Exercices — Continuité

Exo 1 Exercice Exercice 1

Exercice — Continuité d'une fonction

Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2-4}{x-2} & \text{si } x \neq 2 5 & \text{si } x = 2 \end{cases}\] La fonction \(f\) est-elle continue en \(2\) ? Justifier.
Soit \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[g(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin x}{x} & \text{si } x \neq 0 1 & \text{si } x = 0 \end{cases}\] La fonction \(g\) est-elle continue en \(0\) ?
Déterminer les valeurs de \(a\) et \(b\) pour que la fonction \(h\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[h(x) = \begin{cases} ax+b & \text{si } x \leqslant 1 \\ x^2 + 1 & \text{si } x > 1 \end{cases}\] soit continue sur \(\mathbb{R}\) et vérifie \(h(0) = 3\).

Voir la correction

Correction

Pour \(x \neq 2\) : \(f(x) = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2\). Donc \(\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x) = 4\).
Or \(f(2) = 5 \neq 4\). La fonction \(f\) n'est pas continue en \(2\).
On sait que \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1 = g(0)\). La fonction \(g\) est continue en \(0\).
Pour que \(h\) soit continue en \(1\) : \(\displaystyle\lim_{x \to 1^-} h(x) = a+b\) et \(\displaystyle\lim_{x \to 1^+} h(x) = 1^2+1 = 2\).
Il faut \(a + b = 2\) et \(h(0) = b = 3\). Donc \(b = 3\) et \(a = -1\).

Exo 2 Exercice Exercice 2

Exercice — Théorème des valeurs intermédiaires

Soit \(f(x) = \mathrm{e}^x + x - 2\). Montrer que l'équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution sur \(\mathbb{R}\). Donner un encadrement de cette solution à \(0{,}5\) près.
Soit \(g(x) = \cos x - x\). Montrer que l'équation \(g(x) = 0\) admet une unique solution sur \([0\,;\frac{\pi}{2}]\).
Soit \(h\) continue sur \([0\,;1]\) telle que \(h(0) = 3\) et \(h(1) = -1\). Montrer qu'il existe \(c \in \,]0\,;1[\) tel que \(h(c) = 1\).

Voir la correction

Correction

\(f'(x) = \mathrm{e}^x + 1 > 0\) pour tout \(x\). Donc \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
\(f\) est continue, \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x) = -\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty\).

D'après le TVI (corollaire), \(f(x) = 0\) admet une unique solution.

\(f(0) = 1+0-2 = -1 < 0\) et \(f(1) = \mathrm{e}+1-2 = \mathrm{e}-1 \approx 1{,}72 > 0\).

\(f(0{,}5) = \mathrm{e}^{0,5}+0{,}5-2 \approx -0{,}35 < 0\).

Donc \(\alpha \in [0{,}5\,;1]\).
\(g'(x) = -\sin x - 1 < 0\) sur \([0\,;\frac{\pi}{2}]\). Donc \(g\) est strictement décroissante.
\(g(0) = 1 > 0\) et \(g(\frac{\pi}{2}) = 0 - \frac{\pi}{2} < 0\).

Par le TVI, l'équation admet une unique solution.
\(h\) est continue sur \([0\,;1]\) et \(h(1) = -1 < 1 < 3 = h(0)\). D'après le TVI, il existe \(c \in \,]0\,;1[\) tel que \(h(c) = 1\).

Exo 3 Exercice Exercice 3

Exercice — Continuité et bijection

Soit \(f\) définie sur \([0\,;+\infty[\) par \(f(x) = x^2 + x + 1\).

Montrer que \(f\) est continue et strictement croissante sur \([0\,;+\infty[\).
Déterminer \(f(0)\) et \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)\).
En déduire que \(f\) réalise une bijection de \([0\,;+\infty[\) sur un intervalle \(J\) à préciser.
Montrer que l'équation \(f(x) = 10\) admet une unique solution dans \([0\,;+\infty[\). Déterminer cette solution.
Montrer que pour tout \(y \geqslant 1\), l'équation \(x^2+x+1 = y\) admet une unique solution positive.

Voir la correction

Correction

\(f'(x) = 2x+1 > 0\) pour \(x \geqslant 0\). Donc \(f\) est strictement croissante sur \([0\,;+\infty[\). Comme fonction polynomiale, elle est continue.
\(f(0) = 1\) et \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).
\(f\) est continue et strictement croissante de \([0\,;+\infty[\) dans \(\mathbb{R}\). Son image est \(J = [f(0)\,;+\infty[\,= [1\,;+\infty[\). Par le théorème de bijection, \(f\) réalise une bijection de \([0\,;+\infty[\) sur \([1\,;+\infty[\).
\(10 \in [1\,;+\infty[\) donc l'équation admet une unique solution. On résout \(x^2+x+1=10\), soit \(x^2+x-9=0\). \(\Delta = 37\), d'où \(x = \dfrac{-1+\sqrt{37}}{2}\) (seule solution positive).
Pour \(y \geqslant 1\), on a \(y \in J = [1\,;+\infty[\). Par bijectivité de \(f\), l'équation \(f(x) = y\) admet une unique solution dans \([0\,;+\infty[\).

