’analogue pour les fonctions du fait qu’un voyageur qui va de Paris à Lyon passe nécessairement par toutes les villes intermédiaires — à condition de ne pas se téléporter.
La dichotomie (section 5) fournit une méthode constructive pour approcher le \(c\) dont le TVI garantit l’existence.
Soit \(f(x) = x^2\) sur \([0; 3]\). On a \(f(0) = 0\) et \(f(3) = 9\). Comme \(f\) est continue et \(0 \leq 2 \leq 9\), le TVI garantit qu’il existe \(c \in [0; 3]\) tel que \(f(c) = 2\). Ce \(c\) est \(\sqrt{2}\).
Si \(f(a)\) et \(f(b)\) sont de signes contraires, alors \(0\) est compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\).
Par le TVI, il existe \(c \in [a; b]\) tel que \(f(c) = 0\). De plus \(c \neq a\) et \(c \neq b\) car \(f(a) \neq 0\) et \(f(b) \neq 0\). Donc \(c \in \,]a; b[\). ∎
Existence : c’est exactement le TVI (section 3). Comme \(f\) est continue sur \([a;b]\) et \(k\) est entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe \(c \in [a;b]\) tel que \(f(c) = k\).
Unicite : supposons qu’il existe \(c_1 < c_2\) dans \([a;b]\) avec \(f(c_1) = f(c_2) = k\).
Si \(f\) est strictement croissante : \(c_1 < c_2 \Rightarrow f(c_1) < f(c_2)\), ce qui contredit \(f(c_1) = f(c_2)\).
Si \(f\) est strictement décroissante : \(c_1 < c_2 \Rightarrow f(c_1) > f(c_2)\), même contradiction.
Donc il ne peut y avoir qu’une seule solution. ∎
Montrer que \(x^3 + 2x - 5 = 0\) admet une unique solution sur \(\mathbb{R}\).
Soit \(f(x) = x^3 + 2x - 5\). On a \(f'(x) = 3x^2 + 2 > 0\) pour tout \(x\), donc \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
\(f\) est continue, \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\) et \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).
Par le corollaire du TVI, l’équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \(\mathbb{R}\).
Comme \(f(1) = -2 < 0\) et \(f(2) = 7 > 0\), on a \(\alpha \in ]1; 2[\).
On part d’un intervalle \([a; b]\) tel que \(f(a) \cdot f(b) < 0\). A chaque etape :
On resout \(x^2 - 2 = 0\) sur \([1; 2]\). On a \(f(1) = -1 < 0\) et \(f(2) = 2 > 0\).
Apres 4 étapes : \(\sqrt{2} \in [1{,}375; 1{,}4375]\), soit un encadrement a \(0{,}063\) pres.
Ce théorème repose sur deux résultats hors programme :
Donc \(f([a;b]) = [m; M]\). ∎
Une fonction continue ne « saute » pas de valeur. Comme l’ensemble de depart est un intervalle (pas de trou) et que la fonction ne cree pas de trou (continuité), l’image est aussi un intervalle. La démonstration rigoureuse repose sur la connexite de \(\mathbb{R}\) (hors programme).
La fonction \(f(x) = x^2\) est continue sur \([-1; 2]\). Le minimum de \(f\) est \(f(0) = 0\) et le maximum est \(f(2) = 4\). Donc \(f([-1; 2]) = [0; 4]\).
Soit \(T(t)\) la temperature à l’instant \(t\) (en heures). On sait que \(T(6) = 8\) et \(T(14) = 22\).
La temperature varie de facon continue : la fonction \(T\) est continue sur \([6; 14]\).
Or \(15\) est compris entre \(T(6) = 8\) et \(T(14) = 22\). Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un instant \(c \in [6; 14]\) tel que \(T(c) = 15\).
Conclusion : oui, on peut affirmer qu’a un moment de la matinee la temperature etait exactement 15 °C. Le TVI garantit l’existence de cet instant, même si l’on ne connait pas sa valeur exacte.
\(f(0) = -1 < 0\) et \(f(1) = 1 > 0\). Comme \(f\) est continue et change de signe, par le TVI, il existe \(c \in ]0; 1[\) tel que \(f(c) = 0\).
