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Chapitre 1 — Arithmétique · Exercices

Seconde — Mathématiques générales · Math@mine

📖 Cours ✏️ Exercices
🟢 Groupe 1 — Critères de divisibilité ▾
1

Critères usuels. Base

Pour chaque entier, indiquer par quels entiers parmi {2, 3, 4, 5, 9} il est divisible.

  1. \(1\,260\)
  2. \(4\,572\)
  3. \(8\,175\)
  4. \(3\,600\)
1. \(1260\) : pair → 2 ; \(1+2+6+0=9\) → 3 et 9 ; \(60\div 4=15\) → 4 ; dernier chiffre 0 → 5.
Divisible par 2, 3, 4, 5, 9.

2. \(4572\) : pair → 2 ; \(4+5+7+2=18\) → 3 et 9 ; \(72\div 4=18\) → 4 ; dernier chiffre 2 → pas 5.
Divisible par 2, 3, 4, 9.

3. \(8175\) : impair → pas 2 ; \(8+1+7+5=21\) → 3, mais \(21\div 9\neq\) entier → pas 9 ; dernier chiffre 5 → 5.
Divisible par 3 et 5.

4. \(3600\) : divisible par 2, 3, 4, 5, 9.
2

Division euclidienne. Base

Effectuer la division euclidienne et écrire sous la forme \(a = bq + r\) :

  1. \(157 \div 12\)
  2. \(247 \div 17\)
  3. \(1000 \div 7\)
1. \(157 = 12 \times 13 + 1\) (reste 1)
2. \(247 = 17 \times 14 + 9\) (reste 9)
3. \(1000 = 7 \times 142 + 6\) (reste 6)
🔵 Groupe 2 — Nombres premiers ▾
3

Premier ou composé ? Base

Dire si chaque entier est premier ou composé (et donner un diviseur dans le second cas) :

  1. 51
  2. 83
  3. 91
  4. 101
  5. 143
1. \(51 = 3 \times 17\) → composé.
2. \(\sqrt{83} \approx 9{,}1\). Teste 2,3,5,7 : aucun ne divise 83 → premier.
3. \(91 = 7 \times 13\) → composé.
4. \(\sqrt{101} \approx 10{,}0\). Teste 2,3,5,7 : aucun → premier.
5. \(143 = 11 \times 13\) → composé.
4

Décomposition en facteurs premiers. Intermédiaire

Décomposer en produit de facteurs premiers :

  1. \(84\)
  2. \(180\)
  3. \(1\,260\)
  4. \(4\,500\)
1. \(84 = 2^2 \times 3 \times 7\)
2. \(180 = 2^2 \times 3^2 \times 5\)
3. \(1260 = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7\)
4. \(4500 = 2^2 \times 1\,125 = 2^2 \times 9 \times 125 = 2^2 \times 3^2 \times 5^3\).
🟣 Groupe 3 — PGCD, PPCM, fractions ▾
5

PGCD et PPCM par décomposition. Intermédiaire

Calculer \(\text{pgcd}(a, b)\) et \(\text{ppcm}(a, b)\) :

  1. \(a = 90\), \(b = 126\)
  2. \(a = 252\), \(b = 180\)
1. \(90 = 2 \times 3^2 \times 5\), \(126 = 2 \times 3^2 \times 7\).
\(\text{pgcd} = 2 \times 3^2 = 18\) · \(\text{ppcm} = 2 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 630\).

2. \(252 = 2^2 \times 3^2 \times 7\), \(180 = 2^2 \times 3^2 \times 5\).
\(\text{pgcd} = 2^2 \times 3^2 = 36\) · \(\text{ppcm} = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 1260\).
6

Algorithme d’Euclide. Intermédiaire

Utiliser l’algorithme d’Euclide pour calculer :

  1. \(\text{pgcd}(231, 84)\)
  2. \(\text{pgcd}(1001, 77)\)
1. \(231 = 84 \times 2 + 63\) · \(84 = 63 \times 1 + 21\) · \(63 = 21 \times 3 + 0\)
\(\text{pgcd}(231, 84) = \mathbf{21}\)

2. \(1001 = 77 \times 13 + 0\)
\(\text{pgcd}(1001, 77) = \mathbf{77}\) (77 divise 1001 directement)
7

Fraction irréductible. Intermédiaire

Simplifier les fractions suivantes pour les rendre irréductibles :

  1. \(\dfrac{252}{180}\)
  2. \(\dfrac{315}{420}\)
1. \(\text{pgcd}(252, 180) = 36\) · \(\dfrac{252}{180} = \dfrac{7}{5}\)
2. \(\text{pgcd}(315, 420) = 105\) · \(\dfrac{315}{420} = \dfrac{3}{4}\)
🔴 Groupe 4 — Problèmes ▾
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Problème de partage. Intermédiaire

Un professeur dispose de 126 crayons rouges et 84 crayons bleus. Il souhaite constituer des lots identiques, chaque lot contenant le même nombre de crayons rouges et le même nombre de crayons bleus, sans en laisser aucun. Quel est le nombre maximal de lots ? Combien de crayons de chaque couleur contient un lot ?