Exo 4 ~\hfill Sesamath Terminale -- Limites de suites

Dans chaque repère ci-dessous, la courbe tracée \mbox{représente} une fonction \(f\).

Déterminer les intervalles où \(f\) est continue.
Donner l'image de \(1\) par la fonction \(f\). Coïncide-t-elle avec les limites de \(f\) en 1, à gauche et à droite ?

\begin{minipage}{}
[figure du manuel — non restituée dans cette version HTML]
\end{minipage}
\begin{minipage}{}
[figure du manuel — non restituée dans cette version HTML]
\end{minipage}
\begin{minipage}{}
[figure du manuel — non restituée dans cette version HTML]
\end{minipage}
\begin{minipage}{}
[figure du manuel — non restituée dans cette version HTML]
\end{minipage}

Voir la correction

Réponse : a
\(]-1~;~3[\)
Réponse : b
\([-1~;~1[\) et \(]1~;~3[\)
Réponse : c
\([-1~;~0[\) et \([1~;~3]\)
Réponse : d
\([-1~;~1]\) et \(]1~;~3[\)
Réponse : a
\(f(1)=0\) ; \(\displaystyle\lim_{\substack{x\to 1\\ x<1}}f(x)=\displaystyle\lim_{\substack{x\to 1\\ x>1}}f(x)=0\).
Réponse : b
\(f(1)=0\) ; \(\displaystyle\lim_{\substack{x\to 1\\ x<1}}f(x)=\displaystyle\lim_{\substack{x\to 1\\ x>1}}f(x)=1\).
Réponse : c
\(f(1)=0\) ; \(\displaystyle\lim_{\substack{x\to 1\\ x<1}}f(x)\) n'existe pas et \(\displaystyle\lim_{\substack{x\to 1\\ x>1}}f(x)=0\).
Réponse : d
\(f(1)=1\) ; \(\displaystyle\lim_{\substack{x\to 1\\ x<1}}f(x)=1\) et \(\displaystyle\lim_{\substack{x\to 1\\ x>1}}f(x)=2\).

Exo 5 ~\hfill Sesamath Terminale -- Limites de suites

Soit la fonction \(f\) définie sur \(I=[-4~;~1]\) par : \[f(x)=x^3+6x^2+9x+3\] dont les variations sont données par le tableau suivant :

[figure du manuel — non restituée dans cette version HTML]

Justifier que \(f\) est continue sur \(I\).
Dénombrer les solutions de l'équation \(f(x)=2\).
1. Justifier que l'équation \(f(x)=4\) admet une unique solution \(\alpha\).
2. Déterminer un encadrement de \(\alpha\) à l'unité près.

Voir la correction

\(f\) est une fonction polynôme de degré 3 donc \(f\) est continue sur \([-4~;~1]\).
\(f\) est continue et strictement croissante sur \([-4~;~-3]\). De plus, \(f(-4)=-1<2\) et \(f(-3)=3>2\). Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation \(f(x)=2\) admet une unique solution dans \([-4~;~-3]\). Le théorème s'applique aussi sur les intervalles \([-3~;~-1]\) et \([-1~;~1]\). On en déduit que l'équation \(f(x)=2\) admet trois solutions dans \(I\).
1. \(f\) est continue et strictement croissante sur \([-1~;~1]\). De plus, \(f(-1)=-1<4\) et \(f(1)=19>4\). Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation \(f(x)=4\) admet une unique solution dans \([-1~;~1]\). Le maximum de \(f\) sur \([-4~;~-1]\) est \(3<4\) donc il n'y a pas d'autre solution sur \(I\).
2. On sait déjà que \(-1\leqslant \alpha \leqslant 1\). On calcule \(f(0)=3<4\) donc \(0\leqslant \alpha \leqslant 1\).

Exo 6 Exercice 87 Sesamath Terminale -- Limites de suites

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[f(x)=\left\{\begin{array}{@{}cl@{}} \sqrt{x^2+1}-1 & \text{si~} x\in\mathbb{R}\setminus\{1\} \\ \alpha & \text{si~} x=1 \\ \end{array}\right.\] de graphe \(\mathcal{C}\) dans le repère ci-dessous où \(\bullet\) indique un point qui est sur \(\mathcal{C}\) et \(\boldsymbol{\circ\)} un point qui n'est pas sur \(\mathcal{C}\).

[figure du manuel — non restituée dans cette version HTML]

Justifier que \(f\) n'est pas continue sur \(\mathbb{R}\).
Donner les valeurs de \(f(1)\) et des limites de \(f\) en 1 à gauche et à droite.
Que doit valoir \(\alpha\) pour que \(f\) soit continue ?

Voir la correction

Pour tracer \(\mathcal{C}\), on doit lever le crayon pour faire le point de coordonnées \((1~;~\alpha)\) donc \(f\) n'est pas continue en 1.
\(f(1)=\alpha\) ; \(\displaystyle\lim_{\substack{x\to 1\\ x<1}}f(x)=\lim_{\substack{x\to 1\\ x>1}}f(x)=\sqrt{2}-1\).
\(f\) est continue si \(\alpha=\sqrt{2}-1\).