Par dichotomie : \(f(0{,}5) = -0{,}375 < 0\), \(f(0{,}75) \approx 0{,}17 > 0\), \(f(0{,}6) \approx -0{,}184 < 0\), \(f(0{,}7) \approx 0{,}043 > 0\). Donc \(c \in [0{,}6; 0{,}7]\).
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| Notion | Résultat cle |
|---|---|
| Continuité en \(a\) | \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\) |
| TVI | \(f\) continue sur \([a;b]\), \(k\) entre \(f(a)\) et \(f(b)\) → \(\exists\, c\), \(f(c) = k\) |
| TVI + monotonie | Solution unique si \(f\) strictement monotone |
| Dichotomie | Precision \(\dfrac{b-a}{2^n}\) apres \(n\) étapes |
| Image d’un segment | \(f([a;b]) = [m; M]\) avec \(m = \min f\), \(M = \max f\) |
Continuité et TVI : teste d’abord ton intuition.
« Si \(f\) est continue sur \([a;b]\) et \(f(a) \cdot f(b) < 0\), alors l’équation \(f(x) = 0\) a une unique solution sur \([a;b]\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux. Le TVI garantit l'existence d’au moins une solution, pas l’unicite. Par exemple, \(f(x) = \sin(x)\) sur \([0; 4\pi]\) : \(f(0) = 0\) et \(f(4\pi) = 0\), mais il y a de nombreux zéros entre les deux. Pour l’unicite, il faut en plus que \(f\) soit strictement monotone.
Mini-test : pour garantir l’unicite de la solution de \(f(x) = 0\) sur \([a;b]\), il faut ajouter :
« Le théorème des valeurs intermédiaires permet de calculer la valeur exacte de la solution. »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux. Le TVI est un théorème d’existence : il dit qu’une solution existe, mais ne donne pas sa valeur. Pour approcher la solution, on utilise la dichotomie (méthode algorithmique), qui donne un encadrement de plus en plus precis.
Mini-test : apres 10 étapes de dichotomie sur \([0;1]\), la precision est :
« Une fonction est continue si et seulement si son graphe n’a pas de « saut ». »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux (trop vague). Cette description intuitive est insuffisante. La définition rigoureuse est : \(f\) est continue en \(a\) si \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\). Cela suppose que la limite existe, que \(f(a)\) est défini, et qu’ils sont egaux. Un « trou recollé » (valeur redéfinie isolement) n’est pas un « saut » visuellement, mais brise la continuité.
Mini-test : \(f(x) = \frac{\sin x}{x}\) pour \(x \neq 0\), \(f(0) = 2\). Continue en 0 ?
« Un polynôme de degré impair n’a pas forcement de racine réelle. »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux. Un polynôme de degré impair a toujours au moins une racine réelle. En effet, ses limites en \(-\infty\) et \(+\infty\) sont de signes opposes (car le terme dominant est de degré impair), donc par le TVI, il s’annule au moins une fois.
Mini-test : \(x^3 + x + 1 = 0\) a-t-elle une solution réelle ?
« L’image d’un intervalle ouvert par une fonction continue est toujours un intervalle ouvert. »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux. L’image d’un intervalle par une fonction continue est bien un intervalle (TVI), mais pas forcement ouvert. Exemple : \(f(x) = x^2\) sur \(]-1; 2[\). L’image est \([0; 4[\), qui n’est ni ouvert ni ferme. En revanche, l’image d’un segment \([a;b]\) est toujours un segment.
Mini-test : l’image de \([0;1]\) par \(f(x) = x^2\) est :
« Toute fonction dérivable en un point est continue en ce point. »
Cette affirmation est-elle correcte ?
C’est vrai ! La dérivabilité est plus forte que la continuité : si \(f\) est dérivable en \(a\), alors \(f\) est automatiquement continue en \(a\). Attention, la réciproque est fausse : \(f(x) = |x|\) est continue en 0 mais pas dérivable (point anguleux).
Mini-test : \(f(x) = |x|\) est continue en 0 mais pas dérivable. Pourquoi ?