Le nombre maximal de lots est \(\text{pgcd}(126, 84)\).
\(126 = 2 \times 3^2 \times 7\), \(84 = 2^2 \times 3 \times 7\).
\(\text{pgcd} = 2 \times 3 \times 7 = 42\).
Il peut faire 42 lots, chacun contenant \(126/42 = 3\) crayons rouges et \(84/42 = 2\) crayons bleus.
9

Algorithme Python — PGCD. Approfondissement

Écrire une fonction Python pgcd(a, b) utilisant l’algorithme d’Euclide. L’utiliser pour trouver le plus grand entier \(n\) qui divise à la fois \(10^{10} + 1\) et \(10^{10} - 1\).

def pgcd(a, b): while b != 0: a, b = b, a % b return a a = 10**10 + 1 b = 10**10 - 1 print(pgcd(a, b)) # 1
Car \(\text{pgcd}(n+1, n-1)\) divise \((n+1)-(n-1) = 2\), donc vaut 1 ou 2. Ici \(n = 10^{10}\) est pair, donc \(n+1\) et \(n-1\) sont tous deux impairs : 2 ne les divise pas, donc \(\text{pgcd} = 1\).
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Olympiades 4e — Le cycle des unités. Approfondissement

Soit \(n\) un entier naturel non nul. Les puissances de 2 s'écrivent :

\(2^1=2,\quad 2^2=4,\quad 2^3=8,\quad 2^4=16,\quad 2^5=32,\quad 2^6=64,\quad\ldots\)

  1. Puissances de 2. Compléter le tableau des chiffres des unités pour \(2^1\) à \(2^{10}\). Que constate-t-on sur la périodicité ?
  2. Puissances de 3, 6, 16. Quels sont les chiffres des unités des puissances successives de 3 ? de 6 ? de 16 ? de 123456789 ?
  3. La division euclidienne de 47 par 4 donne \(47 = 4 \times 11 + 3\). Ainsi, le chiffre des unités de \(2^{47}\) est le même que celui de \(2^3\), soit 8.
    Déterminer le chiffre des unités de \(2^{1515}\) puis de \(2^{1789}\).
  4. Quel est le chiffre des unités de la somme \(S = 2 + 4 + 8 + \cdots + 2^{2022} + 2^{2023} + 2^{2024}\) ?
  5. Quel est le chiffre des unités de la somme \(T = 9 + 81 + 729 + \cdots + 3^{2022} + 3^{2023} + 3^{2024}\) ?
1. Le chiffre des unités de \(2^n\) suit le cycle (2, 4, 8, 6) de période 4.
2. \(3^n\) → cycle (3, 9, 7, 1) période 4. \(6^n\) → toujours 6. \(16^n\) → toujours 6 (même unité que 6). \(123456789^n\) → 9 si \(n\) impair, 1 si \(n\) pair.
3. \(1515 = 4 \times 378 + 3\) → même unité que \(2^3 = \mathbf{8}\). \(1789 = 4 \times 447 + 1\) → même unité que \(2^1 = \mathbf{2}\).
4. La somme d'un cycle complet (2+4+8+6) = 20, unité 0. De \(2^1\) à \(2^{2024}\), il y a \(2024 \div 4 = 506\) cycles complets. \(S\) a donc pour chiffre des unités 0.
5. Les unités de \(3^n\) alternent (3, 9, 7, 1). \(T = 3^2 + 3^4 + 3^6 + \cdots + 3^{2024}\) = puissances paires uniquement. Pour \(n\) pair : \(3^2=9,\;3^4=81\) (unité 1), \(3^6\) unité 9, \(3^8\) unité 1, etc. Le cycle est (9, 1) de période 2. Il y a 1012 termes. Somme d'un cycle = 10, unité 0. Unité = 0.
🟠 Entraînement WIMS — Exercices interactifs ▾
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Exercices interactifs sur la plateforme WIMS — faire la feuille 4.